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推土机哪家强？成本最低找Wasserstein

2017年的时候笔者曾写过博文《互怼的艺术：从零直达WGAN-GP》，从一个相对通俗的角度来介绍了WGAN，在那篇文章中，WGAN更像是一个天马行空的结果，而实际上跟Wasserstein距离没有多大关系。

在本篇文章中，我们再从更数学化的视角来讨论一下WGAN。当然，本文并不是纯粹地讨论GAN，而主要侧重于Wasserstein距离及其对偶理论的理解。本文受启发于著名的国外博文《Wasserstein GAN and the Kantorovich-Rubinstein Duality》，内容跟它大体上相同，但是删除了一些冗余的部分，对不够充分或者含糊不清的地方作了补充。不管怎样，在此先对前辈及前辈的文章表示致敬。

（注：完整理解本文，应该需要多元微积分、概率论以及线性代数等基础知识。还有，本文确实长，数学公式确实多，但是，真的不复杂、不难懂，大家不要看到公式就吓怕了～）

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从文章《从语言模型到Seq2Seq：Transformer如戏，全靠Mask》中我们可以知道，只要配合适当的Attention Mask，Bert（或者其他Transformer模型）就可以用来做无条件生成（Language Model）和序列翻译（Seq2Seq）任务。

可如果是有条件生成呢？比如控制文本的类别，按类别随机生成文本，也就是Conditional Language Model；又比如传入一副图像，来生成一段相关的文本描述，也就是Image Caption。

相关工作

八月份的论文《Encoder-Agnostic Adaptation for Conditional Language Generation》比较系统地分析了利用预训练模型做条件生成的几种方案；九月份有一篇论文《CTRL: A Conditional Transformer Language Model for Controllable Generation》提供了一个基于条件生成来预训练的模型，不过这本质还是跟GPT一样的语言模型，只能以文字输入为条件；而最近的论文《Plug and Play Language Models: a Simple Approach to Controlled Text Generation》将$p(x|y)$转化为$p(x)p(y|x)$来探究基于预训练模型的条件生成。

条件Normalization示意图

不过这些经典工作都不是本文要介绍的。本文关注的是以一个固定长度的向量作为条件的文本生成的场景，而方法是Conditional Layer Normalization——把条件融合到Layer Normalization的$\beta$和$\gamma$中去。

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今天介绍一个有意思的LSTM变种：ON-LSTM，其中“ON”的全称是“Ordered Neurons”，即有序神经元，换句话说这种LSTM内部的神经元是经过特定排序的，从而能够表达更丰富的信息。ON-LSTM来自文章《Ordered Neurons: Integrating Tree Structures into Recurrent Neural Networks》，顾名思义，将神经元经过特定排序是为了将层级结构（树结构）整合到LSTM中去，从而允许LSTM能自动学习到层级结构信息。这篇论文还有另一个身份：ICLR 2019的两篇最佳论文之一，这表明在神经网络中融合层级结构（而不是纯粹简单地全向链接）是很多学者共同感兴趣的课题。

ON-LSTM运算流程示意图。主要是将分段函数用cumax光滑化变成可导。

笔者留意到ON-LSTM是因为机器之心的介绍，里边提到它除了提高了语言模型的效果之外，甚至还可以无监督地学习到句子的句法结构！正是这一点特性深深吸引了我，而它最近获得ICLR 2019最佳论文的认可，更是坚定了我要弄懂它的决心。认真研读、推导了差不多一星期之后，终于有点眉目了，遂写下此文。

在正式介绍ON-LSTM之后，我忍不住要先吐槽一下这篇文章实在是写得太差了，将一个明明很生动形象的设计，讲得异常晦涩难懂，其中的核心是$\tilde{f}_t$和$\tilde{i}_t$的定义，文中几乎没有任何铺垫就贴了出来，也没有多少诠释，开始的读了好几次仍然像天书一样...总之，文章写法实在不敢恭维～

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最近在用VAE处理一些文本问题的时候遇到了对离散形式的后验分布求期望的问题，于是沿着“离散分布 + 重参数”这个思路一直搜索下去，最后搜到了Gumbel Softmax，从对Gumbel Softmax的学习过程中，把重参数的相关内容都捋了一遍，还学到一些梯度估计的新知识，遂记录在此。

文章从连续情形出发开始介绍重参数，主要的例子是正态分布的重参数；然后引入离散分布的重参数，这就涉及到了Gumbel Softmax，包括Gumbel Softmax的一些证明和讨论；最后再讲讲重参数背后的一些故事，这主要跟梯度估计有关。

基本概念

重参数（Reparameterization）实际上是处理如下期望形式的目标函数的一种技巧：
\begin{equation}L_{\theta}=\mathbb{E}_{z\sim p_{\theta}(z)}[f(z)]\label{eq:base}\end{equation}
这样的目标在VAE中会出现，在文本GAN也会出现，在强化学习中也会出现（$f(z)$对应于奖励函数），所以深究下去，我们会经常碰到这样的目标函数。取决于$z$的连续性，它对应不同的形式：
\begin{equation}\int p_{\theta}(z) f(z)dz\,\,\,\text{(连续情形)}\qquad\qquad \sum_{z} p_{\theta}(z) f(z)\,\,\,\text{(离散情形)}\end{equation}
当然，离散情况下我们更喜欢将记号$z$换成$y$或者$c$。

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前几天，在机器之心看到这样的一个推送《彻底解决梯度爆炸问题，新方法不用反向传播也能训练ResNet》，当然，媒体的标题党作风我们暂且无视，主要看内容即可。机器之心的这篇文章，介绍的是论文《The HSIC Bottleneck: Deep Learning without Back-Propagation》的成果，里边提出了一种通过HSIC Bottleneck来训练神经网络的算法。

坦白说，这篇论文笔者还没有看明白，因为对笔者来说里边的新概念有点多了。不过论文中的“HSIC”这个概念引起了笔者的兴趣。经过学习，终于基本地理解了这个HSIC的含义和来龙去脉，于是就有了本文，试图给出HSIC的一个尽可能通俗（但可能不严谨）的理解。

背景

HSIC全称“Hilbert-Schmidt independence criterion”，中文可以叫做“希尔伯特-施密特独立性指标”吧，跟互信息一样，它也可以用来衡量两个变量之间的独立性。

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当前，说到深度学习中的对抗，一般会有两个含义：一个是生成对抗网络（Generative Adversarial Networks，GAN），代表着一大类先进的生成模型；另一个则是跟对抗攻击、对抗样本相关的领域，它跟GAN相关，但又很不一样，它主要关心的是模型在小扰动下的稳健性。本博客里以前所涉及的对抗话题，都是前一种含义，而今天，我们来聊聊后一种含义中的“对抗训练”。

本文包括如下内容：

1、对抗样本、对抗训练等基本概念的介绍；

2、介绍基于快速梯度上升的对抗训练及其在NLP中的应用；

3、给出了对抗训练的Keras实现（一行代码调用）；

4、讨论了对抗训练与梯度惩罚的等价性；

5、基于梯度惩罚，给出了一种对抗训练的直观的几何理解。

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百度的“2020语言与智能技术竞赛”开赛了，今年有五个赛道，分别是机器阅读理解、推荐任务对话、语义解析、关系抽取、事件抽取。每个赛道中，主办方都给出了基于PaddlePaddle的baseline模型，这里笔者也基于bert4keras给出其中三个赛道的个人baseline，从中我们可以看到用bert4keras搭建baseline模型的方便快捷与简练。

地址：https://github.com/bojone/lic2020_baselines

思路简析

这里简单分析一下这三个赛道的任务特点以及对应的baseline设计。

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前段时间公司组织技术分享，轮到笔者时，大家希望我讲讲VAE。鉴于之前笔者也写过变分自编码器系列，所以对笔者来说应该也不是特别难的事情，因此就答应了下来，后来仔细一想才觉得犯难：怎么讲才好呢？

变分自编码器示意图

对于VAE来说，之前笔者有两篇比较系统的介绍：《变分自编码器（一）：原来是这么一回事》和《变分自编码器（二）：从贝叶斯观点出发》。后者是纯概率推导，对于不做理论研究的人来说其实没什么意义，也不一定能看得懂；前者虽然显浅一点，但也不妥，因为它是从生成模型的角度来讲的，并没有说清楚“为什么需要VAE”（说白了，VAE可以带来生成模型，但是VAE并不一定就为了生成模型），整体风格也不是特别友好。

笔者想了想，对于大多数不了解但是想用VAE的读者来说，他们应该只希望大概了解VAE的形式，然后想要知道“VAE有什么作用”、“VAE相比AE有什么区别”、“什么场景下需要VAE”等问题的答案，对于这种需求，上面两篇文章都无法很好地满足。于是笔者尝试构思了VAE的一种几何图景，试图从几何角度来描绘VAE的关键特性，在此也跟大家分享一下。

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