科学空间|Scientific Spaces

附：期中考过后，课程紧了，自由时间少了，因此科学空间的更新也放缓了。不过BoJone也会尽量地更新一些内容，和大家一同分享学习的乐趣。

闭区间[a,b]上的连续函数?(x)，其最大值为红色点，最小值为蓝色点

上一周和这一周的时间里，BoJone将自己学习物理和极值的一些内容进行了总结和整合，写成了《自然极值》一文。因此从今天起，到十二月的大多数时间里，科学空间将和大家讲述并讨论关于“极值”的问题，希望读者会喜欢这部分内容。当然，我不是专业的研究人员，更不是经验丰富的物理和数学教师，甚至可以说是一个“乳臭未干的小子”，因此，错误在所难免，只希望同好不吝指出，更希冀能够起到我抛出的这一块“砖”能够引出美妙的“玉”。

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在之前的文章《必须要GPT3吗？不，BERT的MLM模型也能小样本学习》中，我们介绍了一种名为Pattern-Exploiting Training（PET）的方法，它通过人工构建的模版与BERT的MLM模型结合，能够起到非常好的零样本、小样本乃至半监督学习效果，而且该思路比较优雅漂亮，因为它将预训练任务和下游任务统一起来了。然而，人工构建这样的模版有时候也是比较困难的，而且不同的模版效果差别也很大，如果能够通过少量样本来自动构建模版，也是非常有价值的。

P-tuning直接使用[unused]来构建模版，不关心模版的自然语言性

最近Arxiv上的论文《GPT Understands, Too》提出了名为P-tuning的方法，成功地实现了模版的自动构建。不仅如此，借助P-tuning，GPT在SuperGLUE上的成绩首次超过了同等级别的BERT模型，这颠覆了一直以来“GPT不擅长NLU”的结论，也是该论文命名的缘由。

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感觉题目有点像抽屉原理，不过似乎复杂一点：

有12个互不相等的自然数，它们均小于37，求证：这些自然数两两相减的差中，至少有3个相等

我的解答：

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之前在这篇文章中，我们使用过一个牛顿引力场中的自由落体公式：
$t=\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}{r_0 \cdot arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}+\sqrt{r(r_0 -r)}}$——（1）

我们来尝试一下推导出这个公式来。同时，站长在逐渐深入研究的过程中，发现微分方程极其重要。以前一些我认为不可能解决的问题，都用微分方程逐渐解决了。在以后的文章里，我们将会继续体验到微分方程的伟大魔力！因此，建议各位有志研究物理学的朋友，一定要掌握微分方程，更加深入的，需要用到偏微分方程！

首先，质量为m的物理在距离地心r处的引力为$\frac{GMm}{r^2}$，根据牛顿第二定律F=ma，自然下落的物体所获得的加速度为$\frac{GM}{r^2}$。假设物体从距离地心r开始向地心自由下落，求位移s关于t的函数s=s(t).

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在初中或高中，自由落体试验简单地用这个公式来描述出来：
$$s=1/2 g t^2$$
其中$g=9.8m//s^2$，等于1kg物体在地球表面所受的重力。
但是这个公式很明显有一个问题，就是实际上在地球，g不是恒定的，会随着距离（即海拔高度）的变化而变化，上述公式能够在一定范围内描述自然落体运动。但是当距离很大时，公式便失效了。

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自由落体公式-示意图

自由落体的一般定义是：只考虑吸引天体和被吸引天体的引力因素，忽略其他的运动和大气摩擦等因素，物体从静止（相对于吸引天体）开始接近吸引天体的运动。根据这个定义，假设地球为一个均匀球体，半径为r，质量为M，物体从距离地表h高度处自由落下。求落到地面的时间t，或者根据时间t求h。

令s为t时刻物体左右下落的物体与地表的距离，忽略物体的小质量，那么可以列出微分方程：
$$\frac{d^2 s}{dt^2}=-\frac{GM}{(r+s)^2}\tag{1}$$并且初始条件是$t=0,s=h,\dot{s}=v=0$

在实际应用中，我们不必求出这道微分方程的精确解，因为这个解极其麻烦，在之前曾经讨论过。我们只需要求出一个有足够精确度的近似解就行。

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草蜢

保护色（Crypsis）和拟态现象都表现为与环境色彩相似，不易被识别，保护色表现为与环境色彩相似，这里的“环境色彩”应是环境中主要的占优势的色彩，如春夏的草坪是绿色，冬天的雪地是白色；拟态是与环境中某种生物或非生物相似，而这种生物或非生物的颜色等特征并不一定在环境中占优势，并非主要色彩，保护色则与运动状态基本无关，如枯叶蝶停息在树枝上的模样像枯叶，“停息”状态才像枯叶，一旦飞舞起来就不像了。而我们捕捉昆虫也许都有这种体验：有时看到昆虫由这里飞向另一个地方，但马上在另一个地方搜寻，却不能立即找到。

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物理学的美不仅仅表现在简洁的公式上。我们还惊奇地发现，很多物理现象都是按照使某个变量达到极值的方式发生。一个典型的例子就是费马原理，它指出了光的传播路径的一个重要规律：光总是沿着所花时间最短的路径传播。这里我们将简单介绍一下费马原理。

费马原理俗称“最快到达原理”、“最小时间原理”。1657年，费马提出：

从P点到达Q点，在所有可行的路径中，光选择了所需时间最短的一条。

从P点到达Q点，在所有可行的路径中，光选择了所需时间为极值的一条。

这是一个极其奇妙的原理，也是自然界中最神奇的极值之一。作为非生物的光，居然自主地选择了最优路径，成为世界上“效率最高”的东西，这让人不得不佩服宇宙的伟大。这究竟是造物者的精心设计，还是无心之作？

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