科学空间|Scientific Spaces

解决完上一题《有多少个5？》后，子瑞表示看到一道类似的题目，当然，这道题比上一道难一些：

一个数，各个数字加起来等于900，乘以2后各个数字加起来还是等于900，已知这个数字只有3、4、5、6组成，请问满足条件的最大数与最小数的积有多少位数？

要解答这个问题，我们只需要知道最大数和最小数分别有多少位即可。因为最大数必然是6...3的形式，而最小数只能是3...6的形式，它们的位数之和就是所求的位数。

怎样比较两个数的大小呢？显然，在不同位数的数时，位数多的数要大，同样位数才从高到低逐位比较。因此，我们应当考虑位数的最大与最小。

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开始之初，我偶然在图书馆看到了一本名为《超越摄动：同伦分析方法导论》，里边介绍了一种求微分方程近似解的新方法，关键是里边的内容看起来并不是十分难懂，因此我饶有兴致地借来研究了。果然，这是一种非常有趣的方法，在某种意义上来说，还是非常简洁的方法。这解决了我一直以来想要研究的问题：用傅里叶级数来近似描述单摆运动的近似解。当然，它带给我的冲击不仅仅是这些。为了得出周期解，我又同时研究了各种摄动方法的技巧，如消除长期项的PL(Poincaré–Lindstedt)方法。这同时增加了我对各种近似解析方法的了解。从开学到现在快三周的时间，我一直都在研究这些问题。

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昨天在上“科学计算软件”课时，讲到了一个“抢15”游戏（Pick15），就是在1~9这9个数字中，双方轮流选一个数字，不可重复，谁的数字中有三个数字的和为15的，谁就是赢家。

这是个简单的游戏，属于博弈论范畴。在博弈论中有一个著名的“策梅洛定理”（Zermelo's theorem），它指出在二人的有限游戏中，如果双方皆拥有完全的资讯，并且运气因素并不牵涉在游戏中，那先行或后行者当一必有一方有必胜/必不败的策略。比如中国象棋就属于这一类游戏，它告诉我们对于其中一方必有一种必不败策略（有可能和棋，有可能胜，反正不会输）。当然，策梅洛定理只是告诉我们其存在性，并没有告诉我们怎么发现这个策略，甚至连哪一方有这种最优策略都没有给出判别方法。这是幸运的，因为如果真有一天发现了这种策略，那么像象棋这类博弈就失去了意义了。

上述的抢15游戏当然也属于这类游戏。不同于象棋的千变万化，它的变化比较简单，而且很容易看出它对先手有着明显的优势。下面我们来分析一下。

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2^29363731-1

很小的时候就开始对素数感兴趣了，后来是在一本《未解之谜》上看到了梅森素数、完全数、孪生素数等等东西，觉得甚是好玩。在初中买了计算机之后，就关注到了Prime 95这个梅森素数的分布式计算程序，以前也尝试过运行它，不过由于那时候计算机配置较低，一般都是运行到20%左右就没有坚持下去了。

上大学入手了一台四核的笔记本，就在去年10月份左右再次运行了这个程序，由于是四核，一次性可以同时测试四个数字。经过半年的运行，今天终于测试完了第一个数字：$2^{29363731}-1$。正如预料中的，这不是一个素数。不管怎样，它是我第一个完成的测试，也算是自己的一个独立的成果啦，呵呵，自娱自乐一番。

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很早以前我就对这个问题感兴趣了，但是一直搁置着，没有怎么研究。最近在阅读《引力与时空》的“潮汐力”那一节时重新回到了这个问题上，决定写点什么东西。在这里不深究流体静力平衡的定义，顾名思义地理解，它就是流体在某个特定的力场下所达到的平衡状态。流体静力学告诉我们：

达到流体静力平衡时，流体的面必定是一个等势面。

这是为什么呢？我们从数学的角度来简单分析一下：只考虑二维情况，假如等势面方程是$U(x,y)=C$，那么两边微分就有
$$0=dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy=(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y})\cdot (dx,dy)$$

这意味着向量$(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y})$和向量$(dx,dy)$是垂直的，前者便是力的函数，后者就是一个切向量（三维就是一个切平面）。也就是说合外力必然和流体面垂直，这样才能提供一个相等的方向相反的内力让整个结构体系处于平衡状态！

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自从了解了费曼积分法之后，我就一直想着用费曼积分法来求高斯积分$\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$这个神奇的积分，但一直无果。在《数学桥》里边，作者是通过将其转变为二重积分来解决的，简洁而巧妙。但是为了显示费曼积分法的威力，我一直想找到高斯积分的其他求法。上星期在《数学物理方法》中看到作者用拉普拉斯变换求出了该积分，眼睛不禁为之一亮，不过这属于积分变换内容，属于“积分符号内取积分”的技巧，在此不作讨论。今天在网上查找资料时，在“赵洁”的一篇论文《含参变量积分》中，看到了一种属于费曼积分法范畴内的方法，特与大家分享。

从“事后分析”来看，高斯积分的结果涉及到了$\sqrt{\pi}$这个量，一般来说我们常见的公式出现$\pi$的不少，可是几乎没有出现$\sqrt{\pi}$的，所以一般来说我们都将它平方。我们引入
$$f(x)=(\int_0^x e^{-t^2}dt)^2$$

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我们之前通过矩阵变换方式推导出了洛伦兹变换以及速度合成公式等结论，不得不说，矩阵推导方式有种引人入胜的魅力。今天，在讲述相对论（包括电动力学、广义相对论）的书籍里边，在数学形式上取而代之了张量这一工具，这实际上是对矩阵的一个推广（之前已经提到过，二阶张量相当于矩阵）。采用这样的形式在于它充分体现了相对论的对称和变换关系。本文将来谈及狭义相对论的一些基本结论，包括同时性、长度收缩、时间延缓等。

本文的光速$c=1$。

同时的相对性

在同一时空中，采取两个时空坐标进行洛伦兹变换，再作差，我们得到：
\begin{equation}\left[\begin{array}{c} \Delta x\\ \Delta t \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\left[\begin{array}{c c}1 & v\\ v & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\Delta x'\\ \Delta t' \end{array}\right]\end{equation}

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天气预报查询我相信大家用过不少了，如果精度要求不高，那么随便打开谷歌输入“城市名+tq”就可以查询到了。可是你有没有想过过去的天气怎么查询呢？比如我要研究最近十年的气候变化，我想得到最近十年每天的天气数据（最高温、最低温等等），那要怎么查呢？

我在很早以前就想查询到这些数据，但是在网上随便搜索了一下，无果，所以一直搁置着。前两天一个同学问我同样的问题，所以就查找了一番，功夫不负有心人，终于找到了。原来关键字应该是“历史天气查询”（之前我搜索了很多关键字，比如“气象数据下载”、“气象统计”等等，都没有搜索到有用的结果）。

一个支持历史天气查询的中文网站是：
http://lishi.tianqi.com/

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