本文我们继续之前的变分自编码器系列,分析一下如何防止NLP中的VAE模型出现“KL散度消失(KL Vanishing)”现象。本文受到参考文献是ACL 2020的论文《A Batch Normalized Inference Network Keeps the KL Vanishing Away》的启发,并自行做了进一步的完善。

值得一提的是,本文最后得到的方案还是颇为简洁的——只需往编码输出加入BN(Batch Normalization),然后加个简单的scale——但确实很有效,因此值得正在研究相关问题的读者一试。同时,相关结论也适用于一般的VAE模型(包括CV的),如果按照笔者的看法,它甚至可以作为VAE模型的“标配”。

最后,要提醒读者这算是一篇VAE的进阶论文,所以请读者对VAE有一定了解后再来阅读本文。

VAE简单回顾 #

这里我们简单回顾一下VAE模型,并且讨论一下VAE在NLP中所遇到的困难。关于VAE的更详细介绍,请读者参考笔者的旧作《变分自编码器(一):原来是这么一回事》《变分自编码器(二):从贝叶斯观点出发》等。

VAE的训练流程 #

VAE的训练流程大概可以图示为

VAE训练流程图示

VAE训练流程图示

写成公式就是
$$\begin{equation}\mathcal{L} = \mathbb{E}_{x\sim \tilde{p}(x)} \Big[\mathbb{E}_{z\sim p(z|x)}\big[-\ln q(x|z)\big]+KL\big(p(z|x)\big\Vert q(z)\big)\Big]
\end{equation}$$
其中第一项就是重构项,$\mathbb{E}_{z\sim p(z|x)}$是通过重参数来实现;第二项则称为KL散度项,这是它跟普通自编码器的显式差别,如果没有这一项,那么基本上退化为常规的AE。更详细的符号含义可以参考《变分自编码器(二):从贝叶斯观点出发》

NLP中的VAE #

在NLP中,句子被编码为离散的整数ID,所以$q(x|z)$是一个离散型分布,可以用万能的“条件语言模型”来实现,因此理论上$q(x|z)$可以精确地拟合生成分布,问题就出在$q(x|z)$太强了,训练时重参数操作会来噪声,噪声一大,$z$的利用就变得困难起来,所以它干脆不要$z$了,退化为无条件语言模型(依然很强),$KL(p(z|x)\Vert q(z))$则随之下降到0,这就出现了KL散度消失现象

这种情况下的VAE模型并没有什么价值:KL散度为0说明编码器输出的是0向量,而解码器则是一个普通的语言模型。而我们使用VAE通常来说是看中了它无监督构建编码向量的能力,所以要应用VAE的话还是得解决KL散度消失问题。事实上从2016开始,有不少工作在做这个问题,相应地也提出了很多方案,比如退火策略、更换先验分布等,读者Google一下“KL Vanishing”就可以找到很多文献了,这里不一一溯源。

BN的巧与秒 #

本文的方案则是直接针对KL散度项入手,简单有效而且没什么超参数。其思想很简单:

KL散度消失不就是KL散度项变成0吗?我调整一下编码器输出,让KL散度有一个大于零的下界,这样它不就肯定不会消失了吗?

这个简单的思想的直接结果就是:在$\mu$后面加入BN层,如图

往VAE里加入BN

往VAE里加入BN

推导过程简述 #

为什么会跟BN联系起来呢?我们来看KL散度项的形式:
\begin{equation}KL\big(p(z|x)\big\Vert q(z)\big) = \frac{1}{b} \sum_{i=1}^b \sum_{j=1}^d \frac{1}{2}\Big(\mu_{i,j}^2 + \sigma_{i,j}^2 - \log \sigma_{i,j}^2 - 1\Big)\end{equation}
上式是采样了$b$个样本进行计算的结果,而编码向量的维度则是$d$维。由于我们总是有$e^x \geq x + 1$,所以$\sigma_{i,j}^2 - \log \sigma_{i,j}^2 - 1 \geq 0$,因此
\begin{equation}KL\big(p(z|x)\big\Vert q(z)\big) \geq \frac{1}{b} \sum_{i=1}^b \sum_{j=1}^d \frac{1}{2}\mu_{i,j}^2 = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^d \left(\frac{1}{b} \sum_{i=1}^b \mu_{i,j}^2\right)\label{eq:kl}\end{equation}
留意到括号里边的量,其实它就是$\mu$在batch内的二阶矩,如果我们往$\mu$加入BN层,那么大体上可以保证$\mu$的均值为$\beta$,方差为$\gamma^2$($\beta,\gamma$是BN里边的可训练参数),这时候
\begin{equation}KL\big(p(z|x)\big\Vert q(z)\big) \geq \frac{d}{2}\left(\beta^2 + \gamma^2\right)\label{eq:kl-lb}\end{equation}
所以只要控制好$\beta,\gamma$(主要是固定$\gamma$为某个常数),就可以让KL散度项有个正的下界,因此就不会出现KL散度消失现象了。这样一来,KL散度消失现象跟BN就被巧妙地联系起来了,通过BN来“杜绝”了KL散度消失的可能性。

为什么不是LN? #

善于推导的读者可能会想到,按照上述思路,如果只是为了让KL散度项有个正的下界,其实LN(Layer Normalization)也可以,也就是在式$\eqref{eq:kl}$中按$j$那一维归一化。

那为什么用BN而不是LN呢?

这个问题的答案也是BN的巧妙之处。直观来理解,KL散度消失是因为$z\sim p(z|x)$的噪声比较大,解码器无法很好地辨别出$z$中的非噪声成分,所以干脆弃之不用;而当给$\mu(x)$加上BN后,相当于适当地拉开了不同样本的$z$的距离,使得哪怕$z$带了噪声,区分起来也容易一些,所以这时候解码器乐意用$z$的信息,因此能缓解这个问题;相比之下,LN是在样本内进的行归一化,没有拉开样本间差距的作用,所以LN的效果不会有BN那么好。

进一步的结果 #

事实上,原论文的推导到上面基本上就结束了,剩下的都是实验部分,包括通过实验来确定$\gamma$的值。然而,笔者认为目前为止的结论还有一些美中不足的地方,比如没有提供关于加入BN的更深刻理解,倒更像是一个工程的技巧,又比如只是$\mu(x)$加上了BN,$\sigma(x)$没有加上,未免有些不对称之感。

经过笔者的推导,发现上面的结论可以进一步完善。

联系到先验分布 #

对于VAE来说,它希望训练好后的模型的隐变量分布为先验分布$q(z)=\mathcal{N}(z;0,1)$,而后验分布则是$p(z|x)=\mathcal{N}(z; \mu(x),\sigma(x))$,所以VAE希望下式成立:
\begin{equation}q(z) = \int \tilde{p}(x)p(z|x)dx=\int \tilde{p}(x)\mathcal{N}(z; \mu(x),\sigma(x))dx\end{equation}
两边乘以$z$,并对$z$积分,得到
\begin{equation}0 = \int \tilde{p}(x)\mu(x)dx=\mathbb{E}_{x\sim \tilde{p}(x)}[\mu(x)]\end{equation}
两边乘以$z^2$,并对$z$积分,得到
\begin{equation}1 = \int \tilde{p}(x)\left[\mu(x)^2 + \sigma(x)^2\right]dx = \mathbb{E}_{x\sim \tilde{p}(x)}\left[\mu(x)^2\right] + \mathbb{E}_{x\sim \tilde{p}(x)}\left[\sigma(x)^2\right]\end{equation}
如果往$\mu(x),\sigma(x)$都加入BN,那么我们就有
\begin{equation}\begin{aligned}
&0 = \mathbb{E}_{x\sim \tilde{p}(x)}[\mu(x)] = \beta_{\mu}\\
&1 = \mathbb{E}_{x\sim \tilde{p}(x)}\left[\mu(x)^2\right] + \mathbb{E}_{x\sim \tilde{p}(x)}\left[\sigma(x)^2\right] = \beta_{\mu}^2 + \gamma_{\mu}^2 + \beta_{\sigma}^2 + \gamma_{\sigma}^2
\end{aligned}\end{equation}
所以现在我们知道$\beta_{\mu}$一定是0,而如果我们也固定$\beta_{\sigma}=0$,那么我们就有约束关系:
\begin{equation}1 = \gamma_{\mu}^2 + \gamma_{\sigma}^2\label{eq:gamma2}\end{equation}

参考的实现方案 #

经过这样的推导,我们发现可以往$\mu(x),\sigma(x)$都加入BN,并且可以固定$\beta_{\mu}=\beta_{\sigma}=0$,但此时需要满足约束$\eqref{eq:gamma2}$。要注意的是,这部分讨论还仅仅是对VAE的一般分析,并没有涉及到KL散度消失问题,哪怕这些条件都满足了,也无法保证KL项不趋于0。结合式$\eqref{eq:kl-lb}$我们可以知道,保证KL散度不消失的关键是确保$\gamma_{\mu} > 0$,所以,笔者提出的最终策略是:
\begin{equation}\begin{aligned}
&\beta_{\mu}=\beta_{\sigma}=0\\
&\gamma_{\mu} = \sqrt{\tau + (1-\tau)\cdot\text{sigmoid}(\theta)}\\
&\gamma_{\sigma} = \sqrt{(1-\tau)\cdot\text{sigmoid}(-\theta)}
\end{aligned}\end{equation}
其中$\tau\in(0,1)$是一个常数,笔者在自己的实验中取了$\tau=0.5$,而$\theta$是可训练参数,上式利用了恒等式$\text{sigmoid}(-\theta) = 1-\text{sigmoid}(\theta)$。

关键代码参考(Keras):

class Scaler(Layer):
    """特殊的scale层
    """
    def __init__(self, tau=0.5, **kwargs):
        super(Scaler, self).__init__(**kwargs)
        self.tau = tau

    def build(self, input_shape):
        super(Scaler, self).build(input_shape)
        self.scale = self.add_weight(
            name='scale', shape=(input_shape[-1],), initializer='zeros'
        )

    def call(self, inputs, mode='positive'):
        if mode == 'positive':
            scale = self.tau + (1 - self.tau) * K.sigmoid(self.scale)
        else:
            scale = (1 - self.tau) * K.sigmoid(-self.scale)
        return inputs * K.sqrt(scale)

    def get_config(self):
        config = {'tau': self.tau}
        base_config = super(Scaler, self).get_config()
        return dict(list(base_config.items()) + list(config.items()))


def sampling(inputs):
    """重参数采样
    """
    z_mean, z_std = inputs
    noise = K.random_normal(shape=K.shape(z_mean))
    return z_mean + z_std * noise


e_outputs  # 假设e_outputs是编码器的输出向量
scaler = Scaler()
z_mean = Dense(hidden_dims)(e_outputs)
z_mean = BatchNormalization(scale=False, center=False, epsilon=1e-8)(z_mean)
z_mean = scaler(z_mean, mode='positive')
z_std = Dense(hidden_dims)(e_outputs)
z_std = BatchNormalization(scale=False, center=False, epsilon=1e-8)(z_std)
z_std = scaler(z_std, mode='negative')
z = Lambda(sampling, name='Sampling')([z_mean, z_std])

文章内容小结 #

本文简单分析了VAE在NLP中的KL散度消失现象,并介绍了通过BN层来防止KL散度消失、稳定训练流程的方法。这是一种简洁有效的方案,不单单是原论文,笔者私下也做了简单的实验,结果确实也表明了它的有效性,值得各位读者试用。因为其推导具有一般性,所以甚至任意场景(比如CV)中的VAE模型都可以尝试一下。

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如果您需要引用本文,请参考:

苏剑林. (2020, May 06). 《 变分自编码器(五):VAE + BN = 更好的VAE 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/7381