高考成绩出来了,不是很理想,不能进入很理想的高校。不过不管到了哪里,我都会一直延续我的科学梦,醉心于数学物理研究。昨天志愿填报也完成了,所以高考的事情暂时也告一段落了,接着就等通知了。

接下来的几篇文章可能会探讨一些有趣的轨迹问题,是和圆锥曲线有关的,它们基本都是在高考前两周的时间内完成的。先看最简单的一个,抛物线$y=x^2$内有一条定长为a的弦,求弦的中点轨迹,并探讨轨迹的最低点位置。

抛物线里边的定长弦.PNG

可以设想一个对应的物理模型,一个旋转抛物线形状的大碗,一个筷子在里边滑下来,求中点的轨迹。那么中点的最低点意味着什么呢?根据重力势能的定义,中点最低意味着势能最小,而之前的“势能最小原理”告诉我们势能最小意味着平衡,原来中点最低其实对应着这根筷子的稳定位置。

先来求轨迹。如图,设$A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2)$,结合$y=x^2$,可以列出关系式

$(x_1-x_2)^2+(x_1^2-x_2^2)^2=a^2$

中点的表达式为

$x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{x_1^2+x_2^2}{2}$

这个表达形式要求我们要尽量把距离关系式往$x_1+x_2$和$x_1^2+x_2^2$靠拢,其过程为

$(x_1-x_2)^2[1+(x_1+x_2)^2]=a^2$

$[2(x_1^2+x_2^2)-(x_1+x_2)^2][1+(x_1+x_2)^2]=a^2$

所以轨迹方程就是

$4(y-x^2)(1+4x^2)=a^2$

或者写成$4y=\frac{a^2}{1+4x^2}+4x^2$

现在来探讨轨迹的最低点位置。即求y的最小值,由基本不等式可以得到:

$4y=\frac{a^2}{1+4x^2}+(1+4x^2)-1 \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{1+4x^2}*(1+4x^2)}-1=2a-1$

即$y_min=\frac{2a-1}{4}$,但是有个限制条件,取等号的条件为:$\frac{a^2}{1+4x^2}=1+4x^2$,这要求$a \geq 1$。

当$a \leq 1$时,容易发现x=0的时候取到最小值$y_{min}=\frac{a^2}{4}$。

不同的a值对应的图像如下:

a=0.5时的图像
a=0.5时的图像.gif

a=1时的图像
a=1时的图像.gif

a=2时的图像
a=2时的图像.gif

之前已经说过,最低点就是那根“筷子”的平衡位置。可是受力分析告诉我们,当AB平行于x轴时(水平位置),筷子也是受力平衡的,应该也属于平衡点呀,为什么所求的不是这个点呢?其实一个系统往往有多个平衡位置,但并非每一个平衡位置都是稳定的。稳定的平衡位置在受到轻微干扰后,只会围绕着平衡点轻微地摆动,而不稳定的平衡点在受到轻微干扰,会远远偏离原来状态。比如,我们轻轻地晃动这个碗,那么这个筷子会怎么摆动呢?在原来的位置稍微摆动,意味着它是稳定的;远离原来的位置,到了另外一个位置,意味着它是不稳定的——尽管它们都是受力平衡点。

对于抛物线是$y=kx^2$的形式的轨迹,可以通过换元变成本文的形式,所以不再赘述。一个很容易想到的问题是:将本文的曲线改成是一个椭圆,那么定长弦的中点轨迹又是怎样的?这将在下一篇文章讲到。


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