科学空间|Scientific Spaces

约翰与他同时代的110位学者有通信联系，进行学术讨论的信件约有2500封，其中许多已成为珍贵的科学史文献，例如同他的哥哥雅各布以及莱布尼茨、惠更斯等人关于悬链线、最速降线（即旋轮线）和等周问题的通信讨论，虽然相互争论不断，特别是约翰和雅各布互相指责过于尖刻，使兄弟之间时常造成不快，但争论无疑会促进科学的发展，最速降线问题就导致了变分法的诞生。

有意思的是,1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出过悬链线问题向数学界征求答案。即：

固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，求项链的曲线方程.

吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，电杆间的电线都是悬链线。伽利略最早注意到悬链线，猜测悬链线是抛物线。1691年莱布尼兹、惠更斯以及约翰·伯努利各自得到正确答案，所用方法是诞生不久的微积分。

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我们经常听说牛顿力学、相对论力学、量子力学等物理名词，也不时会听到“理论力学”。其实，“理论力学”这个名词是不大妥当的，因为这很容易会让人误认为这是一种新的力学体系。而事实上，理论力学并不是像牛顿力学那样是一种力学体系，而是一种研究力学的方法，而研究的对象在多数情况下依然是经典力学（翻开任意一本《理论力学》教程都不难发现这一点）。简单来讲，它把牛顿时代用微积分来研究力学的方法转变为了“变分”，变“常微分”为“偏微分”。看上去这有点“化简为繁”，但事实上这样的一个转变却带来了力学研究的一个巨大的飞跃。

说到这里，也许有的读者会感到害怕了：这里边肯定又涉及了各种高深莫测的高等数学方法，我们只能望而却步。的确，理论力学中的方法很是深奥，纵使是一个优秀的大学数理本科生，也可能要花上一年多时间才能学完一本《理论力学》。可是，通过最小作用量原理的方法去研究物理又显得如此地诱人。难道像我们这些初级人士就无法亲身体验理论力学方法给我们带来的巨大便利和不一样的体验了吗？

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莱昂哈德·欧拉

作为数学史上最高产的数学家（似乎没有之一），欧拉的研究几乎涉及了所有数学领域，包括数论、图论、微积分等，同时他还是一个物理学家，他与拉格朗日首创的变分法使得经典力学的研究达到了一个新的高度。欧拉具有惊人的计算能力和数学直觉，这对他的数学研究帮助极大。现在在很多领域，我们都可以看到不少以欧拉命名的公式、定理。欧拉在数学上极为高产，而且得出了相当多的正确结论，但其中有相当多的结论只是来源于他的数学直觉（创造性思维）以及类比推理，这并非欧拉不追求严谨，而是由于当时数学知识的局限性，难以严密化。还有，研究的顺序是：先得出答案，然后才论证答案！

再者，创造性思维往往令人叫绝，能更加促进我们的思维能力。过多地考虑严格性和技术细节，通常都妨碍了我们得出正确的答案。正如《解题的艺术》中说道：粗略而有灵感的思想可能会引出严格证明；而有时，严格的证明会完全淡化论证的精髓。因此，我们不必在意欧拉证明的不严谨，反而，它是一次完美的视觉与思维享受。正因如此，一些绝妙、非严密、（在某种程度上）不正确的但同时得出了正确结果的数学论证，就被称为“欧拉数学”。事实上，任何人、任何研究都必须经过“欧拉数学”这一不严密的早期阶段。

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下面是一条关于凸多面体的面、顶、棱公式，它属于拓扑学的内容，我们称之为“欧拉公式”。（当然，公式是欧拉的，论证过程只是笔者粗糙地给出的）。

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在上一篇文章中，我们已经得到了电偶极子的等势面和电场线方程，这应该可以让我们对电偶极子的力场情况有个大致的了解了。当然，我们还是希望能够求出在这样的一个受力情况下，一个带电粒子是如何运动的。简单起见，在下面的探讨中，我们假定带电粒子的质量和电荷量均为1，至于电荷的正负，可以通过改变在$U=-\frac{k \cos\theta}{r^2}$中的k值的正负来控制。我们使用的工具依旧是理论力学中的欧拉-拉格朗日方程。

也许不少读者始终对公式感到头疼，更不用说是博大精深的理论力学了。但是请相信我，如果你花一点点心思去弄懂用变分法研究力学（或其他物理系统，但我目前只会用于力学）的基本思路和步骤，那么对你的物理研究是大有裨益的。因为在我眼中，学习了一丁点的理论力学知识后，我看到的只有物理的简洁与和谐。有兴趣的朋友可以看看我的那几篇《自然极值》等相关文章。

首先写出动能的表达式：$T=\frac{1}{2} (\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta}^2)$

还有势能：$U=-\frac{k \cos\theta}{r^2}$

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为了计算实际问题，我们总会采用各种各样的理想模型。一般而言，一个模型越接近实际现象，它往往会越复杂。而忽略掉多数微小的干扰，只保留一些主要的项，这通常可以得到一个相当简单、能够精确解出的模型。以这样的一个可以精确解出的近似模型为基础，逐渐地把微小项的影响添加进去，使得我们的答案越来越准确，这就是摄动法的思想，也称作“微扰理论”。这种方法源于求解天体力学的N体问题，而现在已经发展成为一门相当系统的学科，并应用到了相对多的领域，如量子力学、电子理论等。

其实不难发现，实际问题中存在不少这样的例子，即当我们要计算某个现象时，先考虑最突出的，然后再考虑细节。比如说，要计算地球的轨道，先把它看成一个与太阳组成的纯粹的二体系统，然后把各种微小效应加进去，比如月球的影响、各大行星的影响甚至由于地球的不规则形状所产生的影响等。当然，不仅仅是这一类复杂的“大问题”，我们平常可能会遇到的一些“小问题”有可能也让摄动法派上用场。本文试图将摄动法介绍给各位读者。

摄动法的主要步骤是先忽略微小影响（令小参数为0），求出精确解；然后把所要求的解表达为关于小参数的幂级数。这个方法可以用于解答代数方程、微分方程等等各种领域。下面先以一个简单的代数方程来说明：

一、求解方程：$\varepsilon x^3+x^2=p^2$

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在《自然极值》系列文章中，我引用了《数学方法论与解题研究》（张雄，李得虎编著）中提到的“平衡态公理”，并用它来解决了一些数学物理问题。平衡态公理讲的是系统的平衡状态总是在势能取极（小）值时取到，简单来讲就是自然界总向势能更低的方向发展，比如“水往低处流”。这在经典力学中本身是没有任何问题的，但在有些时候，我们在应用的时候可能会不自觉地将它想象成为“系统的平衡状态总是在总能量取极（小）值时取到”。然而，这却是不正确的。本文就是要探讨这个问题。

先来看看平衡态公理的来源。从最小作用量原理出发，考虑保守系统，每一个系统都应该对应着一个取极值的作用量S：
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot{x})dt$$

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半个多月没有写文章了，一是因为接近期末考了，比较忙，当然最主要的原因还是人变懒了，呵呵，别人是忙里偷闲，我是闲里偷懒了。

这篇文章主要跟大家分享一下相对论动力学的知识。我们之前已经接触过相对论的坐标变换了，接下来的任务应该是把经典力学的动力学定律改成为相对论版本的，这显然也是学习场论的必经之路——懂得如何构造力学定律的相对版版本，是懂得构造相对论性场的基础。和朗道的《力学》与《场论》一样，我们的主线就是“最小作用量原理”。让我们回忆一下，在经典力学中，一个自由粒子的作用量是

$$S_m=\int Ldt=\int \frac{1}{2} m v^2dt$$

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本文我们来探讨下列积分的极值曲线：
$$S=\int f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}=\int f(x,y)ds$$

这本质上也是一个短程线问题。但是它形式比较简答，物理含义也更加明显。比如，如果$f(x,y)$是势函数的话，那么这就是一个求势能最小的二维问题；如果$f(x,y)$是摩擦力函数，那么这就是寻找摩擦力最小的路径问题。不管是哪一种，该问题都有相当的实用价值。下面将其变分：

$$\begin{aligned} \delta S =&\int \delta[f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}] \\ =&\int [ds\delta f(x,y)+f(x,y)\frac{\delta (dx^2+dy^2)}{2ds}]\\ =&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx d(\delta x)+dy d(\delta y)}{ds} \\=&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx}{ds} d(\delta x)+\frac{dy}{ds} d(\delta y) \end{aligned}$$

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