科学空间|Scientific Spaces

对于Transformer模型来说，其长度的外推性是我们一直在追求的良好性质，它是指我们在短序列上训练的模型，能否不用微调地用到长序列上并依然保持不错的效果。之所以追求长度外推性，一方面是理论的完备性，觉得这是一个理想模型应当具备的性质，另一方面也是训练的实用性，允许我们以较低成本（在较短序列上）训练出一个长序列可用的模型。

下面我们来分析一下加强Transformer长度外推性的关键思路，并由此给出一个“超强基线”方案，然后我们带着这个“超强基线”来分析一些相关的研究工作。

思维误区

第一篇明确研究Transformer长度外推性的工作应该是ALIBI，出自2021年中期，距今也不算太久。为什么这么晚（相比Transformer首次发表的2017年）才有人专门做这个课题呢？估计是因为我们长期以来，都想当然地认为Transformer的长度外推性是位置编码的问题，找到更好的位置编码就行了。

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最近几周笔者一直都在思考注意力机制的相关性质，在这个过程中对注意力及Softmax有了更深刻的理解。在这篇文章中，笔者简单分享其中的两点：

1、Softmax注意力天然能够抵御一定的噪声扰动；

2、从信息熵角度也可以对初始化问题形成直观理解。

鲁棒性

基于Softmax归一化的注意力机制，可以写为
\begin{equation}o = \frac{\sum\limits_{i=1}^n e^{s_i} v_i}{\sum\limits_{i=1}^n e^{s_i}}\end{equation}
有一天笔者突然想到一个问题：如果往$s_i$中加入独立同分布的噪声会怎样？

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很抱歉，起了这么个具有标题党特征的题目。在写完《NBCE：使用朴素贝叶斯扩展LLM的Context处理长度》之后，笔者就觉得朴素贝叶斯（Naive Bayes）跟Attention机制有很多相同的特征，后来再推导了一下发现，Attention机制其实可以看成是一种广义的、参数化的朴素贝叶斯。既然如此，“Attention is All You Need”不也就意味着“Naive Bayes is all you need”了？这就是本文标题的缘由。

接下来笔者将介绍自己的思考过程，分析如何从朴素贝叶斯角度来理解Attention机制。

朴素贝叶斯

本文主要考虑语言模型，它要建模的是$p(x_t|x_1,\cdots,x_{t-1})$。根据贝叶斯公式，我们有
\begin{equation}p(x_t|x_1,\cdots,x_{t-1}) = \frac{p(x_1,\cdots,x_{t-1}|x_t)p(x_t)}{p(x_1,\cdots,x_{t-1})}\propto p(x_1,\cdots,x_{t-1}|x_t)p(x_t)\end{equation}

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在这篇文章中，我们将探讨一个被称为“梯度流（Gradient Flow）”的概念。简单来说，梯度流是将我们在用梯度下降法中寻找最小值的过程中的各个点连接起来，形成一条随（虚拟的）时间变化的轨迹，这条轨迹便被称作“梯度流”。在文章的后半部分，我们将重点讨论如何将梯度流的概念扩展到概率空间，从而形成“Wasserstein梯度流”，为我们理解连续性方程、Fokker-Planck方程等内容提供一个新的视角。

梯度下降

假设我们想搜索光滑函数$f(\boldsymbol{x})$的最小值，常见的方案是梯度下降（Gradient Descent），即按照如下格式进行迭代：
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{t+1} = \boldsymbol{x}_t -\alpha \nabla_{\boldsymbol{x}_t}f(\boldsymbol{x}_t)\label{eq:gd-d}\end{equation}
如果$f(\boldsymbol{x})$关于$\boldsymbol{x}$是凸的，那么梯度下降通常能够找到最小值点；相反，则通常只能收敛到一个“驻点”——即梯度为0的点，比较理想的情况下能收敛到一个极小值（局部最小值）点。这里没有对极小值和最小值做严格区分，因为在深度学习中，即便是收敛到一个极小值点也是很难得的了。

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这段时间笔者一直在实验《Google新搜出的优化器Lion：效率与效果兼得的“训练狮”》所介绍的Lion优化器。之所以对Lion饶有兴致，是因为它跟笔者之前的关于理想优化器的一些想法不谋而合，但当时笔者没有调出好的效果，而Lion则做好了。

相比标准的Lion，笔者更感兴趣的是它在$\beta_1=\beta_2$时的特殊例子，这里称之为“Tiger”。Tiger只用到了动量来构建更新量，根据《隐藏在动量中的梯度累积：少更新几步，效果反而更好？》的结论，此时我们不新增一组参数来“无感”地实现梯度累积！这也意味着在我们有梯度累积需求时，Tiger已经达到了显存占用的最优解，这也是“Tiger”这个名字的来源（Tight-fisted Optimizer，抠门的优化器，不舍得多花一点显存）。

此外，Tiger还加入了我们的一些超参数调节经验，以及提出了一个防止模型出现NaN（尤其是混合精度训练下）的简单策略。我们的初步实验显示，Tiger的这些改动，能够更加友好地完成模型（尤其是大模型）的训练。

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在文章《Transformer升级之路：10、RoPE是一种β进制编码》中，我们给出了RoPE的$\beta$进制诠释，并基于进制转化的思路推导了能够在不微调的情况下就可以扩展Context长度的NTK-aware Scaled RoPE。不得不说，通过类比$\beta$进制的方式来理解位置编码，确实是一个非常美妙且富有启发性的视角，以至于笔者每次深入思考和回味之时，似乎总能从中得到新的领悟和收获。

本文将重新回顾RoPE的$\beta$进制诠释，并尝试将已有的NTK-aware Scaled RoPE一般化，以期望找到一种更优的策略来不微调地扩展LLM的Context长度。

进制类比

我们知道，RoPE的参数化沿用了Sinusoidal位置编码的形式。而不知道是巧合还是故意为之，整数$n$的Sinusoidal位置编码，与它的$\beta$进制编码，有很多相通之处。

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【注：后来经过反复测试发现，发现此篇文章的长度外推结果可复现性比较不稳定（可能跟模型结构、超参数等紧密相关），请自行斟酌使用。】

万万没想到，Bias项能跟Transformer的长度外推性联系在一起！

长度外推性是我们希望Transformer具有的一个理想性质，笔者曾在《Transformer升级之路：7、长度外推性与局部注意力》、《Transformer升级之路：8、长度外推性与位置鲁棒性》系统地介绍过这一问题。至于Bias项（偏置项），目前的主流观点是当模型足够大时，Bias项不会有什么特别的作用，所以很多模型选择去掉Bias项，其中代表是Google的T5和PaLM，我们后面做的RoFormerV2和GAU-α也沿用了这个做法。

那么，这两个看上去“风牛马不相及”的东西，究竟是怎么联系起来的呢？Bias项真的可以增强Transformer的长度外推性？且听笔者慢慢道来。

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在机器学习中，我们经常会谈到稀疏性，比如我们经常说注意力矩阵通常是很稀疏的。然而，不知道大家发现没有，我们似乎从没有给出过度量稀疏程度的标准方法。也就是说，以往我们关于稀疏性的讨论，仅仅是直观层面的感觉，并没有过定量分析。那么问题来了，稀疏性的度量有标准方法了吗？

经过搜索，笔者发现确实是有一些可用的指标，比如$l_1/l_2$、熵等，但由于关注视角的不同，在稀疏性度量方面并没有标准答案。本文简单记录一下笔者的结果。

基本结果

狭义上来讲，“稀疏”就是指数据中有大量的零，所以最简单的稀疏性指标就是统计零的比例。但如果仅仅是这样的话，注意力矩阵就谈不上稀疏了，因为softmax出来的结果一定是正数。所以，有必要推广稀疏的概念。一个朴素的想法是统计绝对值不超过$\epsilon$的元素比例，但这个$\epsilon$怎么确定呢？

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