《方程与宇宙》:限制性三体的那些事儿(八)

在上一些关于限制性三体问题的探讨中，我们得出了在平面上的方程：
$$\ddot{R}+2i\omega \dot{R}=\omega^2 R-GM\frac{R-l_1}{|R-l_1|^3}-Gm\frac{R-l_2}{|R-l_2|^3}\tag{32}$$
能量积分为：
$$\frac{1}{2}|\dot{R}|^2=\frac{1}{2} \omega^2 |R|^2+\frac{GM}{|R-l_1|}+\frac{Gm}{|R-l_2|}-C\tag{33}$$
下面就以这两个方程为基础，再说说限制性三体问题的那些事儿...

(一)拉格朗日点问题

拉格朗日最初就是在研究圆形限制性三体问题时推导出五个拉格朗日点的。对于绝大多数微分方程，都会存在这样的几个特解，即“函数值=常数”的解。只要把各阶导数变成0，然后代数方程就行了（前提是有解）。在（32）式中，令$\ddot{R},\dot{R}=0$，得到

$$\omega^2 R-GM\frac{R-l_1}{|R-l_1|^3}-Gm\frac{R-l_2}{|R-l_2|^3}=0$$

并注意二体问题中有$\omega^2=\frac{G(M+m)}{l^3}$，因此
$$\frac{G(M+m)}{l^3} R-GM\frac{R-l_1}{|R-l_1|^3}-Gm\frac{R-l_2}{|R-l_2|^3}=0\tag{34}$$
(34)式子的解就是五个拉格朗日点了。关于三个直线点就不细说了，分情况解就行。至于$L_4,L_5$，则是$|R-l_1|=|R-l_2|=l$时的解，这是一个通解，即与M,m无关。具体解答也不写出来了，可以查看http://kexue.fm/archives/874/

(二)第三宇宙速度问题

上一篇文章提到过限制性三体问题的应用条件之一是短程。那么现在就看一下长程的处理效果，一个“最长程”的问题，即推导第三宇宙速度（飞到无穷远）。(33)式中，左边的$R$是相对于旋转的坐标系（如地球绕太阳）的轨迹，$\dot{R}$的意思是$\dot{r}$（真实速度）与横向的坐标速度的向量差，因此当第三体在地球附近时$\dot{R}$可以看成是相对于地球的速度了。

飞到无穷远时，$\dot{r}=0$，但是坐标系本身在旋转，所以$|\dot{R}|=\omega |R|$，于是得出$C=0$。

$$\frac{1}{2}|\dot{R}|^2=\frac{1}{2} \omega^2 |R|^2+\frac{GM}{ |R-l_1| }+\frac{Gm}{|R-l_2|}$$

放到地日系中，$|l_1|\approx 0,|l_2|\approx l$，$|R|\approx l$，$ |R-l_2| =R_e$即地球半球，代入数据求出$\dot{R}\approx 50km//s$！！居然这么离谱，把16.7算到了50？？

由此可见该模型的局限性。

(三)哥本哈根问题（problem of Copenhagen）

不要那么快想到气候问题。呵呵，关于限制性三体有一个有趣的事儿。研究有关限制性三体问题周期解的一系列课题。庞加莱建立的周期解理论，对解决小行星的运动理论中的困难问题起了很大作用，引起人们的重视。哥本哈根天文台的斯特龙根和他的同事对平面圆型限制性三体问题做了大量的工作，将在五个平动点和两个有限质量体P1、P2等七个点附近可能出现的周期解加以分类，并研究了顺行和逆行的周期轨道以及渐近轨道等。以他们的工作为基础，在1936年哥本哈根天文台召开的一次国际会议上，提出了一项研究限制性三体问题周期解的计划。所研究的题目是假定两个有限质量体的质量相等，彼此互绕作圆周运动，第三体质量为无限小，与两个有限质量体在同一个平面上运动，要求找出三类周期解：①围绕两个有限质量体之一的周期轨道；②同时围绕两个有限质量体的周期轨道；③围绕拉格朗日平动点的周期轨道和渐近轨道。包括这些轨道演化的有关研究课题，统称为哥本哈根问题。

二十世纪以来有不少数学家用定性方法研究N体问题，取得很多重要成果。例如温特纳研究了N体问题的特解，证明在一定条件下，N个质点可以组成某种确定的形状（如直线或多面体等），它在运动中只有旋转和伸缩，形状永远不变。这种类型的特解取名为中心构形，实际上是三体问题中拉格朗日特解的推广。而且N个质点在同一直线上相对平衡的特解数目为 $1/2 N!$ 个（读者不妨尝试证明？），这与三体问题的结果一致。另外，还有不少人把三体问题的其他结果，如碰撞问题、正规化、俘获理论等问题推广到N体问题，也得到了类似的结论。

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