科学空间|Scientific Spaces

今天我们来谈一下Wasserstein散度，简称“W散度”。注意，这跟Wasserstein距离（Wasserstein distance，简称“W距离”，又叫Wasserstein度量、Wasserstein metric）是不同的两个东西。

本文源于论文《Wasserstein Divergence for GANs》，论文中提出了称为WGAN-div的GAN训练方案。这是一篇我很是欣赏却默默无闻的paper，我只是找文献时偶然碰到了它。不管英文还是中文界，它似乎都没有流行起来，但是我感觉它是一个相当漂亮的结果。

WGAN-div的部分样本（2w iter）

如果读者需要入门一下WGAN的相关知识，不妨请阅读拙作《互怼的艺术：从零直达WGAN-GP》。

WGAN

我们知道原始的GAN（SGAN）会有可能存在梯度消失的问题，因此WGAN横空出世了。

W距离

WGAN引入了最优传输里边的W距离来度量两个分布的距离：
\begin{equation}W_c[\tilde{p}(x), q(x)] = \inf_{\gamma\in \Pi(\tilde{p}(x), q(x))} \mathbb{E}_{(x,y)\sim \gamma}[c(x,y)] \end{equation}
这里的$\tilde{p}(x)$是真实样本的分布，$q(x)$是伪造分布，$c(x,y)$是传输成本，论文中用的是$c(x,y)=\Vert x-y\Vert$；而$\gamma\in \Pi(\tilde{p}(x), q(x))$的意思是说：$\gamma$是任意关于$x, y$的二元分布，其边缘分布则为$\tilde{p}(x)$和$q(y)$。直观来看，$\gamma$描述了一个运输方案，而$c(x,y)$则是运输成本，$W_c[\tilde{p}(x), q(x)]$就是说要找到成本最低的那个运输方案所对应的成本作为分布度量。

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不知道从什么时候开始，我发现我也掉到了GAN的大坑里边了，唉，争取早日能跳出来...

这篇博客介绍的是我最近提交到arxiv的一个关于GAN的新框架，里边主要介绍了一种对概率散度的新理解，并且基于这种理解推导出了一个新的GAN。整篇文章比较偏理论，对这个GAN的相关性质都做了完整的论证，自认为是一个理论完备的结果。

文章链接：https://papers.cool/arxiv/1811.07296

先摆结论：

1、论文提供了一种分析和构造概率散度的直接思路，从而简化了构建新GAN框架的过程。

2、推导出了一个称为GAN-QP的GAN框架$\eqref{eq:gan-gp-gd}$，这个GAN不需要像WGAN那样的L约束，又不会有SGAN的梯度消失问题，实验表明它至少有不逊色于、甚至优于WGAN的表现。

GAN-QP效果图

论文的实验最大做到了512x512的人脸生成（CelebA HQ），充分表明了模型的有效性（效果不算完美，但是模型特别简单）。有兴趣的朋友，欢迎继续阅读下去。

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从第一篇看下来到这里，我们知道所谓“最小熵原理”就是致力于降低学习成本，试图用最小的成本完成同样的事情。所以整个系列就是一个“偷懒攻略”。那偷懒的秘诀是什么呢？答案是“套路”，所以本系列又称为“套路宝典”。

本篇我们介绍图书馆里边的套路。

先抛出一个问题：词向量出现在什么时候？是2013年Mikolov的Word2Vec？还是是2003年Bengio大神的神经语言模型？都不是，其实词向量可以追溯到千年以前，在那古老的图书馆中...

图书馆一角（图片来源于百度搜索）

走进图书馆

图书馆里有词向量？还是千年以前？在哪本书？我去借来看看。

放书的套路

其实不是哪本书，而是放书的套路。

很明显，图书馆中书的摆放是有“套路”的：它们不是随机摆放的，而是分门别类地放置的，比如数学类放一个区，文学类放一个区，计算机类也放一个区；同一个类也有很多子类，比如数学类中，数学分析放一个子区，代数放一个子区，几何放一个子区，等等。读者是否思考过，为什么要这么分类放置？分类放置有什么好处？跟最小熵又有什么关系？

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最近把优化算法跟动力学结合起来思考得越来越起劲了，这是优化算法与动力学系列的第三篇，我有预感还会有第4篇，敬请期待～

简单来个剧情回顾：第一篇中我们指出了其实SGD相当于常微分方程（ODE）的数值解法：欧拉法；第二篇我们还是数值解法的误差分析的角度，分析了为什么可以通过梯度来调节学习率，因此也就解释了RMSprop、Adam等算法中，用梯度调节学习率的原理。

本文将给出一个更统一的观点来看待这两个事情，并且试图回答一个更本质的问题：为什么是梯度下降？

（注：本文的讨论没有涉及到动量加速部分。）

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“看那挖坑的人，有啥不一样～”

在这个系列中，我们尝试从能量的视角理解GAN。我们会发现这个视角如此美妙和直观，甚至让人拍案叫绝。

本视角直接受启发于Benjio团队的新作《Maximum Entropy Generators for Energy-Based Models》，这篇文章前几天出现在arxiv上。当然，能量模型与GAN的联系由来已久，并不是这篇文章的独创，只不过这篇文章做得仔细和完善一些。另外本文还补充了自己的一些理解和思考上去，力求更为易懂和完整。

作为第一篇文章，我们先来给出一个直白的类比推导：GAN实际上就是一场前仆后继（前挖后跳？）的“挖坑”与“跳坑”之旅～

总的来说，本文的大致内容如下：

1、给出了GAN/WGAN的清晰直观的能量图像；

2、讨论了判别器（能量函数）的训练情况和策略；

3、指出了梯度惩罚一个非常漂亮而直观的能量解释；

4、讨论了GAN中优化器的选择问题。

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继续“让Keras更酷一些！”系列，让Keras来得更有趣些吧～

这次围绕着Keras的loss、metric、权重和进度条进行展开。

可以不要输出

一般我们用Keras定义一个模型，是这样子的：

x_in = Input(shape=(784,))
x = x_in
x = Dense(100, activation='relu')(x)
x = Dense(10, activation='softmax')(x)

model = Model(x_in, x)
model.compile(loss='categorical_crossentropy ',
              optimizer='adam',
              metrics=['accuracy'])
model.fit(x_train, y_train, epochs=5)

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推土机哪家强？成本最低找Wasserstein

2017年的时候笔者曾写过博文《互怼的艺术：从零直达WGAN-GP》，从一个相对通俗的角度来介绍了WGAN，在那篇文章中，WGAN更像是一个天马行空的结果，而实际上跟Wasserstein距离没有多大关系。

在本篇文章中，我们再从更数学化的视角来讨论一下WGAN。当然，本文并不是纯粹地讨论GAN，而主要侧重于Wasserstein距离及其对偶理论的理解。本文受启发于著名的国外博文《Wasserstein GAN and the Kantorovich-Rubinstein Duality》，内容跟它大体上相同，但是删除了一些冗余的部分，对不够充分或者含糊不清的地方作了补充。不管怎样，在此先对前辈及前辈的文章表示致敬。

（注：完整理解本文，应该需要多元微积分、概率论以及线性代数等基础知识。还有，本文确实长，数学公式确实多，但是，真的不复杂、不难懂，大家不要看到公式就吓怕了～）

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本文来给大家分享一下笔者最近的一个工作：通过简单地修改原来的GAN模型，就可以让判别器变成一个编码器，从而让GAN同时具备生成能力和编码能力，并且几乎不会增加训练成本。这个新模型被称为O-GAN（正交GAN，即Orthogonal Generative Adversarial Network），因为它是基于对判别器的正交分解操作来完成的，是对判别器自由度的最充分利用。

FFHQ线性插值效果图

Arxiv链接：https://papers.cool/arxiv/1903.01931

开源代码：https://github.com/bojone/o-gan

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