昨天晚上一位网友与我讨论以下问题:

函数$y=\sqrt{3} x-\frac{1}{x}$的图像为双曲线,在此双曲线的两支上分别取P、Q点,求PQ的最短距离。

显然,如果双曲线是普通的$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的形式,则这个问题是相当简单的。就是当y=0时两个点的距离,也就是2a。但是很明显这样的一条双曲线是经过旋转的。因此我们需要知道它究竟旋转了多少度$\theta$。然后列出$y=(\tan\theta) x$,联立双曲线方程就可以求出两个点了。

要求出旋转的角度,我们需要借助双曲线的两条渐近线。直线的问题总比双曲线问题容易处理一些。“渐近”就意味着当函数取极限的时候的大概形状。当$x\to \infty$时,$\frac{1}{x} \to 0$,即其中一条渐近线为$y=\sqrt{3} x$;另外,当$x\to 0$时,$y\to \infty$,这说明另外一条渐近线为$x=0$,后面一条渐近线的情况不妨类比$y=\frac{1}{x}$的渐近线。

我们把双曲线和渐近线作图如下:

双曲线-渐近线

双曲线-渐近线

接下来只需要求出两条渐近线的角平分线方程即可,即图中的绿色虚线。经过简单的推理就可以得出绿色的虚线与x轴的负方向夹角为15°,即$\frac{\pi}{12}$,通过:
$$\frac{2 \tan\frac{\pi}{12}}{1-\tan^2 \frac{\pi}{12}}=\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

可以求出$tan\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}$,因此绿色虚线的方程为
$$y=(\sqrt{3}-2)x$$

联立$y=\sqrt{3} x-\frac{1}{x}$可以求出
$$x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$
对应:
$y=\pm (\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{2})$

所以距离为
$$\begin{aligned}2\sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})} \\ =2\sqrt{4-2\sqrt{3}} \\ =2(\sqrt{3}-1)\end{aligned}$$

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