科学空间|Scientific Spaces

今天上近世代数课，老师谈到除环，举了一个非交换的除环的粒子，也就是四元数环，然后谈到“实数域上有限维可除代数只有4种”，也就是实数本身、复数、四元数和八元数（这里的可除代数就是除环）。这句话我听起来有点熟悉，又好像不大对劲。我记得在某本书上看过，定义为实数上的超复数系，如果满足模的积性，那么就只有以上四种。但是老师的那句话表明即使去掉模的积性，也只有四种。我自然以为老师记错了，跟老师辩论了一翻，然后回到宿舍又找资料，最终确定：实数域上有限维可除代数真的只有四种！下面简单谈谈我对这个问题的认识。

当然，这里不可能给出这个命题的证明，因为这个证明相当不简单，笔者目前也没有弄懂，但是粗略感觉一下为什么，还是有可能的。看到这个命题，我们一下子的感觉可能是：怎么会这么少！我们这里通过例子简单说明一下，确实不会多！

我们已经对复数系很熟悉了，也就是定义在实数上的向量空间，基为$\{1,i\}$，并且给定乘法为
$$1\times i=i \times 1=i,\quad 1^2=1,\quad i^2=-1$$

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在2018年的文章里《f-GAN简介：GAN模型的生产车间》笔者介绍了f-GAN，并评价其为GAN模型的“生产车间”，顾名思义，这是指它能按照固定的流程构造出很多不同形式的GAN模型来。前几天在arxiv上看到了新出的一篇论文《Designing GANs: A Likelihood Ratio Approach》（后面简称Designing GANs或原论文），发现它在做跟f-GAN同样的事情，但走的是一条截然不同的路（不过最后其实是殊途同归），整篇论文颇有意思，遂在此分享一番。

f-GAN回顾

从《f-GAN简介：GAN模型的生产车间》中我们可以知道，f-GAN的首要步骤是找到满足如下条件的函数$f$：

1、$f$是非负实数到实数的映射（$\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$）；

2、$f(1)=0$；

3、$f$是凸函数。

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写在前面：本文是笔者数学建模课的作业，探讨了两生物种群竞争的常微分方程组模型的解的性质，展示了微分方程定性理论的基本思想。当然，本文最重要的目的，是展示LaTeX与Python的完美结合。（本文的图均由Python的Matplotlib模块生成；而文档则采用LaTeX编辑。）

问题提出

研究在同一个自然环境中生存的两个种群之间的竞争关系。假设两个种群独自在这个自然环境中生存时数量演变都服从Logistic规律，又假设当它们相互竞争时都会减慢对方数量的增长，增长速度的减小都与它们数量的乘积成正比。按照这样的假设建立的常微分方程模型为
$$\begin{equation}\label{eq:jingzhengfangcheng}\left\{\begin{aligned}\frac{dx_1}{dt}=r_1 x_1\left(1-\frac{x_1}{N_1}\right)-a_1 x_1 x_2 \\
\frac{dx_2}{dt}=r_2 x_2\left(1-\frac{x_2}{N_2}\right)-a_2 x_1 x_2\end{aligned}\right.\end{equation}$$
本文分别通过定量和定性两个角度来分析该方程的性质。

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前言：一年前国赛的时候，很初级地做了一下B题，做完之后还写了个《碎纸复原：一个人的数学建模》。当时就是对题目很有兴趣，然后通过一天的学习，基本完成了附件一二的代码，对附件三也只是有个概念。而今年我们上的数学建模课，老师把这道题作为大作业让我们做，于是我便再拾起了一年前的那份激情，继续那未完成的一个人的数学建模...

与去年不同的是，这次将所有代码用Python实现了，更简洁，更清晰，甚至可能更高效~~以下是论文全文。

研究背景

2011年10月29日，美国国防部高级研究计划局（DARPA）宣布了一场碎纸复原挑战赛（Shredder Challenge），旨在寻找到高效有效的算法，对碎纸机处理后的碎纸屑进行复原。[1]该竞赛吸引了全美9000支参赛队伍参与角逐，经过一个多月的时间，有一支队伍成功完成了官方的题目。

近年来，碎纸复原技术日益受到重视，它显示了在碎片中“还原真相”的可能性，表明我们可以从一些破碎的片段中“解密”出原始信息来。另一方面，该技术也和照片处理领域中的“全景图拼接技术”有一定联系，该技术是指通过若干张不同侧面的照片，合成一张完整的全景图。因此，分析研究碎纸复原技术，有着重要的意义。

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fashion_mnist_demo

mnist的手写数字识别数据集一直是各种机器学习算法的试金石之一，最近有个新的数据集要向它叫板，称为fashion-mnist，内容是衣服鞋帽等分类。为了便于用户往fashion-mnist迁移，作者把数据集做成了几乎跟mnist手写数字识别数据集一模一样——同样数量、尺寸的图片，同样是10分类，甚至连数据打包和命名都跟mnist一样。看来fashion mnist为了取代mnist，也是拼了，下足了功夫，一切都做得一模一样，最大限度降低了使用成本～这叫板的心很坚定呀。

叫板的原因很简单——很多人吐槽，如果一个算法在mnist没用，那就一定没用了，但如果一个算法在mnist上有效，那它也不见得在真实问题中有效～也就是说，这个数据集太简单，没啥代表性。

fashion-mnist的github：https://github.com/zalandoresearch/fashion-mnist/

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今天早上同学问了我有关伽马函数和$n$维空间的球体积之间的关系，我记得我以前想要研究，但是并没有落实。既然她提问了，那么就完成这未完成的计划吧。

标准思路

简单来说，$n$维球体积就是如下$n$重积分
$$V_n(r)=\int_{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\leq r^2}dx_1 dx_2\dots dx_n$$
用更加几何的思路，我们通过一组平行面（$n-1$维的平行面）分割，使得$n$维球分解为一系列近似小柱体，因此，可以得到递推公式
$$V_n (r)=\int_{-r}^r V_{n-1} \left(\sqrt{r^2-t^2}\right)dt$$
设$t=r\sin\theta_1$，就有
$$V_n (r)=r\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_{n-1} \left(r\cos\theta_1\right)\cos\theta_1 d\theta_1$$

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实变函数中有一个勒贝格控制收敛定理，一般认为它是判断积分和取极限可交换的很好用的方法。勒贝格控制收敛定理是说，如果定义在集合$E$上的函数列$\left\{f_n(x)\right\}$满足$|f_n(x)|\leq F(x)$，而$F(x)$在$E$上可积，那么积分和取极限就可以交换，即
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_E f_n (x)dx\right)=\int_E \left(\lim_{n\to\infty}f_n (x)\right)dx$$
本文不打算谈该定理的证明，只是谈谈该定理的应用相关的话题。首先，请有兴趣的读者，做做以下题目：
$$\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^1 \frac{n^2 x}{1+n^4 x^4}dx\right)$$

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某天在浏览高教社的“i数学”编辑的微博时候，发现上面有一道Knotsevich在黑板上写的他认为很有意思的题目，原始网址是：http://weibo.com/3271276117/BBrL5foVz。

Knotsevich在黑板上写的级数题目

题目是这样的
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n! (20n)!}{(4n)!(7n)!(10n)!}x^n\tag{1}$$
大概的目的是找出原函数的表达式吧。

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