科学空间|Scientific Spaces

到目前为止，笔者给出了生成扩散模型DDPM的两种推导，分别是《生成扩散模型漫谈（一）：DDPM = 拆楼 + 建楼》中的通俗类比方案和《生成扩散模型漫谈（二）：DDPM = 自回归式VAE》中的变分自编码器方案。两种方案可谓各有特点，前者更为直白易懂，但无法做更多的理论延伸和定量理解，后者理论分析上更加完备一些，但稍显形式化，启发性不足。

贝叶斯定理（来自维基百科）

在这篇文章中，我们再分享DDPM的一种推导，它主要利用到了贝叶斯定理来简化计算，整个过程的“推敲”味道颇浓，很有启发性。不仅如此，它还跟我们后面将要介绍的DDIM模型有着紧密的联系。

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如果说大型的预训练模型是自然语言处理的“张良计”，那么对应的“过墙梯”是什么呢？笔者认为是高效地微调这些大模型到特定任务上的各种技巧。除了直接微调全部参数外，还有像Adapter、P-Tuning等很多参数高效的微调技巧，它们能够通过只微调很少的参数来达到接近全量参数微调的效果。然而，这些技巧通常只是“参数高效”而并非“训练高效”，因为它们依旧需要在整个模型中反向传播来获得少部分可训练参数的梯度，说白了，就是可训练的参数确实是少了很多，但是训练速度并没有明显提升。

最近的一篇论文《LST: Ladder Side-Tuning for Parameter and Memory Efficient Transfer Learning》则提出了一个新的名为“Ladder Side-Tuning（LST）”的训练技巧，它号称同时达到了参数高效和训练高效。是否真有这么理想的“过墙梯”？本来就让我们一起来学习一下。

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这几天读到论文《Exploring and Exploiting Hubness Priors for High-Quality GAN Latent Sampling》，了解到了一个新的名词“Hubness现象”，说的是高维空间中的一种聚集效应，本质上是“维度灾难”的体现之一。论文借助Hubness的概念得到了一个提升GAN模型生成质量的方案，看起来还蛮有意思。所以笔者就顺便去学习了一下Hubness现象的相关内容，记录在此，供大家参考。

坍缩的球

“维度灾难”是一个很宽泛的概念，所有在高维空间中与相应的二维、三维空间版本出入很大的结论，都可以称之为“维度灾难”，比如《n维空间下两个随机向量的夹角分布》中介绍的“高维空间中任何两个向量几乎都是垂直的”。其中，有不少维度灾难现象有着同一个源头——“高维空间单位球与其外切正方体的体积之比逐渐坍缩至0”，包括本文的主题“Hubness现象”亦是如此。

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在文章《生成扩散模型漫谈（一）：DDPM = 拆楼 + 建楼》中，我们为生成扩散模型DDPM构建了“拆楼-建楼”的通俗类比，并且借助该类比完整地推导了生成扩散模型DDPM的理论形式。在该文章中，我们还指出DDPM本质上已经不是传统的扩散模型了，它更多的是一个变分自编码器VAE，实际上DDPM的原论文中也是将它按照VAE的思路进行推导的。

所以，本文就从VAE的角度来重新介绍一版DDPM，同时分享一下自己的Keras实现代码和实践经验。

Github地址：https://github.com/bojone/Keras-DDPM

多步突破

在传统的VAE中，编码过程和生成过程都是一步到位的：
\begin{equation}\text{编码:}\,\,x\to z\,,\quad \text{生成:}\,\,z\to x\end{equation}

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相信很多读者都听说过甚至读过克莱因的《高观点下的初等数学》这套书，顾名思义，这是在学到了更深入、更完备的数学知识后，从更高的视角重新审视过往学过的初等数学，以得到更全面的认知，甚至达到温故而知新的效果。类似的书籍还有很多，比如《重温微积分》、《复分析：可视化方法》等。

回到扩散模型，目前我们已经通过三篇文章从不同视角去解读了DDPM，那么它是否也存在一个更高的理解视角，让我们能从中得到新的收获呢？当然有，《Denoising Diffusion Implicit Models》介绍的DDIM模型就是经典的案例，本文一起来欣赏它。

思路分析

在《生成扩散模型漫谈（三）：DDPM = 贝叶斯 + 去噪》中，我们提到过该文章所介绍的推导跟DDIM紧密相关。具体来说，文章的推导路线可以简单归纳如下：
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t-1})\xrightarrow{\text{推导}}p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\xrightarrow{\text{推导}}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0)\xrightarrow{\text{近似}}p(\boldsymbol{x}_{t-1}|\boldsymbol{x}_t)\end{equation}

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对于生成扩散模型来说，一个很关键的问题是生成过程的方差应该怎么选择，因为不同的方差会明显影响生成效果。

在《生成扩散模型漫谈（二）：DDPM = 自回归式VAE》我们提到，DDPM分别假设数据服从两种特殊分布推出了两个可用的结果；《生成扩散模型漫谈（四）：DDIM = 高观点DDPM》中的DDIM则调整了生成过程，将方差变为超参数，甚至允许零方差生成，但方差为0的DDIM的生成效果普遍差于方差非0的DDPM；而《生成扩散模型漫谈（五）：一般框架之SDE篇》显示前、反向SDE的方差应该是一致的，但这原则上在$\Delta t\to 0$时才成立；《Improved Denoising Diffusion Probabilistic Models》则提出将它视为可训练参数来学习，但会增加训练难度。

所以，生成过程的方差究竟该怎么设置呢？今年的两篇论文《Analytic-DPM: an Analytic Estimate of the Optimal Reverse Variance in Diffusion Probabilistic Models》和《Estimating the Optimal Covariance with Imperfect Mean in Diffusion Probabilistic Models》算是给这个问题提供了比较完美的答案。接下来我们一起欣赏一下它们的结果。

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在写生成扩散模型的第一篇文章时，就有读者在评论区推荐了宋飏博士的论文《Score-Based Generative Modeling through Stochastic Differential Equations》，可以说该论文构建了一个相当一般化的生成扩散模型理论框架，将DDPM、SDE、ODE等诸多结果联系了起来。诚然，这是一篇好论文，但并不是一篇适合初学者的论文，里边直接用到了随机微分方程（SDE）、Fokker-Planck方程、得分匹配等大量结果，上手难度还是颇大的。

不过，在经过了前四篇文章的积累后，现在我们可以尝试去学习一下这篇论文了。在接下来的文章中，笔者将尝试从尽可能少的理论基础出发，尽量复现原论文中的推导结果。

随机微分

在DDPM中，扩散过程被划分为了固定的$T$步，还是用《生成扩散模型漫谈（一）：DDPM = 拆楼 + 建楼》的类比来说，就是“拆楼”和“建楼”都被事先划分为了$T$步，这个划分有着相当大的人为性。事实上，真实的“拆”、“建”过程应该是没有刻意划分的步骤的，我们可以将它们理解为一个在时间上连续的变换过程，可以用随机微分方程（Stochastic Differential Equation，SDE）来描述。

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前段时间买了一个极米投影仪，开始折腾才发现极米跟小米基本没啥关系，它根本无法跟小爱同学互动。在众多名字带“米”的品牌中，极米是为数不多的无法接入米家生态的品牌，想必有不少用户开始都会被极米这个名字误导，关键是极米投影仪还在小米商城上有得卖（捂脸）。

买都买了，还过了七天无理由，退是退不成了，只能试着折腾一下，看看能不能强行互动。

现有方案

首先网上搜了一下，网友给出的参考方案大体上有几种，一种是用“米家智能插座 + 上电自动开机”来控制开关机（事实上主要的联动就是开关机了），一种是接入Home Assistant后通过ADB控制，还有一种是修改遥控器，给遥控器加入红外模块，继而用小爱同学的红外遥控功能。

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