用傅里叶级数拟合一维概率密度函数
By 苏剑林 | 2024-03-07 | 32337位读者 | 引用在《“闭门造车”之多模态思路浅谈(一):无损输入》中我们曾提到,图像生成的本质困难是没有一个连续型概率密度的万能拟合器。当然,也不能说完全没有,比如高斯混合模型(GMM)理论上就是可以拟合任意概率密度,就连GAN本质上也可以理解为混合了无限个高斯模型的GMM。然而,GMM尽管理论上的能力是足够的,但它的最大似然估计会很困难,尤其是通常不适用基于梯度的优化器,这限制了它的使用场景。
近日,Google的一篇新论文《Fourier Basis Density Model》针对一维情形,提出了一个新的解决方案——用傅里叶级数来拟合。论文的分析过程颇为有趣,构造形式也很是巧妙,值得学习一番。
问题简述
可能有读者质疑:只研究一维情形有什么价值?确实,如果只考虑图像生成场景,那可能真的价值有限,但一维概率密度估计本身有它的应用价值,如数据的有损压缩,所以它依然是一个值得研究的主题。再者,即便我们需要研究多维的概率密度,也可以通过自回归的方式转化为多个一维的条件概率密度来估计。最后,这个分析和构造过程本身就很值得回味,所以哪怕是仅仅作为一道数学分析题来练习也是相当有益的。
狄拉克函数:级数逼近
By 苏剑林 | 2017-01-11 | 46046位读者 | 引用魏尔斯特拉斯定理
将狄拉克函数理解为函数的极限,可以衍生出很丰富的内容,而且这些内容离严格的证明并不遥远。比如,定义
$$\delta_n(x)=\left\{\begin{aligned}&\frac{(1-x^2)^n}{I_n},x\in[-1,1]\\
&0,\text{其它情形}\end{aligned}\right.$$
其中$I_n = \int_{-1}^1 (1-x^2)^n dx$,于是不难证明
$$\delta(x)=\lim_{n\to\infty}\delta_n(x)$$
这样,对于$[a,b]$上的连续函数$f(x)$,我们就得到
$$f(x)=\int_{-1}^1 f(y)\delta(x-y)dy = \lim_{n\to\infty}\int_{-1}^1 f(y)\delta_n(x-y) dy$$
这里$-1 < a < b < 1$,并且我们已经“不严谨”地交换了积分号和极限号,但这不是特别重要。重要的是它的结果:可以看到
$$P_n(x)=\int_{-1}^1 f(y)\delta_n(x-y) dy$$
是$x$的一个$2n$次多项式,因此上式表明$f(x)$是一个$2n$次的多项式的极限!这就引出了著名的“魏尔斯特拉斯定理”:
闭区间上的连续函数都可以用多项式一致地逼近。
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