8 Aug

三次方程的三角函数解法

对于解方程,代数学家希望能够从理论上证明解的存在性以及解的求法,所以就有了1到4次方程的求根公式、5次及以上的代数方程没有根式可解等重要理论;然而,通常的学者(如物理学家、天文学家)都不需要这些内容,他们只关心如何尽可能快地求出指定方程的根(尤其是实数根),所以他们通常关注的是方程的数值算法,当然,如果能有一个相对简单的求根公式,也是他们所希望的。而接下来所要介绍的内容,则是满足了这一需要的三次方程的求根公式,其中用到的相当一部分的理论,是与三角函数相关的。

储备

\begin{equation}\frac{2}{\tan 2A}=\frac{1}{\tan A}-\tan A\end{equation}
\begin{equation}\frac{2}{\sin 2A}=\frac{1}{\tan A}+\tan A\end{equation}
\begin{equation}\cos(3A)=4\cos^3 A-3\cos A\end{equation}

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8 Jul

一道比较函数大小的题目

前几天刚结束的云浮高二期末考数学试卷中,有一道题目让我比较深刻。因为在当时我无法去证明它,只是用了举例子的方法得出了答案。刚才思考了一下,在此给出证明过程。题目如下:

定义在(0,+∞)的函数f(x)满足$x f'(x) \leq f(x)$,对于任意的0 < a < b,比较$a f(b)$和$b f(a)$的大小。

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22 Jul

三角函数幂的积分

昨天在研究一个最优化问题时,遇到了一个这样的积分:
$$\int \frac{1}{\cos^3 \theta} d\theta$$

然后就顺便研究了一下这种类型的函数的积分。一般来讲,这类积分可以写成$\int cos^n \theta d\theta$或$\int sin^n \theta d\theta$,其中n是一个整数。

首先我们来解决n=1的情况,我们很容易就有$\int cos\theta d\theta=sin\theta +C$或$\int sin\theta d\theta=-cos\theta +C$,这是一个基本的结果。

如果n是大于1的正整数,那么可以用递推的方法来搞定:

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18 Nov

[欧拉数学]黎曼ζ函数

欧拉数学的魅力在于,它运用类比的方法,把各个看似毫无关联的领域联系了起来,生动而巧妙地得出了正确的结果。他对$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=\frac{\pi^2}{6}$的计算便是一个典型的例子。虽然论证过程未必严谨,但是那“神奇”的推导已经令我们拍案叫绝,而且往往发人深思。这种效果通常是严格论证难以实现的,它不仅给予我们答案,而且还给予了我们启迪:新的思想,新的方向;有时,它还揭示了各个学科之间内在而深刻的联系。下面我们来观察一下数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”!

黎曼ζ函数指的是:
$$\xi (s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+...$$
本来s应该是一个实数,但是将复分析引入数论后,将s推广至复数具有更大的研究价值。

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18 Mar

指数函数及其展开式孰大孰小?

在x>0时,指数函数$f(x)=e^x$与幂函数$h_n (x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}$孰大孰小?

对于已经学习了微积分的朋友来说,这道题目是很简单的,甚至$f(x) > h_n (x)$可以说是“显然成立的”(因为$e^x$展开式接下来的无穷项都是正数)。但是,这道题目出在了2012年的广州一模理科数学中,就显得不那么简单了,得用初等的方法来证明它。而笔者最近养成了一个习惯,拿到一张数学试卷,不是先做选择题,而是先做最后一题。所以在参加广州一模时,先花了半个小时把最后一题(即本题)解决了。下面是我想到的三种解法。

一、数学归纳法

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14 Jan

诡异的Dirac函数

量子力学中有一个很诡异的函数——Dirac函数,它似乎在物理的不少领域都有很大作用,它也具有明显的物理意义,但认真地看它却又感觉它根本就不是函数!这个“似而非是”的东西究竟是什么呢?让我们从一个物理问题引入:

设想一条质量为1,长度为$2l$的均匀直线,很显然直线的密度为$\rho=\frac{1}{2l}$;将直线的中点放置于坐标轴的原点,我们就有
$$\rho(x)=\left\{ \begin{array}{c}\frac{1}{2l} (-l \leq x \leq l)\\0 (x < -l , x > l)\end{array}\right.$$

所以有
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(x)dx=1$$

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5 Dec

三角函数幂的定积分

最近的我的主要学习是在研究路径积分,在推导路径积分的一种新的变换方法(或者是一个新的视角吧),但是有道坎还是迈不过去,因此blog中也一直更新寥寥。说到积分与微分,这两个本是互逆的东西,但是在复数的统一之下,它们两个去可以相互转化。比如说,薛定谔方程是量子力学的微分形式,而路径积分实际上可以说是量子力学的积分形式,这让我有些想法,是不是任何微分形式的数学都存在一个积分形式的版本呢?如果是,是微分版本优还是积分版本优?

在数学分析中,我们会感觉到求导会比求积分容易很多,求导有现成的公式等等。但是微分有个最大的缺点,它是多分量的,比如,势函数是一个标量,但是微分(求梯度)之后就变成了三分量的矢量(即作用力),多分量事实上是不好处理了,为了处理这类问题,又引入了大量的算符。积分的特点在于它的标量性,也许计算很复杂,但是思想确实容易把握的,我更喜欢积分形式的理论(比如作用量原理、路径积分等。)

说到数学分析中常见而又著名的定积分,不得不提到以下三角函数积分了。
$$\int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta d\theta$$
不难证明,它也等于
$$\int_0^{\pi/2} \cos^{2n} \theta d\theta$$

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16 Sep

生成函数法与整数的分拆

我们在高中甚至初中,都有可能遇到这样的题目:

设$x,y,z$是非负整数,问$x+y+z=2014$有多少组不同的解?(不同顺序视为不同的解)

难度稍高点,可以改为

设$x,y,z$是非负整数,$0\leq x\leq y\leq z$,问$x+y+z=2014$有多少组不同的解?

这些问题都属于整数的分拆问题(广为流传的哥德巴赫猜想也是一个整数分拆问题)。有很多不同的思路可以求解这两道题,然而,个人认为这些方法中最引人入胜的(可能也是最有力的)首推“生成函数法”。

关于生成函数,本节就不多作介绍了,如果缺乏相关基础的朋友,请先阅读相关资料了解该方法。不少数论的、离散数学的、计算机科学的书籍中,都介绍了生成函数法(也叫母函数法)。本质上讲,母函数法能有诸多应用,是因为$x^a\times x^b=x^{a+b}$这一性质的成立。

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