科学空间|Scientific Spaces

级数是数学的一门很具有实用性的分支，而级数求和则是级数研究中的核心内容之一。很多问题都可以表示成一个级数的和或积，也就是$\sum_{i=1}^n f(i)$或者是$\prod_{i=1}^n f(i)$类型的运算。其中，$\ln(\prod_{i=1}^n f(i))=\sum_{i=1}^n \ln(f(i))=k$，因此$\prod_{i=1}^n f(i)=e^k$，也就是说，级数求积也可以变为级数求和来计算，换言之我们可以把精力放到级数求和上去。

为了解决一般的级数求和问题，我们考虑以下方程的解：
$$f(x+\epsilon)-f(x)=g(x)\tag{1}$$其中g(x)是已知的以x为变量的函数式，$\epsilon $是常数，初始条件是$f(k)=b$，要求f(x)的表达式。

点击阅读全文...

关于行星留的周期的计算，我们之前已经讨论过这个问题，利用的是微积分的方法。也许不少还没有高数基础的朋友会感到很头晕，因此在这里给出一个从几何方面讨论的推导。

关于留，很多人认为就是行星相对于地球的速度为0的时刻，其实这个说法稍欠准确，严格来讲应该要将速度改为“角速度”或“切向速度”（天文的切向就是指与视线方向垂直的方向）。实际的运动中，没有哪一瞬间行星相对于地球的运动速度是为0的。根据这句话，我们可以作出下面的图（依旧只考虑正圆运动）：

行星留-运动分析

点击阅读全文...

universe_mystery_expand

1929年哈勃(Edwin Hubble)对河外星系的视向速度与距离的关系进行了研究。当时只有46个河外星系的视向速度可以利用，而其中仅有24个有推算出的距离，哈勃得出了视向速度与距离之间大致的线性正比关系。

不少宇宙学的书籍中都提到了标题，那么，为什么哈勃定律是宇宙各向同性的体现？或者说为什么宇宙各向同性就必然导致哈勃定律？

首先我们得需要了解一下宇宙学原理，它告诉我们宇宙在大尺度范围是均匀的、各向同性的。基于这个原理，我们会得到一些很奇怪的东西，如宇宙中的每一点都是宇宙的中心。另外，我们还可以得到：宇宙的（整体）运动情况在每一个方向都应该取相同的形式。

点击阅读全文...

$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+...$
最近为了数学竞赛，我研究了有关数列和排列组合的相关问题。由于我讨厌为某个问题而设计专门的技巧，所以我偏爱通用的方法，哪怕过程相对麻烦。因此，我对数学归纳法（递推法）和生成函数法情有独钟。前者只需要列出问题的递归关系，而不用具体分析，最终把问题转移到解函数方程上来。后者则巧妙地把数列${a_n}$与幂级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$一一对应，巧妙地通过代数运算或微积分运算等得到结果。这里我们不用考虑该级数的敛散性，只需要知道它对应着哪一个“母函数”（母函数展开泰勒级数后得到了级数$\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$）。显然，这两种方法的最终，都是把问题归结为代数问题。

点击阅读全文...

这个星期研究了两道微分方程问题：“导弹跟踪”以及“太阳炉”问题。从中我加深了对微分方程的理解，也熟悉了微分方程的相关运算。仅此记录，权当抛砖引玉。

一、微分方程的本质

很多读者都知道，自从牛顿和莱布尼兹发明微积分之后，微积分就迅速地渗透到了几乎所有的学科，后来发展出许多出色的分支，如变分、微分方程等。众所周知，微分方程是解决很多重要问题的工具。不知道各位读者对微分及微分方程的认识如何？其实对于常微分方程而言，它的本质和我们已经学习过的代数方程一样，只不过相互之间的对应运算关系除了常规的加减乘除幂等之外，还多了两个相互关系：微分和积分。例如对于一阶微分方程$\dot{y}=f(x,y)$，也许大家都认为它是一个二元方程，其实不然，这是一个“四个未知数、三道方程”所组成的方程组，我们可以将它写成

$$dy=f(x,y)dx,y=\int dy,x=\int dx$$

点击阅读全文...

如果说前面关于这个系列的内容还不能使得读者您感到痛快，那么接下来要讲述的最速降线和悬链线问题也许能够满足你的需要。不过在进入对最速降线问题的理论探讨之前，我们先来讲述一个发生在17世纪的激动人心的数学竞赛的故事。我相信，每一个热爱数学和物理的朋友，都将会为其所振奋，为其所感动。里边渗透的，不仅仅是一次学术的竞争，更是一代又一代的人对真理的追求与探路的不懈精神。

（以下内容来源于网络，科学空间整理）

意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题── “一个质点在重力作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”这算是这个著名问题的起源了（为什么别人没有想起这个问题呢？所以说大科学家的素质就是思考、创新，要有思想，人没有思想，就和行尸走肉没有什么区别）。可惜的是伽利略说这曲线是圆，但这却是一个错误的答案。

Brachistochrone

点击阅读全文...

通过上一小节的小故事，我们已经能够基本了解最速降线的内容了，它就是要我们求出满足某一极值条件的一个未知函数，由于函数是未知的，因此这类问题被称为“泛分析”。其中还谈到，伯努利利用费马原理巧妙地得出了答案，那么我们现在就再次回顾历史，追寻伯努利的答案，并且寻找进一步的应用。

最速降线-1

为了计算方便，我们把最速降线倒过来，把初始点设置在原点。在下落过程中，重力势能转化为动能，因此，在点(x,y)处有$\frac{1}{2} mv^2=mgy\Rightarrow v=\sqrt{2gy}$，由于纯粹为了探讨曲线形状，所以我们使g=0.5，即$v=\sqrt{y}$。在点(x,y)处所走的路程为$ds=\sqrt{dy^2+dx^2}=\sqrt{\dot{y}^2+1}dx$，所以时间为$dt=\frac{ds}{v}=\frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{\sqrt{y}}$，于是最速降线问题就是求使$t=\int_0^{x_2} \frac{\sqrt{\dot{y}^2+1}dx}{\sqrt{y}}$最小的函数。

点击阅读全文...

The Three Body Problem and its Classical Integration

很多天文爱好者都已经接触到了“二体问题”（我们在高中学习到的“开普勒三定律”就是内容之一），由于在太阳系中行星质量相对较小而且距离相对较远，应用“二体问题”的解对天体进行计算、预报等能够满足一定的近似需求。不过，如果需要更高精度的计算，就不能把其他行星的引力给忽略掉了，于是就产生了所谓N体问题（N-Body Problem），即N个质点尽在它们各自引力的相互作用下的运动规律问题。最简单的二体已经被彻底解决，而三体或更多体的问题则与二体大相径庭，因为庞加莱证明了，三体问题不能严格求解，而且这是一个混沌系统，任何微小的扰动都会造成不可预期的效果。

根据牛顿力学，选择惯性参考系，设三个质点分别为$M_1,M_2,M_3$，向径分别为$\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3}$，可以列出运动方程（以下的导数都默认是对时间t求导）

点击阅读全文...