13 Nov

意犹未尽——继续光学曲线

《为什么是抛物线?——聚光面研究》这篇文章里头,我们从光学性质出发,推导出了符合该光学性质的曲线为抛物线,同时我们也不禁感到了向量分析的美妙。也许有的读者会意犹未尽:圆锥曲线有三种,文章只介绍了一种。那好,在这篇文章里,我们就从另外两个光学性质出发,推导出符合这两个光学性质的曲线(椭圆、双曲线)。

(注:在下面的描述中,橙色加粗向量表示光线,曲线表示反射面。)

一、从一个点发出的光线经过曲线(面)反射后汇集到另外一个点上。

椭圆的光学性质

椭圆的光学性质

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7 Nov

为什么是抛物线?——聚光面研究

很多读者都知道,反射望远镜、射电望远镜、太阳能集热器等都有一个抛物状的面,它们都是利用了抛物面能将平行射入的光汇聚到一个点(焦点)上的性质。如果问为什么抛物面具有此性质,相信很多高中生都可以利用抛物线的相关知识来证明。但是,如果反过来问:为什么具有此性质的曲面是抛物面?相信会难倒一部分读者。我们来尝试寻找这一曲线(由于对称的原因,这个曲面可以看作由曲线旋转而成,因此我们可以研究曲线)。

世上最大单孔径射电望远镜

世上最大单孔径射电望远镜

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3 Oct

《向量》系列——5.平面向量微分方程与复数

首先我们考虑一个复微分方程
$$\dot{z}=f(z,t)\tag{1}$$如果令$z=x+yi,f(z,t)=f(x+yi,t)=g(x,y,t)+i*h(x,y,t)$,则方程对应于
$$\begin{aligned}\dot{x}=g(x,y,t) \\ \dot{y}=h(x,y,t)\end{aligned}$$
这说明,二元微分方程在一定程度上等价于复微分方程。

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27 Aug

与向量的渊源极深的四元数

当我们在使用向量进行几何、物理研究的时候,是否曾经想到:向量竟然起源于“数”?

当向量还没有发展起来的时候(虽然“有方向有大小的量”很早就被人们认识),复数已经得到了认可并且有了初步应用。当我们把复数跟向量联系起来时,我们也许会认为,因为复平面表示的复数运算与向量有着相似之处,才把复数跟几何联系起来。然而事实却相反,向量是从对复数乃至一种称为“四元数”的东西的研究中逐渐分离出来的。换句话说,历史中出现过“四元数”与向量分别研究几何的阶段,麦克斯韦(Maxwell) 将四元 数的数量部分和矢量部分分开,作为 实 体处理,作了大量的矢量分析。三维矢量分析的建立,及同四元数的正式分裂是18世纪80年代由Gibbs和Heaviside独立完成的。矢量代数被推广到矢量函数和矢量微积分,由此开始了四元数和矢量分析的争论,最终矢量分析占了上风。因而“四元数”渐渐离开了教科书。不过,“四元数”的一些特殊而巧妙的应用,仍然使我们不至于忘记它。

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23 Aug

《向量》系列——4.天旋地转(向量,复数,极坐标)

坐标旋转

坐标旋转

如图,坐标(x,y)绕点(p,q)逆时针旋转θ角后得到坐标(x',y'),求x',y'关于x,y的表达式。

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16 Aug

《方程与宇宙》:拉格朗日点,复数,向量(五)

The New Calculation Of Lagrangian Point 4,5

上一回我们已经求出了拉格朗日点L1,L2,L3,并且希望能够求出L4,L5两个点。由于L4,L5与“地球-太阳”连线已经不共线了,所以前边的方法貌似不能够用了。为了得到一个通用的定义,我们可以采用以下方法来描述拉格朗日点:位于拉格朗日点的天体,它与太阳的连线以及地球与太阳的连线所组成的角的大小是恒定的。(这里为了方便,采用了地日系的拉格朗日点来描述,对于一般的三体问题是一样的)

对于L4,L5来说,我们或许可以设置一个新的向量来描述这两点的向径(如$\vec{R}$)。当我们这样做后,很快就会发现这样会令我们的计算走向死胡同。因为我们发现:已知两个向量的夹角和其中一个向量,我们很难把另一个向量用已知向量的式子表达出来。不能做到这一点,就不能找出$\vec{R}$与$\vec{r}$的关系,就无法联立方程求解。难道,我们这一条路走到尽头了吗?一开始BoJone也冥思苦想不得头绪,但是...

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24 Jul

《向量》系列——3.当天体力学遇到向量(1)

不知道各位读者还记得BoJone在《方程与宇宙》这一章中写了整整三篇文章来学习天体力学中的二体问题吗?虽然对二体问题基本上做了一个描述,但是依旧是冰山一角。而在最近写的几篇文章中,BoJone又强调了“向量”的巨大作用。那么,当天体力学与向量碰头后,会发生什么大事呢?难道,火星撞上了地球?

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18 Jul

《向量》系列——2.曲率半径

圆周是如此地和谐与完美,致使数学家和物理学家对它钟爱有加。几何上可以把一条曲线的局部看做一个圆弧,利用圆的性质去研究它(在数学上,曲率半径的倒数就是曲率,曲率越大,曲线越弯曲);物理学家喜欢把一个质点的曲线运动轨迹的局部看做圆周运动,利用圆周运动的方法来描述这种运动。这两种研究方法都告诉了我们,两种不同的“线”在极小的范围内可以等效的,这也为我们对科学进行探究提供了一点指导思想:把未知变已知,以已知看未知。物理学和数学的两种处理方法中,有一点是殊途同归的:那就是看轨迹看成一个圆后,圆的半径是多少?我们首先得求出它。

在数学分析上可以利用微积分的相关知识来推导曲率半径公式,而BoJone则更偏爱物理方法,通过物理和向量知识的结合,推导出曲率半径公式,让BoJone感到“别有一番风味”。

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