《恒等式 det(exp(A)) = exp(Tr(A)) 赏析》一文我们得到矩阵$\exp(\boldsymbol{A})$总是可逆的,它的逆就是$\exp(-\boldsymbol{A})$。问题是$\exp(\boldsymbol{A})$只是一个理论定义,单纯这样写没有什么价值,因为它要把每个$\boldsymbol{A}^n$都算出来。

有没有什么具体的例子呢?有,本文来构造一个显式的、总是可逆的矩阵。

其实思路非常简单,假设$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$是两个$k$维列向量,那么$\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}$就是一个$k\times k$的矩阵,我们就来考虑
\begin{equation}\begin{aligned}\exp\left(\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}\right)=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}\right)^n}{n!}\\
=&\boldsymbol{I}+\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}+\frac{\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}}{2}+\frac{\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}}{6}+\dots\end{aligned}\end{equation}
注意到
\begin{equation}\boldsymbol{y}^{\top}\boldsymbol{x}=\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle\end{equation}
实际上就只是个标量,因此可以继续化简
\begin{equation}\begin{aligned}\exp\left(\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}\right)=&\boldsymbol{I}+\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}\left(1+\frac{\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle}{2}+\frac{\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle^2}{6}+\dots\right)\\
=&\boldsymbol{I}+\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}\left(\frac{e^{\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle}-1}{\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle}\right)
\end{aligned}\end{equation}
现在这个矩阵就很具体了,它可以很简单地算出来,因为它只涉及到标量的指数运算。括号里的$(e^x - 1)/x$有个可去的间断点$x=0$,当$x=0$时它的值为1。

根据恒等式$\det(\exp(\boldsymbol{A})) = \exp(\text{Tr}(\boldsymbol{A}))$,这个矩阵的行列式为
\begin{equation}\det\left(\exp\left(\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}\right)\right)= e^{\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle}\end{equation}
它的逆矩阵为
\begin{equation}\exp\left(-\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}\right)=\boldsymbol{I}-\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\top}\left(\frac{1 - e^{-\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle}}{\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle}\right)\end{equation}
也是一个显式的结果。

当然,一般的矩阵有$k^2$个独立参数,而这里两个向量构造出来的矩阵只有$2k$个参数,就表达能力来说应该是不足够的。为了增强表达能力,可以考虑多个这样的矩阵乘起来:
\begin{equation}\exp\left(\boldsymbol{x}_1\boldsymbol{y}_1^{\top}\right)\exp\left(\boldsymbol{x}_2\boldsymbol{y}_2^{\top}\right)\exp\left(\boldsymbol{x}_3\boldsymbol{y}_3^{\top}\right)\dots\end{equation}
注意它一般不等于
\begin{equation}\exp\left(\boldsymbol{x}_1\boldsymbol{y}_1^{\top}+\boldsymbol{x}_2\boldsymbol{y}_2^{\top}+\boldsymbol{x}_3\boldsymbol{y}_3^{\top}+\dots\right)\end{equation}

好了,推了这么多,那它究竟有什么用?

呃...我也不知道它有什么用,权当欣赏吧。

(其实我的初衷是想要通过构造法来直接构造出可逆的神经网络出来。按照这个现成的矩阵,构造出可逆的全连接网络并不困难,但我没想好怎么推广到卷积层。等我搞定了这个推广,再来继续讨论这个矩阵的应用吧~)

转载到请包括本文地址:https://spaces.ac.cn/archives/6407

更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!

如果您需要引用本文,请参考:

苏剑林. (2019, Mar 01). 《构造一个显式的、总是可逆的矩阵 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/6407