科学空间|Scientific Spaces

在数学分析的级数理论中，有一类常见的题目，其中涉及到
$$\cos\theta+\cos 2\theta+\dots+\cos n\theta\tag{1}$$
和
$$\sin\theta+\sin 2\theta+\dots+\sin n\theta\tag{2}$$
之类的正弦或者余弦级数的求和，主要是证明该和式有界。而为了证明这一点，通常是把和式的通项求出来。当然，该级数在物理中也有重要作用，它表示$n$个相同振子的合振幅。在我们的数学分析教材中，通常是将级数乘上一项$\sin\frac{\theta}{2}$，然后利用积化和差公式完成。诚然，如果仅限在实数范围内考虑，这有可能是唯一的推导技巧的。但是这样推导的运算过程本身不简单，而且也不利于记忆，在大二的时候我就为此感到很痛苦。前几天在看费曼的书的时候，想到了一种利用复数的推导技巧。很奇怪，这个技巧是如此简单——写出来显得这篇文章都有点水了——可是我以前居然一直没留意到！看来功力尚浅，需多多修炼呀。

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最近的我的主要学习是在研究路径积分，在推导路径积分的一种新的变换方法（或者是一个新的视角吧），但是有道坎还是迈不过去，因此blog中也一直更新寥寥。说到积分与微分，这两个本是互逆的东西，但是在复数的统一之下，它们两个去可以相互转化。比如说，薛定谔方程是量子力学的微分形式，而路径积分实际上可以说是量子力学的积分形式，这让我有些想法，是不是任何微分形式的数学都存在一个积分形式的版本呢？如果是，是微分版本优还是积分版本优？

在数学分析中，我们会感觉到求导会比求积分容易很多，求导有现成的公式等等。但是微分有个最大的缺点，它是多分量的，比如，势函数是一个标量，但是微分（求梯度）之后就变成了三分量的矢量（即作用力），多分量事实上是不好处理了，为了处理这类问题，又引入了大量的算符。积分的特点在于它的标量性，也许计算很复杂，但是思想确实容易把握的，我更喜欢积分形式的理论（比如作用量原理、路径积分等。）

说到数学分析中常见而又著名的定积分，不得不提到以下三角函数积分了。
$$\int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta d\theta$$
不难证明，它也等于
$$\int_0^{\pi/2} \cos^{2n} \theta d\theta$$

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我们的《数学分析》教程上有两道比较有趣的定积分，经测试可以用费曼积分法的思路解决。

$$\begin{aligned}\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx \\ \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}dx\end{aligned}$$

No.1

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昨天在研究一个最优化问题时，遇到了一个这样的积分：
$$\int \frac{1}{\cos^3 \theta} d\theta$$

然后就顺便研究了一下这种类型的函数的积分。一般来讲，这类积分可以写成$\int cos^n \theta d\theta$或$\int sin^n \theta d\theta$，其中n是一个整数。

首先我们来解决n=1的情况，我们很容易就有$\int cos\theta d\theta=sin\theta +C$或$\int sin\theta d\theta=-cos\theta +C$，这是一个基本的结果。

如果n是大于1的正整数，那么可以用递推的方法来搞定：

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BoJone记得自己第一次接触三角函数大概是小学五、六年级的时候，那时候我拿来了表姐的初中数学书来看。看到三角函数一章后，饶有兴致，希望能够找到一个根据角度来求三角函数值的方法，可是书本上只是教我去用计算器算和查表，这让我这个爱好计算的孩子大失所望。这个问题直到高一才得以解决，原来这已经涉及到了微积分中的泰勒级数了...

我记得为了求任意角度的三角函数值，我曾经根据30°、45°和60°的正弦值拟合过一条近似公式出来：
$$\sin A \approx \sqrt{\frac{A}{60}-1/4}$$

其中A以角度为单位，大致适用于25°~60°，精度好像有两位小数。当然，这个结果在今天看来是很粗糙的，但是这毕竟是我的“小学的作品”！在此留念一翻。

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椭圆坐标系是一种二维正交坐标系。与直角坐标的转换关系为
$$\begin{aligned}x = a \cos h \mu \cos \nu \\ y = a \sin h \mu \sin \nu\end{aligned}$$

其中$(-a,0)$和$(a,0)$是两个焦点。

参看：http://zh.wikipedia.org/wiki/椭圆坐标系

Elliptical_coordinates_grid

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对于解方程，代数学家希望能够从理论上证明解的存在性以及解的求法，所以就有了1到4次方程的求根公式、5次及以上的代数方程没有根式可解等重要理论；然而，通常的学者（如物理学家、天文学家）都不需要这些内容，他们只关心如何尽可能快地求出指定方程的根（尤其是实数根），所以他们通常关注的是方程的数值算法，当然，如果能有一个相对简单的求根公式，也是他们所希望的。而接下来所要介绍的内容，则是满足了这一需要的三次方程的求根公式，其中用到的相当一部分的理论，是与三角函数相关的。

储备

$$\begin{equation}\frac{2}{\tan 2A}=\frac{1}{\tan A}-\tan A\end{equation}$$
$$\begin{equation}\frac{2}{\sin 2A}=\frac{1}{\tan A}+\tan A\end{equation}$$
$$\begin{equation}\cos(3A)=4\cos^3 A-3\cos A\end{equation}$$

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