14 Oct

【理解黎曼几何】2. 从勾股定理到黎曼度量

黎曼度量

几何,英文名是Geometry,原意是大地测量。既然是测量,就必须有参考物,还有得知道如何计算距离。

有了参照物,我们就可以建立坐标系,把每个点的坐标都写下来,至于计算距离,我们有伟大的勾股定理:
$$ds^2 = dx^2 + dy^2 \tag{1} $$
但这里我们忽略了两个问题。

第一个问题是,我们不一定使用直角坐标系,如果使用极坐标,那么应该是
$$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 \tag{2} $$
因此可以联想,最一般的形式应该是
$$ds^2 = E(x^1, x^2)(dx^1)^2 + 2F(x^1, x^2)dx^1 dx^2 + G(x^1, x^2)(dx^2)^2 \tag{3} $$
这里的$x^1,x^2$是广义坐标,使用上标而不是下标来标记序号,是为了跟传统的教材记号一致。那这公式是什么意思呢?其实很简单,正如我们没理由要求全世界都使用人民币一样,我们没必要要求世界各地都使用同一个坐标系,而更合理的做法是,每一处地方都使用自己的坐标系(局部坐标系),然后给出当地计算距离的方法。因此,上述公式正是说,在位置$(x^1, x^2)$处计算向量$(dx^1, dx^2)$的长度的公式(当地的勾股定理)是$ds^2 = E(x^1, x^2)(dx^1)^2 + 2F(x_1, x_2)dx^1 dx^2 + G(x^1, x^2)(dx^2)^2$。

点击阅读全文...

14 Oct

【理解黎曼几何】1. 一条几何之路

一个月没更新了,这个月花了不少时间在黎曼几何的理解方面,有一些体会,与大家分享。记得当初孟岩写的《理解矩阵》,和笔者所写的《新理解矩阵》,读者反响都挺不错的,这次沿用了这个名称,称之为《理解黎曼几何》。

生活在二维空间的蚂蚁

生活在二维空间的蚂蚁

黎曼几何是研究内蕴几何的几何分支。通俗来讲,就是我们可能生活在弯曲的空间中,比如一只生活在二维球面的蚂蚁,作为生活在弯曲空间中的个体,我们并没有足够多的智慧去把我们的弯曲嵌入到更高维的空间中去研究,就好比蚂蚁只懂得在球面上爬,不能从“三维空间的曲面”这一观点来认识球面,因为球面就是它们的世界。因此,我们就有了内蕴几何,它告诉我们,即便是身处弯曲空间中,我们依旧能够测量长度、面积、体积等,我们依旧能够算微分、积分,甚至我们能够发现我们的空间是弯曲的!也就是说,身处球面的蚂蚁,只要有足够的智慧,它们就能发现曲面是弯曲的——跟哥伦布环球航行那样——它们朝着一个方向走,最终却回到了起点,这就可以断定它们自身所处的空间必然是弯曲的——这个发现不需要用到三维空间的知识。

点击阅读全文...