旋转的弹簧将如何伸长?
By 苏剑林 | 2010-07-30 | 97229位读者 | 引用未来的天地枢纽——太空天梯
By 苏剑林 | 2010-10-22 | 24134位读者 | 引用最近的很多篇文章都是数论内容,属于纯数学的范畴了,对于很多只爱好物理或应用数学的读者可能会看得头晕了。今天我们来谈些不那么抽象的东西,我们来谈谈风筝,并来分析一下风筝的飞行力学。
爱情就像放风筝,线不能来得太紧,也不能拉得太松,你只会给对方飞翔的空间,他/她始终会回到你身边,因为有一条线系着双方。
风筝,在我们这个地方叫做纸鸢,相信大家童年时一定会放过。笔者小时候放风筝时,已经是小学五年级之前的事了。这个暑假突然童心一起,凭着小时候的回忆,简单做了个风筝来玩,居然真的飞起来了!兴奋之余,与大家分享一下。如今再来放风筝,真心感觉到放风筝也有很多技巧,让风筝飞,还不是件容易的事情呢,真可谓人生处处皆学问呀。上面关于风筝的比喻,正是放风筝的真实写照吧。
风筝可以说是人类摆脱地球重力的最原始尝试吧,跟发射宇宙飞船的火箭不同,风筝是借助风力来抵抗重力,严格来讲,即便是现在的飞机,也离不开这个原理(我们最后会谈到)。简单来讲,风筝就是用轻的支架撑开一个轻盈的平面,然后系上一个线圈。我们简单做一个风筝,只需要一张报纸,两条竹篾和一点透明胶,十分钟内就可以完成一个。当然,现在已经有各种各样的好看的风筝,甚至还有龙形的风筝,但是,自己动手简单做一个风筝,还是相当好玩的。
风筝自然是借助风力飞起来的,可是为什么风筝得用绳子牵着才能飞得更高、绳断了反而掉下来?风大多时,才适合放风筝?飞机又是怎么飞起来的?下面我们试着分析这些问题。
【NASA每日一图】猎户座与彗星
By 苏剑林 | 2009-10-03 | 20680位读者 | 引用Linux下的误删大坑与简单的恢复技巧
By 苏剑林 | 2017-07-16 | 29030位读者 | 引用椭圆面积和周长的求法,看上去没有什么区别。不过实际上它们的难度有着天壤之别。
椭圆所包围的面积是$S=\pi ab$,这里的a和b是半长轴和半短轴。仅根据椭圆标准方程就可以推导出来。
目前还没有找到椭圆周长的一般公式,要想精确求解,只有代入以下无穷级数:
$$C=2\pi a [1 - (1/2)^2 (\frac{c}{a})^2 - ({1\cdot 3}/{2\cdot 4})^2{c^4}/{3a^4} - ({1\cdot 3\cdot 5}/{2\cdot 4\cdot 6})^2{c^6}/{5a^6}-...]$$
可以写成:
$$C = 2\pi a \sum_{n=0}^{\infty} { - [\prod_{m=1}^n ({2m-1}/{2m})]^2 {c^{2n}}/{a^{2n}(2n - 1)}}$$
距离c 叫做椭圆的线性离心率,等于从中心到任一焦点的距离
【理解黎曼几何】6. 曲率的计数与计算(Python)
By 苏剑林 | 2016-10-19 | 54357位读者 | 引用曲率的独立分量
黎曼曲率张量是一个非常重要的张量,当且仅当它全部分量为0时,空间才是平直的。它也出现在爱因斯坦的场方程中。总而言之,只要涉及到黎曼几何,黎曼曲率张量就必然是核心内容。
已经看到,黎曼曲率张量有4个指标,这也意味着它有$n^4$个分量,$n$是空间的维数。那么在2、3、4维空间中,它就有16、81、256个分量了,可见,要计算它,是一件相当痛苦的事情。幸好,这个张量有很多的对称性质,使得独立分量的数目大大减少,我们来分析这一点。
首先我们来导出黎曼曲率张量的一些对称性质,这部分内容是跟经典教科书是一致的。定义
$$R_{\mu\alpha\beta\gamma}=g_{\mu\nu}R^{\nu}_{\alpha\beta\gamma} \tag{50} $$
定义这个量的原因,要谈及逆变张量和协变张量的区别,我们这里主要关心几何观,因此略过对张量的详细分析。这个量被称为完全协变的黎曼曲率张量,有时候也直接叫做黎曼曲率张量,只要不至于混淆,一般不做区分。通过略微冗长的代数运算(在一般的微分几何、黎曼几何或者广义相对论教材中都有),可以得到
$$\begin{aligned}&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=-R_{\mu\alpha\gamma\beta}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=-R_{\alpha\mu\beta\gamma}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}=R_{\beta\gamma\mu\alpha}\\
&R_{\mu\alpha\beta\gamma}+R_{\mu\beta\gamma\alpha}+R_{\mu\gamma\alpha\beta}=0
\end{aligned} \tag{51} $$
最近评论