输入梯度惩罚与参数梯度惩罚的一个不等式
By 苏剑林 | 2021-12-11 | 23586位读者 | 引用在本博客中,已经多次讨论过梯度惩罚相关内容了。从形式上来看,梯度惩罚项分为两种,一种是关于输入的梯度惩罚$\Vert\nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x};\boldsymbol{\theta})\Vert^2$,在《对抗训练浅谈:意义、方法和思考(附Keras实现)》、《泛化性乱弹:从随机噪声、梯度惩罚到虚拟对抗训练》等文章中我们讨论过,另一种则是关于参数的梯度惩罚$\Vert\nabla_{\boldsymbol{\theta}} f(\boldsymbol{x};\boldsymbol{\theta})\Vert^2$,在《从动力学角度看优化算法(五):为什么学习率不宜过小?》、《我们真的需要把训练集的损失降低到零吗?》等文章我们讨论过。
在相关文章中,两种梯度惩罚都声称有着提高模型泛化性能的能力,那么两者有没有什么联系呢?笔者从Google最近的一篇论文《The Geometric Occam's Razor Implicit in Deep Learning》学习到了两者的一个不等式,算是部分地回答了这个问题,并且感觉以后可能用得上,在此做个笔记。
最终结果
假设有一个$l$层的MLP模型,记为
\begin{equation}\boldsymbol{h}^{(t+1)} = g^{(t)}(\boldsymbol{W}^{(t)}\boldsymbol{h}^{(t)}+\boldsymbol{b}^{(t)})\end{equation}
其中$g^{(t)}$是当前层的激活函数,$t\in\{1,2,\cdots,l\}$,并记$\boldsymbol{h}^{(1)}$为$\boldsymbol{x}$,即模型的原始输入,为了方便后面的推导,我们记$\boldsymbol{z}^{(t+1)}=\boldsymbol{W}^{(t)}\boldsymbol{h}^{(t)}+\boldsymbol{b}^{(t)}$;参数全体为$\boldsymbol{\theta}=\{\boldsymbol{W}^{(1)},\boldsymbol{b}^{(1)},\boldsymbol{W}^{(2)},\boldsymbol{b}^{(2)},\cdots,\boldsymbol{W}^{(l)},\boldsymbol{b}^{(l)}\}$。设$f$是$\boldsymbol{h}^{(l+1)}$的任意标量函数,那么成立不等式
\begin{equation}\Vert\nabla_{\boldsymbol{x}} f\Vert^2\left(\frac{1 + \Vert \boldsymbol{h}^{(1)}\Vert^2}{\Vert\boldsymbol{W}^{(1)}\Vert^2 \Vert\nabla_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{h}^{(1)}\Vert^2}+\cdots+\frac{1 + \Vert \boldsymbol{h}^{(l)}\Vert^2}{\Vert\boldsymbol{W}^{(l)}\Vert^2 \Vert\nabla_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{h}^{(l)}\Vert^2}\right)\leq \Vert\nabla_{\boldsymbol{\theta}} f\Vert^2\label{eq:f}\end{equation}
SquarePlus:可能是运算最简单的ReLU光滑近似
By 苏剑林 | 2021-12-29 | 39326位读者 | 引用ReLU函数,也就是$\max(x,0)$,是最常见的激活函数之一,然而它在$x=0$处的不可导通常也被视为一个“槽点”。为此,有诸多的光滑近似被提出,比如SoftPlus、GeLU、Swish等,不过这些光滑近似无一例外地至少都使用了指数运算$e^x$(SoftPlus还用到了对数),从“精打细算”的角度来看,计算量还是不小的(虽然当前在GPU加速之下,我们很少去感知这点计算量了)。最近有一篇论文《Squareplus: A Softplus-Like Algebraic Rectifier》提了一个更简单的近似,称为SquarePlus,我们也来讨论讨论。
需要事先指出的是,笔者是不建议大家花太多时间在激活函数的选择和设计上的,所以虽然分享了这篇论文,但主要是提供一个参考结果,并充当一道练习题来给大家“练练手”。
定义
SquarePlus的形式很简单,只用到了加、乘、除和开方:
\begin{equation}\text{SquarePlus}(x)=\frac{x+\sqrt{x^2+b}}{2}\end{equation}
Efficient GlobalPointer:少点参数,多点效果
By 苏剑林 | 2022-01-25 | 121831位读者 | 引用在《GlobalPointer:用统一的方式处理嵌套和非嵌套NER》中,我们提出了名为“GlobalPointer”的token-pair识别模块,当它用于NER时,能统一处理嵌套和非嵌套任务,并在非嵌套场景有着比CRF更快的速度和不逊色于CRF的效果。换言之,就目前的实验结果来看,至少在NER场景,我们可以放心地将CRF替换为GlobalPointer,而不用担心效果和速度上的损失。
在这篇文章中,我们提出GlobalPointer的一个改进版——Efficient GlobalPointer,它主要针对原GlobalPointer参数利用率不高的问题进行改进,明显降低了GlobalPointer的参数量。更有趣的是,多个任务的实验结果显示,参数量更少的Efficient GlobalPointer反而还取得更好的效果。
大量的参数
这里简单回顾一下GlobalPointer,详细介绍则请读者阅读《GlobalPointer:用统一的方式处理嵌套和非嵌套NER》。简单来说,GlobalPointer是基于内积的token-pair识别模块,它可以用于NER场景,因为对于NER来说我们只需要把每一类实体的“(首, 尾)”这样的token-pair识别出来就行了。
GPLinker:基于GlobalPointer的实体关系联合抽取
By 苏剑林 | 2022-01-30 | 119606位读者 | 引用在将近三年前的百度“2019语言与智能技术竞赛”(下称LIC2019)中,笔者提出了一个新的关系抽取模型(参考《基于DGCNN和概率图的轻量级信息抽取模型》),后被进一步发表和命名为“CasRel”,算是当时关系抽取的SOTA。然而,CasRel提出时笔者其实也是首次接触该领域,所以现在看来CasRel仍有诸多不完善之处,笔者后面也有想过要进一步完善它,但也没想到特别好的设计。
后来,笔者提出了GlobalPointer以及近日的Efficient GlobalPointer,感觉有足够的“材料”来构建新的关系抽取模型了。于是笔者从概率图思想出发,参考了CasRel之后的一些SOTA设计,最终得到了一版类似TPLinker的模型。
基础思路
关系抽取乍看之下是三元组$(s,p,o)$(即subject, predicate, object)的抽取,但落到具体实现上,它实际是“五元组”$(s_h,s_t,p,o_h,o_t)$的抽取,其中$s_h,s_t$分别是$s$的首、尾位置,而$o_h,o_t$则分别是$o$的首、尾位置。
指数梯度下降 + 元学习 = 自适应学习率
By 苏剑林 | 2022-03-03 | 30834位读者 | 引用前两天刷到了Google的一篇论文《Step-size Adaptation Using Exponentiated Gradient Updates》,在其中学到了一些新的概念,所以在此记录分享一下。主要的内容有两个,一是非负优化的指数梯度下降,二是基于元学习思想的学习率调整算法,两者都颇有意思,有兴趣的读者也可以了解一下。
指数梯度下降
梯度下降大家可能听说得多了,指的是对于无约束函数$\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})$的最小化,我们用如下格式进行更新:
\begin{equation}\boldsymbol{\theta}_{t+1} = \boldsymbol{\theta}_t - \eta\nabla_{\boldsymbol{\theta}}\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}_t)\end{equation}
其中$\eta$是学习率。然而很多任务并非总是无约束的,对于最简单的非负约束,我们可以改为如下格式更新:
\begin{equation}\boldsymbol{\theta}_{t+1} = \boldsymbol{\theta}_t \odot \exp\left(- \eta\nabla_{\boldsymbol{\theta}}\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}_t)\right)\label{eq:egd}\end{equation}
这里的$\odot$是逐位对应相乘(Hadamard积)。容易看到,只要初始化的$\boldsymbol{\theta}_0$是非负的,那么在整个更新过程中$\boldsymbol{\theta}_t$都会保持非负,这就是用于非负约束优化的“指数梯度下降”。
门控注意力单元(GAU)还需要Warmup吗?
By 苏剑林 | 2022-03-11 | 44910位读者 | 引用在文章《训练1000层的Transformer究竟有什么困难?》发布之后,很快就有读者问到如果将其用到《FLASH:可能是近来最有意思的高效Transformer设计》中的“门控注意力单元(GAU)”,那结果是怎样的?跟标准Transformer的结果有何不同?本文就来讨论这个问题。
先说结论
事实上,GAU是非常容易训练的模型,哪怕我们不加调整地直接使用“Post Norm + Xavier初始化”,也能轻松训练个几十层的GAU,并且还不用Warmup。所以关于标准Transformer的很多训练技巧,到了GAU这里可能就无用武之地了...
为什么GAU能做到这些?很简单,因为在默认设置之下,理论上$\text{GAU}(\boldsymbol{x}_l)$相比$\boldsymbol{x}_l$几乎小了两个数量级,所以
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{l+1} = \text{LN}(\boldsymbol{x}_l + \text{GAU}(\boldsymbol{x}_l))\approx \boldsymbol{x}_l\end{equation}
为什么Pre Norm的效果不如Post Norm?
By 苏剑林 | 2022-03-29 | 97405位读者 | 引用Pre Norm与Post Norm之间的对比是一个“老生常谈”的话题了,本博客就多次讨论过这个问题,比如文章《浅谈Transformer的初始化、参数化与标准化》、《模型优化漫谈:BERT的初始标准差为什么是0.02?》等。目前比较明确的结论是:同一设置之下,Pre Norm结构往往更容易训练,但最终效果通常不如Post Norm。Pre Norm更容易训练好理解,因为它的恒等路径更突出,但为什么它效果反而没那么好呢?
笔者之前也一直没有好的答案,直到前些时间在知乎上看到 @唐翔昊 的一个回复后才“恍然大悟”,原来这个问题竟然有一个非常直观的理解!本文让我们一起来学习一下。
听说Attention与Softmax更配哦~
By 苏剑林 | 2022-04-07 | 76540位读者 | 引用不知道大家留意到一个细节没有,就是当前NLP主流的预训练模式都是在一个固定长度(比如512)上进行,然后直接将预训练好的模型用于不同长度的任务中。大家似乎也没有对这种模式有过怀疑,仿佛模型可以自动泛化到不同长度是一个“理所应当”的能力。
当然,笔者此前同样也没有过类似的质疑,直到前几天笔者做了Base版的GAU实验后才发现GAU的长度泛化能力并不如想象中好。经过进一步分析后,笔者才明白原来这种长度泛化的能力并不是“理所当然”的......
模型回顾
在《FLASH:可能是近来最有意思的高效Transformer设计》中,我们介绍了“门控注意力单元GAU”,它是一种融合了GLU和Attention的新设计。
除了效果,GAU在设计上给我们带来的冲击主要有两点:一是它显示了单头注意力未必就逊色于多头注意力,这奠定了它“快”、“省”的地位;二是它是显示了注意力未必需要Softmax归一化,可以换成简单的$\text{relu}^2$除以序列长度:
\begin{equation}\boldsymbol{A}=\frac{1}{n}\text{relu}^2\left(\frac{\mathcal{Q}(\boldsymbol{Z})\mathcal{K}(\boldsymbol{Z})^{\top}}{\sqrt{s}}\right)=\frac{1}{ns}\text{relu}^2\left(\mathcal{Q}(\boldsymbol{Z})\mathcal{K}(\boldsymbol{Z})^{\top}\right)\end{equation}
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