缓存与效果的极限拉扯：从MHA、MQA、GQA到MLA

前几天，幻方发布的DeepSeek-V2引起了大家的热烈讨论。首先，最让人哗然的是1块钱100万token的价格，普遍比现有的各种竞品API便宜了两个数量级，以至于有人调侃“这个价格哪怕它输出乱码，我也会认为这个乱码是一种艺术”；其次，从模型的技术报告看，如此便宜的价格背后的关键技术之一是它新提出的MLA（Multi-head Latent Attention），这是对GQA的改进，据说能比GQA更省更好，也引起了读者的广泛关注。

接下来，本文将跟大家一起梳理一下从MHA、MQA、GQA到MLA的演变历程，并着重介绍一下MLA的设计思路。

MHA #

MHA（Multi-Head Attention），也就是多头注意力，是开山之作《Attention is all you need》所提出的一种Attention形式，可以说它是当前主流LLM的基础工作。在数学上，多头注意力MHA等价于多个独立的单头注意力的拼接，假设输入的（行）向量序列为$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_l$，其中$\boldsymbol{x}_i\in\mathbb{R}^d$，那么MHA可以形式地记为
\begin{equation}
\begin{gathered}
\boldsymbol{o}_t = \left[\boldsymbol{o}_t^{(1)}, \boldsymbol{o}_t^{(2)}, \cdots, \boldsymbol{o}_t^{(h)}\right] \\[10pt]
\boldsymbol{o}_t^{(s)} = Attention\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)}, \boldsymbol{k}_{\leq t}^{(s)} ,\boldsymbol{v}_{\leq t}^{(s)}\right)\triangleq\frac{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top}\right)\boldsymbol{v}_i^{(s)}}{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top}\right)} \\[15pt]
\boldsymbol{q}_i^{(s)} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_q^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_k},\quad \boldsymbol{W}_q^{(s)}\in\mathbb{R}^{d\times d_k}\\
\boldsymbol{k}_i^{(s)} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_k^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_k},\quad \boldsymbol{W}_k^{(s)}\in\mathbb{R}^{d\times d_k} \\
\boldsymbol{v}_i^{(s)} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_v^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_v},\quad \boldsymbol{W}_v^{(s)}\in\mathbb{R}^{d\times d_v}
\end{gathered}
\end{equation}
简单起见，这里省略了Attention矩阵的缩放因子。实践上，常见的设置是$d_k = d_v = d / h$，对于LLAMA2-7b有$d=4096, h=32, d_k = d_v = 128$，LLAMA2-70b则是$d=8192,h=64, d_k = d_v = 128$

由于这里只考虑了主流的自回归LLM所用的Causal Attention，因此在token by token递归生成时，新预测出来的第$t+1$个token，并不会影响到已经算好的$\boldsymbol{k}_{\leq t}^{(s)} ,\boldsymbol{v}_{\leq t}^{(s)}$，因此这部分结果我们可以缓存下来供后续生成调用，避免不必要的重复计算，这就是所谓的KV Cache。

而后面的MQA、GQA、MLA，都是围绕“如何减少KV Cache同时尽可能地保证效果”这个主题发展而来的产物。

瓶颈 #

一个自然的问题是：为什么降低KV Cache的大小如此重要？

众所周知，一般情况下LLM的推理都是在GPU上进行，单张GPU的显存是有限的，一部分我们要用来存放模型的参数和前向计算的激活值，这部分依赖于模型的体量，选定模型后它就是个常数；另外一部分我们要用来存放模型的KV Cache，这部分不仅依赖于模型的体量，还依赖于模型的输入长度，也就是在推理过程中是动态增长的，当Context长度足够长时，它的大小就会占主导地位，可能超出一张卡甚至一台机（8张卡）的总显存量。

在GPU上部署模型的原则是：能一张卡部署的，就不要跨多张卡；能一台机部署的，就不要跨多台机。这是因为“卡内通信带宽 > 卡间通信带宽 > 机间通信带宽”，由于“木桶效应”，模型部署时跨的设备越多，受设备间通信带宽的的“拖累”就越大，事实上即便是单卡H100内SRAM与HBM的带宽已经达到了3TB/s，但对于Short Context来说这个速度依然还是推理的瓶颈，更不用说更慢的卡间、机间通信了。

所以，减少KV Cache的目的就是要实现在更少的设备上推理更长的Context，或者在相同的Context长度下让推理的batch size更大，从而实现更快的推理速度或者更大的吞吐总量。当然，最终目的都是为了实现更低的推理成本。

要想更详细地了解这个问题，读者可以进一步阅读《FlashAttention: Fast and Memory-Efficient Exact Attention with IO-Awareness》、《A guide to LLM inference and performance》、《LLM inference speed of light》等文章，这里就不继续展开了（主要是笔者水平也有限，唯恐说多错多）。

MQA #

MQA，即“Multi-Query Attention”，是减少KV Cache的一次非常朴素的尝试，首次提出自《Fast Transformer Decoding: One Write-Head is All You Need》，这已经是2019年的论文了，这也意味着早在LLM火热之前，减少KV Cache就已经是研究人员非常关注的一个课题了。

MQA的思路很简单，直接让所有Attention Head共享同一个K、V，用公式来说，就是取消MHA所有的$\boldsymbol{k},\boldsymbol{v}$的上标${}^{(s)}$：
\begin{equation}\require{cancel}
\begin{gathered}
\boldsymbol{o}_t = \left[\boldsymbol{o}_t^{(1)}, \boldsymbol{o}_t^{(2)}, \cdots, \boldsymbol{o}_t^{(h)}\right] \\[10pt]
\boldsymbol{o}_t^{(s)} = Attention\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)}, \boldsymbol{k}_{\leq t}^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}} ,\boldsymbol{v}_{\leq t}^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}\right)\triangleq\frac{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}{}^{\top}\right)\boldsymbol{v}_i^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}}{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}{}^{\top}\right)} \\[15pt]
\boldsymbol{q}_i^{(s)} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_q^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_k},\quad \boldsymbol{W}_q^{(s)}\in\mathbb{R}^{d\times d_k}\\
\boldsymbol{k}_i^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_k^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}\in\mathbb{R}^{d_k},\quad \boldsymbol{W}_k^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}\in\mathbb{R}^{d\times d_k} \\
\boldsymbol{v}_i^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_v^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}\in\mathbb{R}^{d_v},\quad \boldsymbol{W}_v^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}\in\mathbb{R}^{d\times d_v}
\end{gathered}
\end{equation}
使用MQA的模型包括PaLM、StarCoder、Gemini等。很明显，MQA直接将KV Cache减少到了原来的$1/h$，这是非常可观的，单从节省显存角度看已经是天花板了。

效果方面，目前看来大部分任务的损失都比较有限，且MQA的支持者相信这部分损失可以通过进一步训练来弥补回。此外，注意到MQA由于共享了K、V，将会导致Attention的参数量减少了将近一半，而为了模型总参数量的不变，通常会相应地增大FFN/GLU的规模，这也能弥补一部分效果损失。

GQA #

然而，也有人担心MQA对KV Cache的压缩太严重，以至于会影响模型的学习效率以及最终效果。为此，一个MHA与MQA之间的过渡版本GQA（Grouped-Query Attention）应运而生，出自论文《GQA: Training Generalized Multi-Query Transformer Models from Multi-Head Checkpoints》，是去年的工作。

事后看来，GQA的思想也很朴素，它就是将所有Head分为$g$个组（$g$可以整除$h$），每组共享同一对K、V，用数学公式表示为
\begin{equation}
\begin{gathered}
\boldsymbol{o}_t = \left[\boldsymbol{o}_t^{(1)}, \boldsymbol{o}_t^{(2)}, \cdots, \boldsymbol{o}_t^{(h)}\right] \\[10pt]
\boldsymbol{o}_t^{(s)} = Attention\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)}, \boldsymbol{k}_{\leq t}^{\color{red}{(\lceil sg/h\rceil)}} ,\boldsymbol{v}_{\leq t}^{\color{red}{(\lceil sg/h\rceil)}}\right)\triangleq\frac{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{\color{red}{(\lceil sg/h\rceil)}}{}^{\top}\right)\boldsymbol{v}_i^{\color{red}{(\lceil sg/h\rceil)}}}{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{\color{red}{(\lceil sg/h\rceil)}}{}^{\top}\right)} \\[15pt]
\boldsymbol{q}_i^{(s)} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_q^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_k},\quad \boldsymbol{W}_q^{(s)}\in\mathbb{R}^{d\times d_k}\\
\boldsymbol{k}_i^{\color{red}{(\lceil sg/h\rceil)}} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_k^{\color{red}{(\lceil sg/h\rceil)}}\in\mathbb{R}^{d_k},\quad \boldsymbol{W}_k^{\color{red}{(\lceil sg/h\rceil)}}\in\mathbb{R}^{d\times d_k} \\
\boldsymbol{v}_i^{\color{red}{(\lceil sg/h\rceil)}} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_v^{\color{red}{(\lceil sg/h\rceil)}}\in\mathbb{R}^{d_v},\quad \boldsymbol{W}_v^{\color{red}{(\lceil sg/h\rceil)}}\in\mathbb{R}^{d\times d_v}
\end{gathered}
\end{equation}
这里的$\lceil\cdot\rceil$是上取整符号。GQA提供了MHA到MQA的自然过渡，当$g=h$时就是MHA，$g=1$时就是MQA，当$1 < g < h$时，它只将KV Cache压缩到$g/h$，压缩率不如MQA，但同时也提供了更大的自由度，效果上更有保证。GQA最知名的使用者，大概是Meta开源的LLAMA2-70B，以及LLAMA3全系列，此外使用GQA的模型还有TigerBot、DeepSeek-V1、StarCoder2、Yi、ChatGLM2、ChatGLM3等，相比使用MQA的模型更多（ChatGLM虽然在它的介绍中说自己是MQA，但实际是$g=2$的GQA）。

在llama2/3-70B中，GQA的$g=8$，其他用了GQA的同体量模型基本上也保持了这个设置，这并非偶然，而是同样出于推理效率的考虑。我们知道，70B这个体量的模型，如果不进行极端的量化，那么不可能部署到单卡（A100/H100 80G）上。单卡不行，那么就能单机了，一般情况下一台机可以装8张卡，刚才我们说了，Attention的每个Head实际上是独立运算然后拼接起来的，当$g=8$时，正好可以每张卡负责计算一组K、V对应的Attention Head，这样可以在尽可能保证K、V多样性的同时最大程度上减少卡间通信。

MLA #

有了MHA、MQA、GQA的铺垫，我们理解MLA（Multi-head Latent Attention）就相对容易一些了。DeepSeek-V2的技术报告里是从低秩投影的角度引入MLA的，以至于有部分读者提出“为什么LoRA提出这么久了，直到MLA才提出对KV Cache低秩分解的做法”之类的疑问。

然而，笔者认为低秩投影这个角度并不贴近本质，因为要说低秩投影的话，事实上只要我们将GQA的所有K、V叠在一起，就会发现GQA也相当于在做低秩投影：
\begin{equation}\underbrace{\left[\boldsymbol{k}_i^{(1)},\cdots,\boldsymbol{k}_i^{(g)},\boldsymbol{v}_i^{(1)},\cdots,\boldsymbol{v}_i^{(g)}\right]}_{\boldsymbol{c}_i\in\mathbb{R}^{g(d_k+d_v)}} = \boldsymbol{x}_i \underbrace{\left[\boldsymbol{W}_k^{(1)},\cdots,\boldsymbol{W}_k^{(g)},\boldsymbol{W}_v^{(1)},\cdots,\boldsymbol{W}_v^{(g)}\right]}_{\boldsymbol{W}_c\in\mathbb{R}^{d\times g(d_k+d_v)}}\end{equation}
这里我们将所有$\boldsymbol{k}_i^{(s)},\boldsymbol{v}_i^{(s)}$拼在一起记为$\boldsymbol{c}_i$，相应的投影矩阵也拼在一起记为$\boldsymbol{W}_c$，注意到一般都有$d_c = g(d_k+d_v) < d$，所以$\boldsymbol{x}_i$到$\boldsymbol{c}_i$的变换就是一个低秩投影。所以，MLA的本质改进不是低秩投影，而是低秩投影之后的工作。

Part 1 #

GQA在投影之后做了什么呢？首先它将向量对半分为两份分别作为K、V，然后每一份又均分为$g$份，每一份复制$h/g$次，以此来“凑”够$h$个Attention Head所需要的K、V。我们知道分割、复制都是简单的线性变换，所以MLA的第一个想法是将这些简单的线性变换换成一般的线性变换，以增强模型的能力：
\begin{equation}
\begin{gathered}
\boldsymbol{o}_t = \left[\boldsymbol{o}_t^{(1)}, \boldsymbol{o}_t^{(2)}, \cdots, \boldsymbol{o}_t^{(h)}\right] \\[10pt]
\boldsymbol{o}_t^{(s)} = Attention\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)}, \boldsymbol{k}_{\leq t}^{(s)} ,\boldsymbol{v}_{\leq t}^{(s)}\right)\triangleq\frac{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top}\right)\boldsymbol{v}_i^{(s)}}{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top}\right)} \\[15pt]
\boldsymbol{q}_i^{(s)} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_q^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_k},\quad \boldsymbol{W}_q^{(s)}\in\mathbb{R}^{d\times d_k}\\
\boldsymbol{k}_i^{(s)} = \boldsymbol{c}_i\boldsymbol{W}_k^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_k},\quad \boldsymbol{W}_k^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_c\times d_k} \\
\boldsymbol{v}_i^{(s)} = \boldsymbol{c}_i\boldsymbol{W}_v^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_v},\quad \boldsymbol{W}_v^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_c\times d_v} \\[10pt]
\boldsymbol{c}_i = \boldsymbol{x}_i \boldsymbol{W}_c\in\mathbb{R}^{d_c},\quad \boldsymbol{W}_c\in\mathbb{R}^{d\times d_c}
\end{gathered}
\end{equation}
然而，理论上这样是能增加模型能力，但别忘了GQA的主要目的是减少KV Cache，出于节省计算和通信成本的考虑，我们一般会缓存的是投影后的$\boldsymbol{k}_i, \boldsymbol{v}_i$而不是投影前的$\boldsymbol{c}_i$或$\boldsymbol{x}_i$，而MLA的这个做法，通过不同的投影矩阵再次让所有的K、V Head都变得各不相同，那么KV Cache的大小就恢复成跟MHA一样大了，违背了GQA的初衷。

对此，MLA发现，我们可以结合Dot-Attention的具体形式，通过一个简单但不失巧妙的恒等变换来规避这个问题。首先，在训练阶段还是照常进行，此时优化空间不大；然后，在推理阶段，我们利用
\begin{equation}\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top} = \left(\boldsymbol{x}_t\boldsymbol{W}_q^{(s)}\right) \left(\boldsymbol{c}_i\boldsymbol{W}_k^{(s)}\right){}^{\top} = \boldsymbol{x}_t\left(\boldsymbol{W}_q^{(s)}\boldsymbol{W}_k^{(s)}{}^{\top}\right)\boldsymbol{c}_i^{\top} \end{equation}
这意味着推理阶段，我们可以将$\boldsymbol{W}_q^{(s)}\boldsymbol{W}_k^{(s)}{}^{\top}$合并起来作为Q的投影矩阵，那么$\boldsymbol{c}_i$则取代了原本的$\boldsymbol{k}_i$，同理，在$\boldsymbol{o}_t$后面我们还有一个投影矩阵，于是$\boldsymbol{v}_i^{(s)} = \boldsymbol{c}_i\boldsymbol{W}_v^{(s)}$的$\boldsymbol{W}_v^{(s)}$也可以吸收到后面的投影矩阵中去，于是等效地$\boldsymbol{v}_i$也可以用$\boldsymbol{c}_i$代替，也就是说此时KV Cache只需要存下所有的$\boldsymbol{c}_i$就行，而不至于存下所有的$\boldsymbol{k}_i^{(s)}$、$\boldsymbol{v}_i^{(s)}$。注意到$\boldsymbol{c}_i$跟${}^{(s)}$无关，也就是说是所有头共享的，即MLA在推理阶段它可以恒等变换为一个MQA。

再次强调，本文的主题是一直都是减少KV Cache，那到目前为止，MLA做到了什么呢？答案是通过不同的投影矩阵来增强了GQA的能力，并且推理时可以保持同样大小的KV Cache。那么反过来，如果我们只需要跟GQA相近的能力，那么是不是就可以再次减少KV Cache了？换言之，$d_c$没必要取$g(d_k+d_v)$，而是取更小的值（DeepSeek-V2取了512），从而进一步压缩KV Cache，这就是MLA的核心思想。

（注：这里有一个细节，就是$\boldsymbol{W}_q^{(s)}\boldsymbol{W}_k^{(s)}{}^{\top}$合并成一个矩阵的恒等变换，理论上只有在无限精度下才成立，实际上如果我们使用单精度尤其是BF16的话，经过变换后的精度损失往往还是挺明显的，经过多层累积后可能放大到比较可观的程度，这里可能要根据实际误差看要不要做一些后处理。）

Part 2 #

一切似乎都很完美，看上去一个又好又省的理想设计就要出炉了。不过别急，当我们再深入思考一下就会发现，到目前为止的MLA有一个难以绕开的缺陷——不兼容RoPE（旋转位置编码）。

刚才我们说了，MLA之所以能保持跟GQA一样大小的KV Cache，其关键一步是“将$\boldsymbol{W}_q^{(s)}\boldsymbol{W}_k^{(s)}{}^{\top}$合并成一个（跟位置无关的）矩阵作为Q的投影矩阵”，但如果加了RoPE的话，这一步就无法实现了。这是因为RoPE是一个跟位置相关的、$d_k\times d_k$的分块对角矩阵$\boldsymbol{\mathcal{R}}_m$，满足$\boldsymbol{\mathcal{R}}_m\boldsymbol{\mathcal{R}}_n^{\top}=\boldsymbol{\mathcal{R}}_{m-n}$，MLA加入RoPE之后会让$\boldsymbol{W}_q^{(s)}\boldsymbol{W}_k^{(s)}{}^{\top}$之间多插入了一项$\boldsymbol{\mathcal{R}}_{t-i}$：
\begin{equation}
\boldsymbol{q}_i^{(s)} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_q^{(s)}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_i}\quad,\quad\boldsymbol{k}_i^{(s)} = \boldsymbol{c}_i\boldsymbol{W}_k^{(s)}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_i} \\
\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top} = \left(\boldsymbol{x}_t\boldsymbol{W}_q^{(s)}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_t}\right) \left(\boldsymbol{c}_i\boldsymbol{W}_k^{(s)}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_i}\right){}^{\top} = \boldsymbol{x}_t\left(\boldsymbol{W}_q^{(s)}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_{t-i}}\boldsymbol{W}_k^{(s)}{}^{\top}\right)\boldsymbol{c}_i^{\top} \end{equation}
这里的$\boldsymbol{W}_q^{(s)}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_{t-i}}\boldsymbol{W}_k^{(s)}{}^{\top}$就无法合并为一个固定的投影矩阵了（跟位置差$t-i$相关），从而MLA的想法无法结合RoPE实现。

前段时间，笔者也很荣幸跟DeepSeek团队讨论过这个问题，但这个问题可以说非常本质，所以当时笔者实际上也没能提出什么有效的建议。最简单的方式是放弃RoPE，换用其他基于Attention Bias的位置编码，如ALIBI，但DeepSeek的实验显示它明显不如RoPE（注意，MLA不是不能加RoPE，而是加了RoPE之后无法用恒等变换技巧来减少KV Cache），笔者也提议过换Sandwich，它不像ALIBI单调衰减到负无穷，估计效果会好些，但感觉是治标不治本。还有一个折中的办法是将$\boldsymbol{q}_i$的输入也改为$\boldsymbol{c}_i$，然后RoPE加在$\boldsymbol{c}_i$之后，即
\begin{equation}\boldsymbol{q}_i^{(s)} = \boldsymbol{c}_i\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_i}\boldsymbol{W}_q^{(s)},\quad\boldsymbol{k}_i^{(s)} = \boldsymbol{c}_i\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_i}\boldsymbol{W}_k^{(s)}\end{equation}
这样$\boldsymbol{\mathcal{R}}_i$就可以吸收到$\boldsymbol{c}_i$中去，但这样就没有$\boldsymbol{\mathcal{R}}_m\boldsymbol{\mathcal{R}}_n^{\top}=\boldsymbol{\mathcal{R}}_{m-n}$的运算了，此时的RoPE不再是通过绝对位置实现相对位置，而单纯是在Q、K上加绝对位置，让模型自己想办法提炼相对位置信息。

最后发布的MLA，采取了一种混合的方法——每个Attention Head的Q、K新增$d_r$个维度用来添加RoPE，其中K新增的维度每个Head共享：
\begin{equation}
\begin{gathered}
\boldsymbol{o}_t = \left[\boldsymbol{o}_t^{(1)}, \boldsymbol{o}_t^{(2)}, \cdots, \boldsymbol{o}_t^{(h)}\right] \\[10pt]
\boldsymbol{o}_t^{(s)} = Attention\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)}, \boldsymbol{k}_{\leq t}^{(s)} ,\boldsymbol{v}_{\leq t}^{(s)}\right)\triangleq\frac{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top}\right)\boldsymbol{v}_i^{(s)}}{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top}\right)} \\[15pt]
\boldsymbol{q}_i^{(s)} = \left[\boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_{qc}^{(s)}, \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_{qr}^{(s)}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_i}\right]\in\mathbb{R}^{d_k + d_r},\quad \boldsymbol{W}_{qc}^{(s)}\in\mathbb{R}^{d\times d_k},\boldsymbol{W}_{qr}^{(s)}\in\mathbb{R}^{d\times d_r}\\
\boldsymbol{k}_i^{(s)} = \left[\boldsymbol{c}_i\boldsymbol{W}_{kc}^{(s)}, \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_{kr}^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_i}\right]\in\mathbb{R}^{d_k+d_r},\quad \boldsymbol{W}_{kc}^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_c\times d_k}, \boldsymbol{W}_{kr}^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}\in\mathbb{R}^{d\times d_r} \\
\boldsymbol{v}_i^{(s)} = \boldsymbol{c}_i\boldsymbol{W}_v^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_v},\quad \boldsymbol{W}_v^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_c\times d_v} \\[10pt]
\boldsymbol{c}_i = \boldsymbol{x}_i \boldsymbol{W}_c\in\mathbb{R}^{d_c},\quad \boldsymbol{W}_c\in\mathbb{R}^{d\times d_c}
\end{gathered}
\end{equation}
这样一来，没有RoPE的维度就可以重复“Part 1”的操作，在推理时KV Cache只需要存$\boldsymbol{c}_i$，新增的带RoPE的维度就可以用来补充位置信息，并且由于所有Head共享，所以也就只有在K Cache这里增加了$d_r$个维度，原论文取了$d_r = d_k / 2 = 64$，相比原本的$d_c=512$，增加的幅度不大。

Part 3 #

最后有一个细节，就是MLA的最终版本，还将Q的输入也改为了低秩投影形式，这与减少KV Cache无关，主要是为了减少训练期间参数量和相应的梯度（原论文说的是激活值，个人表示不大理解）所占的显存：
\begin{equation}
\begin{gathered}
\boldsymbol{o}_t = \left[\boldsymbol{o}_t^{(1)}, \boldsymbol{o}_t^{(2)}, \cdots, \boldsymbol{o}_t^{(h)}\right] \\[10pt]
\boldsymbol{o}_t^{(s)} = Attention\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)}, \boldsymbol{k}_{\leq t}^{(s)} ,\boldsymbol{v}_{\leq t}^{(s)}\right)\triangleq\frac{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top}\right)\boldsymbol{v}_i^{(s)}}{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top}\right)} \\[15pt]
\boldsymbol{q}_i^{(s)} = \left[\boldsymbol{c}_i'\boldsymbol{W}_{qc}^{(s)}, \boldsymbol{c}_i'\boldsymbol{W}_{qr}^{(s)}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_i}\right]\in\mathbb{R}^{d_k + d_r},\quad \boldsymbol{W}_{qc}^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_c'\times d_k},\boldsymbol{W}_{qr}^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_c'\times d_r}\\
\boldsymbol{k}_i^{(s)} = \left[\boldsymbol{c}_i\boldsymbol{W}_{kc}^{(s)}, \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_{kr}^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_i}\right]\in\mathbb{R}^{d_k+d_r},\quad \boldsymbol{W}_{kc}^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_c\times d_k}, \boldsymbol{W}_{kr}^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}\in\mathbb{R}^{d\times d_r} \\
\boldsymbol{v}_i^{(s)} = \boldsymbol{c}_i\boldsymbol{W}_v^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_v},\quad \boldsymbol{W}_v^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_c\times d_v} \\[10pt]
\boldsymbol{c}_i' = \boldsymbol{x}_i \boldsymbol{W}_c'\in\mathbb{R}^{d_c'},\quad \boldsymbol{W}_c'\in\mathbb{R}^{d\times d_c'} \\
\boldsymbol{c}_i = \boldsymbol{x}_i \boldsymbol{W}_c\in\mathbb{R}^{d_c},\quad \boldsymbol{W}_c\in\mathbb{R}^{d\times d_c} \\
\end{gathered}
\end{equation}
注意$\boldsymbol{k}_i^{(s)}$中的第二项，带RoPE的部分，其输入还是$\boldsymbol{x}_i$而不是$\boldsymbol{c}_i$，这里保持了原论文的设置，不是笔误，$d_c'$原论文的取值是1536，跟$d_c=512$不同。同时，我们把带RoPE的MHA放在下面，方便大家对比：
\begin{equation}
\begin{gathered}
\boldsymbol{o}_t = \left[\boldsymbol{o}_t^{(1)}, \boldsymbol{o}_t^{(2)}, \cdots, \boldsymbol{o}_t^{(h)}\right] \\[10pt]
\boldsymbol{o}_t^{(s)} = Attention\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)}, \boldsymbol{k}_{\leq t}^{(s)} ,\boldsymbol{v}_{\leq t}^{(s)}\right)\triangleq\frac{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top}\right)\boldsymbol{v}_i^{(s)}}{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top}\right)} \\[15pt]
\boldsymbol{q}_i^{(s)} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_q^{(s)}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_i}\in\mathbb{R}^{d_k},\quad \boldsymbol{W}_q^{(s)}\in\mathbb{R}^{d\times d_k}\\
\boldsymbol{k}_i^{(s)} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_k^{(s)}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_i}\in\mathbb{R}^{d_k},\quad \boldsymbol{W}_k^{(s)}\in\mathbb{R}^{d\times d_k} \\
\boldsymbol{v}_i^{(s)} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_v^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_v},\quad \boldsymbol{W}_v^{(s)}\in\mathbb{R}^{d\times d_v}
\end{gathered}
\end{equation}
可以发现，其实在训练阶段，除了多了一步低秩投影以及只在部分维度加RoPE外，MLA与Q、K的Head Size由$d_k$换成$d_k + d_r$的MHA基本无异。

推理阶段的MLA则改为
\begin{equation}
\begin{gathered}
\boldsymbol{o}_t = \left[\boldsymbol{o}_t^{(1)}\boldsymbol{W}_v^{(1)}, \boldsymbol{o}_t^{(2)}\boldsymbol{W}_v^{(2)}, \cdots, \boldsymbol{o}_t^{(h)}\boldsymbol{W}_v^{(h)}\right] \\[10pt]
\boldsymbol{o}_t^{(s)} = Attention\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)}, \boldsymbol{k}_{\leq t}^{(s)} ,\boldsymbol{c}_{\leq t}\right)\triangleq\frac{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top}\right)\boldsymbol{c}_i}{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(s)} \boldsymbol{k}_i^{(s)}{}^{\top}\right)} \\[15pt]
\boldsymbol{q}_i^{(s)} = \left[\boldsymbol{c}_i'\boldsymbol{W}_{qc}^{(s)}\boldsymbol{W}_{kc}^{(s)}{}^{\top}, \boldsymbol{c}_i'\boldsymbol{W}_{qr}^{(s)}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_i}\right]\in\mathbb{R}^{d_c + d_r}\\
\boldsymbol{k}_i^{(s)} = \left[\boldsymbol{c}_i, \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_{kr}^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}\color{#3ce2f7}{\boldsymbol{\mathcal{R}}_i}\right]\in\mathbb{R}^{d_c+d_r}\\
\boldsymbol{W}_{qc}^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_c'\times d_k},\boldsymbol{W}_{kc}^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_c\times d_k},\boldsymbol{W}_{qr}^{(s)}\in\mathbb{R}^{d_c'\times d_r},\boldsymbol{W}_{kr}^{\color{#ccc}{\smash{\bcancel{(s)}}}}\in\mathbb{R}^{d\times d_r} \\[10pt]
\boldsymbol{c}_i' = \boldsymbol{x}_i \boldsymbol{W}_c'\in\mathbb{R}^{d_c'},\quad \boldsymbol{W}_c'\in\mathbb{R}^{d\times d_c'} \\
\boldsymbol{c}_i = \boldsymbol{x}_i \boldsymbol{W}_c\in\mathbb{R}^{d_c},\quad \boldsymbol{W}_c\in\mathbb{R}^{d\times d_c} \\
\end{gathered}
\end{equation}
此时Q、K的Head Size变成了$d_c + d_r$，V的Head Size 则变成了$d_c$，按照原论文的设置，这是$d_k$、$d_v$的4倍。所以实际上MLA在推理阶段做的这个转换，虽然能有效减少KV Cache，但其推理的计算量是增加的。

那为什么还能提高推理效率呢？这又回到“瓶颈”一节所讨论的问题了，我们可以将LLM的推理分两部分：第一个Token的生成（Prefill）和后续每个Token的生成（Generation），Prefill阶段涉及到对输入所有Token的并行计算，然后把对应的KV Cache存下来，这部分对于计算、带宽和显存都是瓶颈，MLA虽然增大了计算量，但KV Cache的减少也降低了显存和带宽的压力，大家半斤八两；但是Generation阶段由于每步只计算一个Token，实际上它更多的是带宽瓶颈和显存瓶颈，因此MLA的引入理论上能明显提高Generation的速度。

还有一个细节充分体现了这个特性。一般的LLM架构参数满足$h \times d_k = d$，即num_heads * head_size = hidden_size，但DeepSeek-V2不一样，它$d_k=128,d=5120$，但$h=128$，是一般设置的3倍！这是因为MLA的KV Cache大小跟$h$无关，增大$h$只会增加计算量和提升模型能力，但不会增加KV Cache，所以不会带来速度瓶颈。

小结 #

本文简单概述了多头注意力的演变历程，特别是从MHA向MQA、GQA，最终到MLA的变化理念，最后详细展开了对MLA的介绍。在本文中，MLA被视为GQA的一般化，它用投影矩阵的方式替代了GQA的分割、重复，并引入了一个恒等变换技巧来可以进一步压缩KV Cache，同时采用了一种混合方法来兼容RoPE。总的来说，MLA称得上是一种非常实用的注意力变体。

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