《向量》系列——4.天旋地转(向量,复数,极坐标)
By 苏剑林 | 2010-08-23 | 42749位读者 |如图,坐标(x,y)绕点(p,q)逆时针旋转θ角后得到坐标(x',y'),求x',y'关于x,y的表达式。
之前我们已经讨论过这个问题,在《函数图像旋转公式》一文中,利用解析几何的方法进行了分析。那篇文章是在2月份完成的,那时还没有系统地学习向量和复数的相关知识,现在,BoJone从向量和复数两个角度,给出关于旋转公式的两个证明,仅供参考,如有错误,请指出。
为了把问题化简,我们先做以下平移:
这样我们只需讨论旋转中心位于原点的问题。首先我们利用向量来求解。旋转前后的两个点分别用向量表示为→A=(x−p,y−q,0),→B=(x′−p,y′−q,0),|→A|=|→B|=R,那么有→A×→B=(0,0,(x−p)(y′−q)−(x′−p)(y−q)),并且
→A⋅→B=R2cosθ=(x−p)(x′−p)+(y−q)(y′−q)|→A×→B|=|R2sinθ|=|(x−p)(y′−q)−(x′−p)(y−q)|
考虑0<θ<π的情况:
(1)×(y−q)+(2)×(x−p)得到
(y′−q)[(y−q)2+(x−p)2]=R2[(y−q)cosθ+(x−p)sinθ]y′−q=(y−q)cosθ+(x−p)sinθ(1)×(x−p)+(2)×(y−q)得到
(x′−p)[(y−q)2+(x−p)2]=R2[(x−p)cosθ−(y−q)sinθ]x′−p=(x−p)cosθ−(y−q)sinθ
(3)和(4)就是坐标旋转公式。在π<θ<2π时形式一样。
接下来使用复数解答。我们知道,复数可以用复平面表示,并且两个复数相乘,结果也是复数,其模等于乘数模的积,辐角等于乘数辐角的和。于是我们不妨用z1=(x−p)+(y−q)i来表示旋转前的点,用z2=(x′−p)+(y′−q)i表示旋转后的点。很明显,z2是由z1乘上一个模等于1、辐角为θ的复数,不难得出,这个复数就是cosθ+i∗sinθ。也就是说
⋅[cosθ+(sinθ)i]=(x′−p)+(y′−q)i[(x−p)cosθ−(y−q)sinθ]+[(y−q)cosθ+(x−p)sinθ]i=(x′−p)+(y′−q)i
根据复数相等的条件就有
y′−q=(y−q)cosθ+(x−p)sinθx′−p=(x−p)cosθ−(y−q)sinθ
利用复数解答几何问题很重要的一点就是应用复数相等的条件是“实数部分=实数部分,虚数部分=虚数部分”。这样有时可以把问题回归到实数的范畴内,进而利用已知的知识解答。要想把复数更好地应用于几何,还要熟悉复平面的应用,关键是理解复数相关运算的几何意义。
最后看一个利用极坐标的推导,由上图可以看出
x−p=rcosf,y−q=rsinf,r=√(x−p)2+(y−q)2
并且有
x′−p=rcos(f+θ)=rcosfcosθ−rsinfsinθ=(x−p)cosθ−(y−q)sinθy′−q=rsin(f+θ)=rsinfcosθ+rcosfsinθ=(y−q)cosθ+(x−p)sinθ
证毕。
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August 23rd, 2010
大哥你太有才了
October 20th, 2010
很强大
July 31st, 2014
其实有三维空间向量旋转公式的
这篇文章中谈到的吗?
http://kexue.fm/index.php/archives/2224/