科学空间|Scientific Spaces

设想两个带有等量异号电荷的点电荷，它们之间的距离足够小，这样的一个模型被称为电偶极子（electric dipole）。我们研究电偶极子，主要是研究它在力学方面的性质。很多东西都可以用电偶极子来近似描述，比如一个小磁体周围的磁场，还有地球本身也可以近似看做一个偶极子来描述它的磁力情况，以及一些双原子分子的模型也被可以看做一个电偶极子模型，等等。在电偶极子模型中，两电荷的距离足够小，以至于我们忽略了一些关于距离的高次方项，只保留了线性部分，但对于物理探索来说，它已经足够精确，更重要的是，它足够简单，以至于我们可以容易把它清晰地描述出来。

我们先来研究电偶极子产生的电势。设它们各自的电荷量为q和-q，两者距离为ε，根据库仑定律，一个点电荷产生的电势，正比于该电荷的电荷量，同时反比于到该点电荷的距离。那么，一个电偶极子产生的电势为
$U=C(\frac{q}{r}+\frac{-q}{|\vec{r}-\vec{\varepsilon}|})$————(1)

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在上一篇文章中，我们已经得到了电偶极子的等势面和电场线方程，这应该可以让我们对电偶极子的力场情况有个大致的了解了。当然，我们还是希望能够求出在这样的一个受力情况下，一个带电粒子是如何运动的。简单起见，在下面的探讨中，我们假定带电粒子的质量和电荷量均为1，至于电荷的正负，可以通过改变在$U=-\frac{k \cos\theta}{r^2}$中的k值的正负来控制。我们使用的工具依旧是理论力学中的欧拉-拉格朗日方程。

也许不少读者始终对公式感到头疼，更不用说是博大精深的理论力学了。但是请相信我，如果你花一点点心思去弄懂用变分法研究力学（或其他物理系统，但我目前只会用于力学）的基本思路和步骤，那么对你的物理研究是大有裨益的。因为在我眼中，学习了一丁点的理论力学知识后，我看到的只有物理的简洁与和谐。有兴趣的朋友可以看看我的那几篇《自然极值》等相关文章。

首先写出动能的表达式：$T=\frac{1}{2} (\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta}^2)$

还有势能：$U=-\frac{k \cos\theta}{r^2}$

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为了让大家更加熟悉摄动法的基本步骤，本文再讲一个用摄动法解代数方程的例子。这是从实际研究中出来的：
$$\begin{eqnarray*} x=\frac{k(1+k^2+k^4+l^2)}{2(1+k^2)^2} \\ k=\frac{dy}{dx}\end{eqnarray*} $$

这是一道微分方程。要求解这道方程，最好的方法当然是先从第一式解出$k=k(x)$的形式然后再积分。但是由于五次方程没有一般的显式解，所以迫使我们要考虑近似解。当然，一般来说熟悉mathematica的人都会直接数值计算了。我这里只考虑摄动法。

我们将原方程变为下面的形式：
$$x=\frac{k}{2}[1+\frac{l^2}{(1+k^2)^2}]$$

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微分方程领域大放光彩

虽然微分方程在各个计算领域都能一展才华，不过它最辉煌的光芒无疑绽放于微分方程领域，包括常微分方程和偏微分方程。海王星——“笔尖上发现的行星”——就是摄动法的著名成果，类似的还有冥王星的发现。天体力学家用一颗假设的行星的引力摄动来解释已知行星的异常运动，并由此反推未知行星的轨道。我们已不止一次提到过，一般的三体问题是混沌的，没有精确的解析解。这就要求我们考虑一些近似的方法，这样的方法发展起来就成为了摄动理论。

跟解代数方程一样，摄动法解带有小参数或者大参数的微分方程的基本思想，就是将微分方程的解表达为小参数或大参数的幂级数。当然，这是最直接的，也相当好理解，不过所求得的级数解有可能存在一些性态不好的情况，比如有时原解应该是一个周期运动，但是级数解却出现了诸如$t \sin t$的“长期项”，这是相当不利的，因此也发展出各种技巧来消除这些项。可见，摄动理论是一门应用广泛、集众家所大成的实用理论。下面我们将通过一些实际的例子来阐述这个技巧。

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开始之初，我偶然在图书馆看到了一本名为《超越摄动：同伦分析方法导论》，里边介绍了一种求微分方程近似解的新方法，关键是里边的内容看起来并不是十分难懂，因此我饶有兴致地借来研究了。果然，这是一种非常有趣的方法，在某种意义上来说，还是非常简洁的方法。这解决了我一直以来想要研究的问题：用傅里叶级数来近似描述单摆运动的近似解。当然，它带给我的冲击不仅仅是这些。为了得出周期解，我又同时研究了各种摄动方法的技巧，如消除长期项的PL(Poincaré–Lindstedt)方法。这同时增加了我对各种近似解析方法的了解。从开学到现在快三周的时间，我一直都在研究这些问题。

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在大学第二学期，我们的《数学分析》终于龟速地爬行到了定积分这一章节。对于一些比较复杂的定积分，我总想用自己的方法来解决它，这就重新燃起了我对“费曼积分法——积分符号内取微分”的热情。尤其是我用费曼积分法解决了几道比较有趣复杂的定积分问题时，成就感高涨，遂在此总结，与大家共勉。

这和欧拉数学有什么关系呢？之前已经提到过，欧拉数学是用一种不严谨却极具创造性的方式，给予我们对数学的介乎感性和理性的直观理解。我觉得费曼积分法也属于这个范畴内，它着眼于用一种特殊的视角解决问题，而暂时忽略掉数学严密性。在读费曼的故事中，我感觉到这种思想是贯穿他一生的研究之中的。

本文继续对费曼积分法的研究，得出一些不是很严谨的结论，为以后的应用奠下基础。

一、不成立的函数

首先我们重新考虑$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx$。这一次我们将它引入复数范畴内，考虑：
$$\int_0^{\infty}\frac{\cos x+i \sin x}{x}dx=\int_0^{\infty}\frac{e^{ix}}{x}dx$$

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不可否认，变分法是非常有用而绝妙的一个数学工具，它“自动地”为我们在众多函数中选出了最优的一个，而免除了具体的分析过程。物理中的最小作用量原理则让变分法有了巨大的用武之地，并反过来也推动了变分法的发展。但是变分法的一个很明显的特点就是在大多数情况下计算相当复杂，甚至如果“蛮干”的话我们几乎连微分方程组都列不出来。因此，一些有用的技巧是很受欢迎的。本文就打算介绍这样的一个小技巧，来让某些变分问题得到一定的化简。

我是怎么得到这个技巧的呢？事实上，那是几个月前我在阅读《引力与时空》时，读到变分原理那一块时我怎么也读不懂，想不明白。明明我觉得是错误的东西，为什么可以得到正确的结果？我的数学直觉告诉我绝对是作者的错，可是我又想不出作者哪里错了，所以就一直把这个问题搁置着。最近我终于得到了自己比较满意的答案，并且窃认为是本文所要讲的这个技巧却被物理学家“误用”了。

技巧

首先来看通常我们是怎么处理变分问题的，以一元函数为例，对于求
$$S=\int L(x,\dot{x},t)dt$$

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在上一篇文章中我们得到了第23题的解，本来想接着类似地求第24题，但是看着23题的答案，又好像发现了一些新的东西，故没有继续写下去。等到今天在课堂上花了一节课研究了一下之后，得到了关于这种拟齐次微分方程的一些新的结果，遂另开一篇新文章，与大家分享。

一、特殊拟齐次微分方程的通解

在上一篇文章中，我们求出了拟齐次微分方程$\frac{dy}{dx}=x+\frac{x^3}{y}$的解：
$$(2y+x^2)(x^2-y)^2=C$$
或者写成这样的形式：
$$(y+\frac{1}{2} x^2)(y-x^2)^2=C$$

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