科学空间|Scientific Spaces

测地线

黎曼度量应该是不难理解的，在微分几何的教材中，我们就已经学习过曲面的“第一基本形式”了，事实上两者是同样的东西，只不过看待问题的角度不同，微分几何是把曲面看成是三维空间中的二维子集，而黎曼几何则是从二维曲面本身内蕴地研究几何问题。

几何关心什么问题呢？事实上，几何关心的是与变换无关的“客观实体”（或者说是在变换之下不变的东西），这也是几何的定义。根据Klein提出的《埃尔朗根纲领》，几何就是研究在某种变换（群）下的不变性质的学科。如果把变换局限为刚性变换（平移、旋转、反射），那么就是欧式几何；如果变换为一般的线性变换，那就是仿射几何。而黎曼几何关心的是与一切坐标都无关的客观实体。比如说，我有一个向量，方向和大小都确定了，在直角坐标系是$(1, 1)$，在极坐标系是$(\sqrt{2}, \pi/4)$，虽然两个坐标系下的分量不同，但它们都是指代同一个向量。也就是说向量本身是客观存在的实体，跟所使用的坐标无关。从代数层面看，就是只要能够通过某种坐标变换相互得到的，我们就认为它们是同一个东西。

因此，在学习黎曼几何时，往“客观实体”方向思考，总是有益的。

平面上的测地线

有了度规，可以很自然地引入“测地线”这一实体。狭义来看，它就是两点间的最短线——是平直空间的直线段概念的推广（实际的测地线不一定是最短的，但我们先不纠结细节，而且这不妨碍我们理解它，因为测地线至少是局部最短的）。不难想到，只要两点确定了，那么不管使用什么坐标，两点间的最短线就已经确定了，因此这显然是一个客观实体。有一个简单的类比，就是不管怎么坐标变换，一个函数$f(x)$的图像极值点总是确定的——不管你变还是不变，它就在那儿，不偏不倚。

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写在前面

在《理解黎曼几何》系列，笔者分享了一些黎曼几何的“几何”心得，同时遗留了一个问题：怎么真正地去算黎曼张量？MTW的《引力论》中提到了一种基于外微分的方法，可是我不熟悉外微分，遂学习了一番。确实，是《引力论》中快捷计算曲率张量的步骤让笔者决定深入了解外微分的。果然，可观的效益是第一推动力。

这系列文章主要分享一些外微分的学习心得，曾经过多次修改和完善，包含的内容很多，比如外积、活动标架、外微分及其在黎曼几何的一些应用等，最后包括一种计算曲率的有效方式。

符号说明：在本系列中，用粗体的字母表示向量、矩阵以及基底，用普通字母来表示标量，它有可能是一个标量函数，也有可能是向量的分量，如无说明，则用$n$表示空间（流形）的维度。本文中同样使用了爱因斯坦求和法则，即相同的上下指标表示$1\sim n$遍历求和，即$\alpha_{\mu}\beta^{\mu}=\sum_{\mu=1}^{n} \alpha_{\mu}\beta^{\mu}$，习惯上将下标写在前面，比如$\alpha_{\mu}\beta^{\mu}$事实上跟$\beta^{\mu}\alpha_{\mu}$等价，但习惯写成前者。常用的一些记号是：$\mu,\nu$表示分量指标，$x^{\mu}$表示点的坐标分量，$dx^{\mu}$表示切向量（微元）的分量，$\alpha,\beta,\omega$等希腊字母也常用来表示微分形式。符号的使用有重复的地方，但符号的意义基本都在符号出现的附近有说明，因此应该不至于混淆。

最后，就是笔者其实对外微分还不是特别有感觉，因此文章中可能出现谬误之处，请读者见谅并指出。本系列命名为“外微分浅谈”，不是谦虚，确实是很浅，认识得浅，说的也很浅～

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终于开始谈到重点了，就是这部分内容促使我学习外微分的。用外微分可以方便地推导微分几何的一些内容，有时候还能方便计算。其主要根源在于：外微分本身在形式上是微分的推广，因此微分几何的东西能够使用外微分来描述并不出奇；然后，最重要的原因是，外微分把$dx^{\mu}$看成一组基，因此相当于在几何中引入了两组基，一组是本身的向量基（用张量的语言，就是逆变向量的基），这组基可以做对称的内积，另外一组基就是$dx^{\mu}$，这组基可以做反对称的外积。因此，当外微分引入几何时，微分几何就拥有了微分、积分、对称积、反对称积等各种“理想装备”，这就是外微分能够加速微分几何推导的主要原因。

标架的运动

前面已经得到
$$\begin{aligned}&\omega^{\mu}=h_{\alpha}^{\mu}dx^{\alpha}\\
&d\boldsymbol{r}=\hat{\boldsymbol{e}}_{\mu} \omega^{\mu}\\
&ds^2 = \eta_{\mu\nu} \omega^{\mu}\omega^{\nu}\\
&\langle \hat{\boldsymbol{e}}_{\mu}, \hat{\boldsymbol{e}}_{\nu}\rangle = \eta_{\mu\nu}\end{aligned} \tag{45} $$

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学过实变函数的朋友，总会知道有个叫勒贝格积分的东西，号称是黎曼积分的改进版。虽然“实变函数学十遍，泛函分析心泛寒”，在学习实变函数的时候，我们通常都是云里雾里的，不过到最后，在老师的“灌溉”之下，也就耳濡目染了知道了一些结论，比如“黎曼可积的函数（在有限区间），也是勒贝格可积的”，说白了，就是“勒贝格积分比黎曼积分强”。那么，问题来了，究竟强在哪儿？为什么会强？

黎曼

勒贝格

这个问题，笔者在学习实变函数的时候并没有弄懂，后来也一直搁着，直到最近认真看了《重温微积分》之后，才有了些感觉。顺便说，齐民友老师的《重温微积分》真的很赞，值得一看。

本是同根生，相煎何太急？

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赛题回顾

不得不说，2013年的全国数学建模竞赛中的B题真的算是数学建模竞赛中百年难得一遇的好题：题目简洁明了，含义丰富，做法多样，延伸性强，以至于我一直对它念念不忘。因为这个题目，我已经在科学空间写了两篇文章了，分别是《一个人的数学建模：碎纸复原》和《迟到一年的建模：再探碎纸复原》。以前做这道题的时候，还只有一点数学建模的知识，而自从学习了数据挖掘、尤其是深度学习之后，我一直想重做这道题，但一直偷懒。这几天终于把它实现了。

如果对题目还不清楚的读者，可以参考前面两篇文章。碎纸复原共有五个附件，分别代表了五种“碎纸片”，即五种不同粒度的碎片。其中附件1和2都不困难，难度主要集中在附件3、4、5，而3、4、5的实现难度基本是一样的。做这道题最容易想到的思路就是贪心算法，即随便选一张图片，然后找到与它最匹配的图片，然后继续匹配下一张。要想贪心算法有效，最关键是找到一个良好的距离函数，来判断两张碎片是否相邻（水平相邻，这里不考虑垂直相邻）。

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前段时间参加了一个傻逼的网络比赛——基于视角的领域情感分析，主页在这里。比赛的任务是找出一段话的实体然后判断情感，比如“我喜欢本田，我不喜欢丰田”这句话中，要标出“本田”和“丰田”，并且站在本田的角度，情感是积极的，站在丰田的角度，情感就是消极的。也就是说，等价于将实体识别和情感分析结合起来了。

吐槽

看起来很高端，哪里傻逼了？比赛任务本身还不错，值得研究，然而官方却很傻逼，主要体现为：1、比赛分初赛、复赛、决赛三个阶段，初赛一个多月时间，然后筛选部分进入复赛，复赛就简单换了一点数据，题目、数据的领域都没有变化，复赛也是一个月的时间，这傻逼复赛究竟有什么意义？2、大家可以看看选手们在群里讨论什么：

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词向量，英文名叫Word Embedding，按照字面意思，应该是词嵌入。说到词向量，不少读者应该会立马想到Google出品的Word2Vec，大牌效应就是不一样。另外，用Keras之类的框架还有一个Embedding层，也说是将词ID映射为向量。由于先入为主的意识，大家可能就会将词向量跟Word2Vec等同起来，而反过来问“Embedding是哪种词向量？”这类问题，尤其是对于初学者来说，应该是很混淆的。事实上，哪怕对于老手，也不一定能够很好地说清楚。

这一切，还得从one hot说起...

五十步笑百步

one hot，中文可以翻译为“独热”，是最原始的用来表示字、词的方式。为了简单，本文以字为例，词也是类似的。假如词表中有“科、学、空、间、不、错”六个字，one hot就是给这六个字分别用一个0-1编码：
$$\begin{array}{c|c}\hline\text{科} & [1, 0, 0, 0, 0, 0]\\
\text{学} & [0, 1, 0, 0, 0, 0]\\
\text{空} & [0, 0, 1, 0, 0, 0]\\
\text{间} & [0, 0, 0, 1, 0, 0]\\
\text{不} & [0, 0, 0, 0, 1, 0]\\
\text{错} & [0, 0, 0, 0, 0, 1]\\
\hline
\end{array}$$

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最新结果请参考：http://kexue.fm/archives/4503/

前段时间有幸得到了一个网友提供的一批带标签的腾讯验证码样本（验证码样板：http://captcha.qq.com/getimage），于是抽了点时间，测试了一下验证码识别的模型。

腾讯验证码

样本

这批验证码比较简单，4位的英文字母，有大小写，但输入的时候不区分大小写，图案有一定的混淆，传统的基于分割的方案估计比较难办。端到端的方案是，直接将验证码输入，做几个卷积层，然后连接几个分类器（26分类），然后就直接输出四个字母标签了。其实还真没有什么好说的，有样本就能做了，而且这个框架是通用的，可以用到区分大小写的情形（52分类），也可以用到英文数字混合的情形（再加10个类别而已）。

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