椭圆坐标系是一种二维正交坐标系。与直角坐标的转换关系为
$x = a cosh \mu cos \nu$
$y = a sinh \mu sin \nu$

其中$(-a,0)$和$(a,0)$是两个焦点。

参看:http://zh.wikipedia.org/wiki/椭圆坐标系

另外,考虑$sin z$,其中$z=x +iy$,有
$sin z= i cos x sinh y + sin x cosh y$

证明:

$2i sinz = e^{iz}-e^{-iz}= e^{ix-y} - e^{-ix+y}$
$= e^(ix-y) - e^(ix+y) + e^(ix+y) - e^(-ix+y)$
$= e^{ix} (e^{-y} - e^y) + e^y (e^{ix} - e^{-ix})$
$= -2 e^{ix} sinh y + 2i e^y sin x$
$= -2 (cos x + i sin x) sinh y + 2i (e^y) sin x$

然后再乘上$-\frac{1}{2}i$:
$sin z = i (cos x + i sin x) sinh y + (e^y) sin x$
$= i cos x sinh y - sin x sinh y + e^y sin x$
$= i cos x sinh y - sin x( sinh y - e^y)$
$= i cos x sinh y - (\frac{e^y - e^{-y} - 2e^y}{2}) sin x $
$= i cos x sinh y + (\frac{e^y + e^{-y}}{2})sin x$
$= i cos x sinh y + sin x cosh y$

证明来源:http://au.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100418003726AAyRTR8

类似的还有
$cos z= -i sin x sinh y + cos x cosh y$
$sinh z=i sin y cosh x + cos y sinh x$
$cosh z=i sin y sinh x + cos y cosh x$(这完全和椭圆坐标系对应起来了)

惊叹它们与椭圆坐标的相似性!

还有一点有趣的东西
$sin iz=i sinh z$
$sinh iz=i sin z$
$cos iz=i cosh z$
$cosh iz= i cos z$
$|sin z|=\sqrt{sin^2 x+sinh^2 y}$
$|cos z|=\sqrt{cos^2 x+sinh^2 y}$
$|sinh z|=\sqrt{sinh^2 x+sin^2 y}$
$|cosh z|=\sqrt{cosh^2 x-sin^2 y}$

参考书籍:

Applied complex variables for scientists and engineers


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