旋转的弹簧将如何伸长?
By 苏剑林 | 2010-07-30 | 105657位读者 |一根均匀的弹簧长度l0,线密度λ
0,劲度系数k,总质量M。现在没有重力的环境下,绕其一端作角速度ω的旋转(角速度恒定),则此时其长度变为多少?
这是网友“宇宙为家”在几天前提出的问题。期间我曾做过多次解答,犯了若干次错误,经过修修补补,得出了最后的答案,在此感谢“宇宙为家”朋友的多次提醒。如果下面的答案依旧有错误,望各位读者发现并指出。
首先要把题目理解清楚,弹簧在旋转前是均匀的,但是旋转后由于不同点受到的“惯性离心力”不同,所以每一部分弹簧必将不均匀地伸长,导致密度不再是常数。由于弹簧变得不均匀,因此以“长度比”来衡量劲度系数比已经不可靠了,应该以“质量比”来表达。设在旋转之后密度函数为λ=λ(r),r是弹簧上的一个横断面到旋转重心O的距离,弹簧上每一点的惯性离心力为dFc=rω2dm=λrω2dr,那么距离圆心为r处的弹簧的断面受到的惯性离心力为Fc=∫lrλrω2dr(注:Fc即Centrifugal force,离心力,这是为了避免与下面的F混淆)。每一段长度为dr弹簧的劲度系数为Mdmk,由于惯性离心力的作用,伸长量为∫lrλrω2drMk/dm=ω2dmMk∫lrλrdr,旋转前这一段的长度为dmλ0,显然这一段的密度为λ=dmdmλ0+ω2dmMk∫lrλrdr=11λ0+ω2Mk∫lrλrdr
请看最后一步,我们已经是列出了关于密度函数的“积分方程”:
λ=11λ0+ω2Mk∫lrλrdr
这是BoJone解答这道题目的关键。对于BoJone来说,解积分方程是很困难的,通过变换,可以将其变为微分方程(其实对BoJone而言,解微分方程也不容易)。
设F=∫lrλrdr,则λ=−dFrdr=−˙Fr,代入原来的方程,得到:
−˙Fr=11λ0+ω2MkF−r=˙Fλ0+ω2MkF˙F
这道微分方程显得如此简单,积分一次就得到:
C−12r2=Fλ0+ω22MkF2
C是积分常数,根据F的定义,可以得出当r=l时,应该有F=0,所以推出:C=12l2,并且从中解出F,得到
F=±√Mkω2(l2−r2)+(Mkω2λ0)2−Mkω2λ0
舍去负值(自己想原因?)
可以计算
λ=−dFrdr=Mkω2√M2k2ω4λ20+Mk(l2−r2)ω2=1√1λ20+ω2(l2−r2)Mk
根据密度函数的定义,应该有
∫l0λdr=∫l0dr√1λ20+ω2(l2−r2)Mk=M
这个积分的结果是
√Mkωarcsin(rω√l2ω2+Mkλ20)
于是我们有
M=√Mkωarcsin(lω√l2ω2+Mkλ20)
为了方便计算,根据arcsin(ab)=arctga√b2−a2,可以将上式变成
M=√Mkωarctg(lωλ0√Mk)
可以解出
l=√Mkλ0ωtg(ω√M/k)=l0⋅1ω√k/Mtg(ω√M/k)
这个答案很漂亮!首先1ω√k/M和ω√M/k)互为倒数,这两个具有对称的美。而且M的量纲是M,k的量纲是MT2,那么√M/k的量纲就是T,而ω的量纲是1/T,那么1ω√k/M和ω√M/k)均是无量纲的量,这与答案的运算过程是自洽的!再者,当ω√M/k−>π/2时,l−>∞,换句话说,ω√M/k不能超过π/2,这给出了衡量弹簧性能的一个参数:ω=π/2√k/M,如果ω越大,那么就说明弹簧“受折腾”能力越强,也就是性能越好!
转载到请包括本文地址:https://spaces.ac.cn/archives/782
更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》
如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。
如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!
如果您需要引用本文,请参考:
苏剑林. (Jul. 30, 2010). 《旋转的弹簧将如何伸长? 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/782
@online{kexuefm-782,
title={旋转的弹簧将如何伸长? },
author={苏剑林},
year={2010},
month={Jul},
url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/782}},
}
May 24th, 2023
为什么应该用质量比来描述劲度系数呢,杨氏模量总该不变,k只与长度有关啊