生成扩散模型漫谈（五）：一般框架之SDE篇

在写生成扩散模型的第一篇文章时，就有读者在评论区推荐了宋飏博士的论文《Score-Based Generative Modeling through Stochastic Differential Equations》，可以说该论文构建了一个相当一般化的生成扩散模型理论框架，将DDPM、SDE、ODE等诸多结果联系了起来。诚然，这是一篇好论文，但并不是一篇适合初学者的论文，里边直接用到了随机微分方程（SDE）、Fokker-Planck方程、得分匹配等大量结果，上手难度还是颇大的。

不过，在经过了前四篇文章的积累后，现在我们可以尝试去学习一下这篇论文了。在接下来的文章中，笔者将尝试从尽可能少的理论基础出发，尽量复现原论文中的推导结果。

随机微分 #

在DDPM中，扩散过程被划分为了固定的$T$步，还是用《生成扩散模型漫谈（一）：DDPM = 拆楼 + 建楼》的类比来说，就是“拆楼”和“建楼”都被事先划分为了$T$步，这个划分有着相当大的人为性。事实上，真实的“拆”、“建”过程应该是没有刻意划分的步骤的，我们可以将它们理解为一个在时间上连续的变换过程，可以用随机微分方程（Stochastic Differential Equation，SDE）来描述。

为此，我们用下述SDE描述前向过程（“拆楼”）：
\begin{equation}d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}) dt + g_t d\boldsymbol{w}\label{eq:sde-forward}\end{equation}
相信很多读者都对SDE很陌生，笔者也只是在硕士阶段刚好接触过一段时间，略懂皮毛。不过不懂不要紧，我们只需要将它看成是下述离散形式在$\Delta t\to 0$时的极限：
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \boldsymbol{x}_t = \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) \Delta t + g_t \sqrt{\Delta t}\boldsymbol{\varepsilon},\quad \boldsymbol{\varepsilon}\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})\label{eq:sde-discrete}\end{equation}
再直白一点，如果假设拆楼需要$1$天，那么拆楼就是$\boldsymbol{x}$从$t=0$到$t=1$的变化过程，每一小步的变化我们可以用上述方程描述。至于时间间隔$\Delta t$，我们并没有做特殊限制，只是越小的$\Delta t$意味着是对原始SDE越好的近似，如果取$\Delta t=0.001$，那就对应于原来的$T=1000$，如果是$\Delta t = 0.01$则对应于$T=100$，等等。也就是说，在连续时间的SDE视角之下，不同的$T$是SDE不同的离散化程度的体现，它们会自动地导致相似的结果，我们不需要事先指定$T$，而是根据实际情况下的精确度来取适当的$T$进行数值计算。

所以，引入SDE形式来描述扩散模型的本质好处是“将理论分析和代码实现分离开来”，我们可以借助连续性SDE的数学工具对它做分析，而实践的时候，则只需要用任意适当的离散化方案对SDE进行数值计算。

对于式$\eqref{eq:sde-discrete}$，读者可能比较有疑惑的是为什么右端第一项是$\mathcal{O}(\Delta t)$的，而第二项是$\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$的？也就是说为什么随机项的阶要比确定项的阶要高？这个还真不是那么容易解释，也是SDE比较让人迷惑的地方之一。简单来说，就是$\boldsymbol{\varepsilon}$一直服从标准正态分布，如果随机项的权重也是$\mathcal{O}(\Delta t)$，那么由于标准正态分布的均值为$\boldsymbol{0}$、协方差为$ \boldsymbol{I}$，临近的随机效应会相互抵消掉，要放大到$\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$才能在长期结果中体现出随机效应的作用。

逆向方程 #

用概率的语言，式$\eqref{eq:sde-discrete}$意味着条件概率为
\begin{equation}\begin{aligned}
p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t) =&\, \mathcal{N}\left(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t};\boldsymbol{x}_t + \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) \Delta t, g_t^2\Delta t \,\boldsymbol{I}\right)\\
\propto&\, \exp\left(-\frac{\Vert\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) \Delta t\Vert^2}{2 g_t^2\Delta t}\right)
\end{aligned}\label{eq:sde-proba}\end{equation}
简单起见，这里没有写出无关紧要的归一化因子。按照DDPM的思想，我们最终是想要从“拆楼”的过程中学会“建楼”，即得到$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})$，为此，我们像《生成扩散模型漫谈（三）：DDPM = 贝叶斯 + 去噪》一样，用贝叶斯定理：
\begin{equation}\begin{aligned}
p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) =&\, \frac{p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t)p(\boldsymbol{x}_t)}{p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})} = p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t) \exp\left(\log p(\boldsymbol{x}_t) - \log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})\right)\\
\propto&\, \exp\left(-\frac{\Vert\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) \Delta t\Vert^2}{2 g_t^2\Delta t} + \log p(\boldsymbol{x}_t) - \log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})\right)
\end{aligned}\label{eq:bayes-dt}\end{equation}
不难发现，当$\Delta t$足够小时，只有当$\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}$与$\boldsymbol{x}_t$足够接近时，$p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t)$才会明显不等于0，反过来也只有这种情况下$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})$才会明显不等于0。因此，我们只需要对$\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}$与$\boldsymbol{x}_t$足够接近时的情形做近似分析，为此，我们可以用泰勒展开：
\begin{equation}\log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})\approx \log p(\boldsymbol{x}_t) + (\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \boldsymbol{x}_t)\cdot \nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t) + \Delta t \frac{\partial}{\partial t}\log p(\boldsymbol{x}_t)\end{equation}
注意不要忽略了$\frac{\partial}{\partial t}$项，因为$p(\boldsymbol{x}_t)$实际上是“$t$时刻随机变量等于$\boldsymbol{x}_t$的概率密度”，而$p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})$实际上是“$t+\Delta t$时刻随机变量等于$\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}$的概率密度”，也就是说$p(\boldsymbol{x}_t)$实际上同时是$t$和$\boldsymbol{x}_t$的函数，所以要多一项$t$的偏导数。代入到式$\eqref{eq:bayes-dt}$后，配方得到
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) \propto \exp\left(-\frac{\Vert\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \boldsymbol{x}_t - \left[\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) - g_t^2\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t) \right]\Delta t\Vert^2}{2 g_t^2\Delta t} + \mathcal{O}(\Delta t)\right)\end{equation}
当$\Delta t\to 0$时，$\mathcal{O}(\Delta t)\to 0$不起作用，因此
\begin{equation}\begin{aligned}
p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) \propto&\, \exp\left(-\frac{\Vert\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \boldsymbol{x}_t - \left[\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}_t) - g_t^2\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t) \right]\Delta t\Vert^2}{2 g_t^2\Delta t}\right) \\
\approx&\,\exp\left(-\frac{\Vert \boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{x}_{t+\Delta t} + \left[\boldsymbol{f}_{t+\Delta t}(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) - g_{t+\Delta t}^2\nabla_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) \right]\Delta t\Vert^2}{2 g_{t+\Delta t}^2\Delta t}\right)
\end{aligned}\end{equation}
即$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})$近似一个均值为$\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} - \left[\boldsymbol{f}_{t+\Delta t}(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) - g_{t+\Delta t}^2\nabla_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) \right]\Delta t$、协方差为$g_{t+\Delta t}^2\Delta t\,\boldsymbol{I}$的正态分布，取$\Delta t\to 0$的极限，那么对应于SDE：
\begin{equation}d\boldsymbol{x} = \left[\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x}) - g_t^2\nabla_{\boldsymbol{x}}\log p_t(\boldsymbol{x}) \right] dt + g_t d\boldsymbol{w}\label{eq:reverse-sde}\end{equation}
这就是反向过程对应的SDE，最早出现在《Reverse-Time Diffusion Equation Models》中。这里我们特意在$p$处标注了下标$t$，以突出这是$t$时刻的分布。

得分匹配 #

现在我们已经得到了逆向的SDE为$\eqref{eq:reverse-sde}$，如果进一步知道$\nabla_{\boldsymbol{x}}\log p_t(\boldsymbol{x})$，那么就可以通过离散化格式
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t - \boldsymbol{x}_{t+\Delta t} = - \left[\boldsymbol{f}_{t+\Delta t}(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) - g_{t+\Delta t}^2\nabla_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}) \right]\Delta t - g_{t+\Delta t} \sqrt{\Delta t}\boldsymbol{\varepsilon}\label{eq:reverse-sde-discrete}\end{equation}
来逐步完成“建楼”的生成过程【其中$\boldsymbol{\varepsilon}\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$】，从而完成一个生成扩散模型的构建。

那么如何得到$\nabla_{\boldsymbol{x}}\log p_t(\boldsymbol{x})$呢？$t$时刻的$p_t(\boldsymbol{x})$就是前面的$p(\boldsymbol{x}_t)$，它的含义就是$t$时刻的边缘分布。在实际使用时，我们一般会设计能找到$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$解析解的模型，这意味着
\begin{equation}\small p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = \lim_{\Delta t\to 0}\int\cdots\iint p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_{t-\Delta t})p(\boldsymbol{x}_{t-\Delta t}|\boldsymbol{x}_{t-2\Delta t})\cdots p(\boldsymbol{x}_{\Delta t}|\boldsymbol{x}_0) d\boldsymbol{x}_{t-\Delta t} d\boldsymbol{x}_{t-2\Delta t}\cdots d\boldsymbol{x}_{\Delta t}\end{equation}
是可以直接求出的，比如当$\boldsymbol{f}_t(\boldsymbol{x})$是关于$\boldsymbol{x}$的线性函数时，$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$就可以解析求解。在此前提下，有
\begin{equation}p(\boldsymbol{x}_t) = \int p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)d\boldsymbol{x}_0=\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]\end{equation}
于是
\begin{equation}\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t) = \frac{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[\nabla_{\boldsymbol{x}_t} p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]} = \frac{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]}\end{equation}
可以看到最后的式子具有“$\nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$的加权平均”的形式，由于假设了$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$有解析解，因此上式实际上是能够直接估算的，然而它涉及到对全体训练样本$\boldsymbol{x}_0$的平均，一来计算量大，二来泛化能力也不够好。因此，我们希望用神经网络学一个函数$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$，使得它能够直接计算$\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t)$。

很多读者应该对如下结果并不陌生（或者推导一遍也不困难）：
\begin{equation}\mathbb{E}[\boldsymbol{x}] = \mathop{\text{argmin}}_{\boldsymbol{\mu}}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}}\left[\Vert \boldsymbol{\mu} - \boldsymbol{x}\Vert^2\right]\end{equation}
即要让$\boldsymbol{\mu}$等于$\boldsymbol{x}$的均值，只需要最小化$\Vert \boldsymbol{\mu} - \boldsymbol{x}\Vert^2$的均值。同理，要让$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$等于$\nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$的加权平均【即$\nabla_{\boldsymbol{x}_t}\log p(\boldsymbol{x}_t)$】，则只需要最小化$\left\Vert \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right\Vert^2$的加权平均，即
\begin{equation} \frac{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\left\Vert \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right\Vert^2\right]}{\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]}\end{equation}
分母的$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right]$只是起到调节Loss权重的作用，简单起见我们可以直接去掉它，这不会影响最优解的结果。最后我们再对$\boldsymbol{x}_t$积分（相当于对于每一个$\boldsymbol{x}_t$都要最小化上述损失），得到最终的损失函数
\begin{equation}\begin{aligned}&\,\int \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0}\left[p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\left\Vert \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right\Vert^2\right] d\boldsymbol{x}_t \\
=&\, \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_t \sim p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\tilde{p}(\boldsymbol{x}_0)}\left[\left\Vert \boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)\right\Vert^2\right]
\end{aligned}\label{eq:score-match}\end{equation}
这就是“（条件）得分匹配”的损失函数，之前我们在《从去噪自编码器到生成模型》推导的去噪自编码器的解析解，也是它的一个特例。得分匹配的最早出处可以追溯到2005年的论文《Estimation of Non-Normalized Statistical Models by Score Matching》，至于条件得分匹配的最早出处，笔者追溯到的是2011年的论文《A Connection Between Score Matching and Denoising Autoencoders》。

不过，虽然该结果跟得分匹配是一样的，但其实在这一节的推导中，我们已经抛开了“得分”的概念了，纯粹是由目标自然地引导出来的答案，笔者认为这样的处理过程更有启发性，希望这一推导能降低大家对得分匹配的理解难度。

结果倒推 #

至此，我们构建了生成扩散模型的一般流程：

1、通过随机微分方程$\eqref{eq:sde-forward}$定义“拆楼”（前向过程）；

2、求$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$的表达式；

3、通过损失函数$\eqref{eq:score-match}$训练$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$（得分匹配）；

4、用$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$替换式$\eqref{eq:reverse-sde}$的$\nabla_{\boldsymbol{x}}\log p_t(\boldsymbol{x})$，完成“建楼”（反向过程）。

可能大家看到SDE、微分方程等字眼，天然就觉得“恐慌”，但本质上来说，SDE只是个“幌子”，实际上将对SDE的理解转换到式$\eqref{eq:sde-discrete}$和式$\eqref{eq:sde-proba}$上后，完全就可以抛开SDE的概念了，因此概念上其实是没有太大难度的。

不难发现，定义一个随机微分方程$\eqref{eq:sde-forward}$是很容易的，但是从$\eqref{eq:sde-forward}$求解$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$却是不容易的。原论文的剩余篇幅，主要是对两个有实用性的例子推导和实验。然而，既然求解$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$不容易，那么按照笔者的看法，与其先定义$\eqref{eq:sde-forward}$再求解$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$，倒不如像DDIM一样，先定义$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$，然后再来反推对应的SDE？

例如，我们先定义
\begin{equation} p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_t; \bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0,\bar{\beta}_t^2 \boldsymbol{I})\end{equation}
并且不失一般性假设起点是$t=0$，终点是$t=1$，那么$\bar{\alpha}_t,\bar{\beta}_t$要满足的边界就是
\begin{equation} \bar{\alpha}_0 = 1,\quad \bar{\alpha}_1 = 0,\quad \bar{\beta}_0 = 0,\quad \bar{\beta}_1 = 1\end{equation}
当然，上述边界条件理论上足够近似就行，也不一定非要精确相等，比如上一篇文章我们分析过DDPM相当于选择了$\bar{\alpha}_t = e^{-5t^2}$，当$t=1$时结果为$e^{-5}\approx 0$。

有了$p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0)$，我们去反推$\eqref{eq:sde-forward}$，本质上就是要求解$p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t)$，它要满足
\begin{equation} p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_0) = \int p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t) p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) d\boldsymbol{x}_t\end{equation}
我们考虑线性的解，即
\begin{equation}d\boldsymbol{x} = f_t\boldsymbol{x} dt + g_t d\boldsymbol{w}\end{equation}
跟《生成扩散模型漫谈（四）：DDIM = 高观点DDPM》一样，我们写出
\begin{array}{c|c|c}
\hline
\text{记号} & \text{含义} & \text{采样}\\
\hline
p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_0) & \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_t;\bar{\alpha}_{t+\Delta t} \boldsymbol{x}_0,\bar{\beta}_{t+\Delta t}^2 \boldsymbol{I}) & \boldsymbol{x}_{t+\Delta t} = \bar{\alpha}_{t+\Delta t} \boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_{t+\Delta t} \boldsymbol{\varepsilon} \\
\hline
p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) & \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_t;\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0,\bar{\beta}_t^2 \boldsymbol{I}) & \boldsymbol{x}_t = \bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon}_1 \\
\hline
p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t) & \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}; (1 + f_t\Delta t) \boldsymbol{x}_t, g_t^2 \Delta t\, \boldsymbol{I}) & \boldsymbol{x}_{t+\Delta t} = (1 + f_t\Delta t) \boldsymbol{x}_t + g_t\sqrt{\Delta t}\boldsymbol{\varepsilon}_2 \\
\hline
{\begin{array}{c}\int p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}|\boldsymbol{x}_t) \\
p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) d\boldsymbol{x}_t\end{array}} & & {\begin{aligned}&\,\boldsymbol{x}_{t+\Delta t} \\
=&\, (1 + f_t\Delta t) \boldsymbol{x}_t + g_t\sqrt{\Delta t} \boldsymbol{\varepsilon}_2 \\
=&\, (1 + f_t\Delta t) (\bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon}_1) + g_t\sqrt{\Delta t} \boldsymbol{\varepsilon}_2 \\
=&\, (1 + f_t\Delta t) \bar{\alpha}_t \boldsymbol{x}_0 + ((1 + f_t\Delta t)\bar{\beta}_t \boldsymbol{\varepsilon}_1 + g_t\sqrt{\Delta t} \boldsymbol{\varepsilon}_2) \\
\end{aligned}} \\
\hline
\end{array}
由此可得
\begin{equation}\begin{aligned}
\bar{\alpha}_{t+\Delta t} =&\, (1 + f_t\Delta t) \bar{\alpha}_t \\
\bar{\beta}_{t+\Delta t}^2 =&\, (1 + f_t\Delta t)^2\bar{\beta}_t^2 + g_t^2\Delta t
\end{aligned}\end{equation}
令$\Delta t\to 0$，分别解得
\begin{equation}
f_t = \frac{d}{dt} \left(\ln \bar{\alpha}_t\right) = \frac{1}{\bar{\alpha}_t}\frac{d\bar{\alpha}_t}{dt}, \quad g_t^2 = \bar{\alpha}_t^2 \frac{d}{dt}\left(\frac{\bar{\beta}_t^2}{\bar{\alpha}_t^2}\right) = 2\bar{\alpha}_t \bar{\beta}_t \frac{d}{dt}\left(\frac{\bar{\beta}_t}{\bar{\alpha}_t}\right)\end{equation}
取$\bar{\alpha}_t\equiv 1$时，结果就是论文中的VE-SDE（Variance Exploding SDE）；而如果取$\bar{\alpha}_t^2 + \bar{\beta}_t^2=1$时，结果就是原论文中的VP-SDE（Variance Preserving SDE）。

至于损失函数，此时我们可以算得
\begin{equation}\nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{x}_0) = -\frac{\boldsymbol{x}_t - \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0}{\bar{\beta}_t^2}=-\frac{\boldsymbol{\varepsilon}}{\bar{\beta}_t}\end{equation}
第二个等号是因为$\boldsymbol{x}_t = \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}$，为了跟以往的结果对齐，我们设$\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) = -\frac{\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)}{\bar{\beta}_t}$，此时式$\eqref{eq:score-match}$为
\begin{equation}\frac{1}{\bar{\beta}_t^2}\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim \tilde{p}(\boldsymbol{x}_0),\boldsymbol{\varepsilon}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{I})}\left[\left\Vert \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}, t) - \boldsymbol{\varepsilon}\right\Vert^2\right]\end{equation}
忽略系数后就是DDPM的损失函数，而用$-\frac{\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}, t+\Delta t)}{\bar{\beta}_{t+\Delta t}}$替换掉式$\eqref{eq:reverse-sde-discrete}$的$\nabla_{\boldsymbol{x}_{t+\Delta t}}\log p(\boldsymbol{x}_{t+\Delta t})$后，结果与DDPM的采样过程具有相同的一阶近似（意味着$\Delta t\to 0$时两者等价）。

文章小结 #

本文主要介绍了宋飏博士建立的利用SDE理解扩散模型的一般框架，其中包括以尽可能直观的语言推导了反向SDE、得分匹配等结果，并对方程的求解给出了自己的想法。

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