在大学第二学期,我们的《数学分析》终于龟速地爬行到了定积分这一章节。对于一些比较复杂的定积分,我总想用自己的方法来解决它,这就重新燃起了我对“费曼积分法——积分符号内取微分”的热情。尤其是我用费曼积分法解决了几道比较有趣复杂的定积分问题时,成就感高涨,遂在此总结,与大家共勉。

这和欧拉数学有什么关系呢?之前已经提到过,欧拉数学是用一种不严谨却极具创造性的方式,给予我们对数学的介乎感性和理性的直观理解。我觉得费曼积分法也属于这个范畴内,它着眼于用一种特殊的视角解决问题,而暂时忽略掉数学严密性。在读费曼的故事中,我感觉到这种思想是贯穿他一生的研究之中的。

本文继续对费曼积分法的研究,得出一些不是很严谨的结论,为以后的应用奠下基础。

一、不成立的函数

首先我们重新考虑$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx$。这一次我们将它引入复数范畴内,考虑:
$$\int_0^{\infty}\frac{\cos x+i \sin x}{x}dx=\int_0^{\infty}\frac{e^{ix}}{x}dx$$

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