坐标旋转

坐标旋转

如图,坐标(x,y)绕点(p,q)逆时针旋转θ角后得到坐标(x',y'),求x',y'关于x,y的表达式。

之前我们已经讨论过这个问题,在《函数图像旋转公式》一文中,利用解析几何的方法进行了分析。那篇文章是在2月份完成的,那时还没有系统地学习向量和复数的相关知识,现在,BoJone从向量和复数两个角度,给出关于旋转公式的两个证明,仅供参考,如有错误,请指出。

为了把问题化简,我们先做以下平移:

坐标旋转-平移

坐标旋转-平移

这样我们只需讨论旋转中心位于原点的问题。首先我们利用向量来求解。旋转前后的两个点分别用向量表示为A=(xp,yq,0),B=(xp,yq,0),|A|=|B|=R,那么有A×B=(0,0,(xp)(yq)(xp)(yq)),并且
AB=R2cosθ=(xp)(xp)+(yq)(yq)|A×B|=|R2sinθ|=|(xp)(yq)(xp)(yq)|
考虑0<θ<π的情况:
(1)×(yq)+(2)×(xp)得到
(yq)[(yq)2+(xp)2]=R2[(yq)cosθ+(xp)sinθ]yq=(yq)cosθ+(xp)sinθ(1)×(xp)+(2)×(yq)得到
(xp)[(yq)2+(xp)2]=R2[(xp)cosθ(yq)sinθ]xp=(xp)cosθ(yq)sinθ
(3)和(4)就是坐标旋转公式。在π<θ<2π时形式一样。

接下来使用复数解答。我们知道,复数可以用复平面表示,并且两个复数相乘,结果也是复数,其模等于乘数模的积,辐角等于乘数辐角的和。于是我们不妨用z1=(xp)+(yq)i来表示旋转前的点,用z2=(xp)+(yq)i表示旋转后的点。很明显,z2是由z1乘上一个模等于1、辐角为θ的复数,不难得出,这个复数就是cosθ+isinθ。也就是说

[cosθ+(sinθ)i]=(xp)+(yq)i[(xp)cosθ(yq)sinθ]+[(yq)cosθ+(xp)sinθ]i=(xp)+(yq)i

根据复数相等的条件就有
yq=(yq)cosθ+(xp)sinθxp=(xp)cosθ(yq)sinθ

利用复数解答几何问题很重要的一点就是应用复数相等的条件是“实数部分=实数部分,虚数部分=虚数部分”。这样有时可以把问题回归到实数的范畴内,进而利用已知的知识解答。要想把复数更好地应用于几何,还要熟悉复平面的应用,关键是理解复数相关运算的几何意义。

坐标旋转-极坐标

坐标旋转-极坐标

最后看一个利用极坐标的推导,由上图可以看出
xp=rcosf,yq=rsinf,r=(xp)2+(yq)2
并且有
xp=rcos(f+θ)=rcosfcosθrsinfsinθ=(xp)cosθ(yq)sinθyq=rsin(f+θ)=rsinfcosθ+rcosfsinθ=(yq)cosθ+(xp)sinθ

证毕。

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苏剑林. (Aug. 23, 2010). 《《向量》系列——4.天旋地转(向量,复数,极坐标) 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/889

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        title={《向量》系列——4.天旋地转(向量,复数,极坐标)},
        author={苏剑林},
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