科学空间|Scientific Spaces

昨天晚上一位网友与我讨论以下问题：

函数$y=\sqrt{3} x-\frac{1}{x}$的图像为双曲线，在此双曲线的两支上分别取P、Q点，求PQ的最短距离。

显然，如果双曲线是普通的$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的形式，则这个问题是相当简单的。就是当y=0时两个点的距离，也就是2a。但是很明显这样的一条双曲线是经过旋转的。因此我们需要知道它究竟旋转了多少度$\theta$。然后列出$y=(\tan\theta) x$，联立双曲线方程就可以求出两个点了。

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为什么第二篇姗姗来迟？

其实要写这系列之前，我已经构思好了接下来几篇的内容，本来想要自信地介绍自己想到的一些积分展开的技巧；而且摄动法我本身就比较熟悉，所以正常来说不会这么迟才有第二篇。然而，在我写完第一篇，准备写第二篇的期间，我看到了知乎上的这篇回复：
http://www.zhihu.com/question/24735673

这篇文章大大地拓展了我对级数的认识。里边谈及到了积分的展开是一个渐近级数。这让我犹豫了，怀疑这系列有没有价值，因为渐近级数意味着不管怎样的展开技巧，得到的级数收敛半径都是0。

后来再想想，就算是渐近级数，也有改进的空间，有加速收敛的方法，所以我想我这几篇文章，应该还有一点点意义吧，还可以顺便介绍一下渐近级数和奇点的相关理论。嗯，就这么办吧。

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在本系列的第五篇文章中，BoJone导出了一些看似不合理的公式，而且并没有说明它的应用和来源。其实，这些都是我在研究以下积分的时候总结出来的：

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{a^2+x^2}dx$$

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不可否认，变分法是非常有用而绝妙的一个数学工具，它“自动地”为我们在众多函数中选出了最优的一个，而免除了具体的分析过程。物理中的最小作用量原理则让变分法有了巨大的用武之地，并反过来也推动了变分法的发展。但是变分法的一个很明显的特点就是在大多数情况下计算相当复杂，甚至如果“蛮干”的话我们几乎连微分方程组都列不出来。因此，一些有用的技巧是很受欢迎的。本文就打算介绍这样的一个小技巧，来让某些变分问题得到一定的化简。

我是怎么得到这个技巧的呢？事实上，那是几个月前我在阅读《引力与时空》时，读到变分原理那一块时我怎么也读不懂，想不明白。明明我觉得是错误的东西，为什么可以得到正确的结果？我的数学直觉告诉我绝对是作者的错，可是我又想不出作者哪里错了，所以就一直把这个问题搁置着。最近我终于得到了自己比较满意的答案，并且窃认为是本文所要讲的这个技巧却被物理学家“误用”了。

技巧

首先来看通常我们是怎么处理变分问题的，以一元函数为例，对于求
$$S=\int L(x,\dot{x},t)dt$$

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在之前的一些文章中，我们已经谈到过欧拉数学。总体上来讲，欧拉数学就是具有创造性的、直觉性的技巧和方法，这些方法能够推导出一些漂亮的结果，而方法本身却并不严密。然而，在很多情况下，严密与直觉只是一步之遥。接下来要介绍的是我上学期《数学分析》期末考的一道试题，而我解答这道题的灵感来源便是“欧拉数学”。

数列${a_n}$是递增的正数列，求证：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)$收敛等价于${a_n}$收敛。

据说参考答案给出的方法是利用数列的柯西收敛准则，我也没有仔细去看，我在探索自己的更富有直觉型的方法。这就是所谓的“I do not understand what I can not create.”。下面是我的思路。

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作为量子理论的一个重要定理，不确定性原理总是伴随着物理意义出现的，但是从数学的角度来讲，把不确定性原理的数学形式抽象出来，有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。

本文中，我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是，不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中，厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵；而所谓厄密矩阵，就是一个矩阵同时取共轭和转置之后，等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况，那就是n维实矩阵，n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。

设$\boldsymbol{x}$是一个$n$维单位向量，即$|\boldsymbol{x}|=1$，而$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中，$\boldsymbol{x}$就是波函数，但是在这里，它只不过是一个单位实向量；并记$\boldsymbol{I}$是$n$阶单位阵。

考虑
$$\bar{A}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\bar{B}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}$$
从这些记号可以看出，这些量对应着可观测量的期望值。当然，如果不懂量子力学，可以只看上面的矩阵形式。

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我们通常用一个波动方程来描述弦的振动，但是，弦的振动是二维的，也就是说，它的“波”是在垂直方向的位移。让我们来考虑一根一端固定的一维理想弹簧，胡克系数为$k$，它的松弛状态是均匀的，线密度是$\rho$，长度是$l$，质量是$m$。

如何弹？
我们要分析这根弹簧的运动，即给定弹簧的初始状态，看弹簧的密度如何变化，这种情况类似于“横波”。但是，弹簧本身是连续介质，这是我们不熟悉的，但是我们可以将它离散化，将它看成无数个小质点的弹簧链。如下图

离散的弹簧

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开学已经是第二周了，我的《微分几何》也上课两周了，进度比较慢，现在才讲到平面曲线的曲率。在平面曲线$\boldsymbol{t}(t)=(x(t),y(t))$某点上可以找出单位切向量。
$$\boldsymbol{t}=\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds}\right)$$
其中$ds^2 =dx^2+dy^2$，将这个向量逆时针旋转90度之后，就可以定义相应的单位法向量$\boldsymbol{n}$，即$\boldsymbol{t}\cdot\boldsymbol{n}=0$。

常规写法

让我们用弧长$s$作为参数来描述曲线方程，$\boldsymbol{t}(s)=(x(s),y(s))$，函数上的一点表示对$s$求导。那么我们来考虑$\dot{\boldsymbol{t}}$，由于$\boldsymbol{t}^2=1$，对s求导得到
$$\boldsymbol{t}\cdot\dot{\boldsymbol{t}}=0$$

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