最近的很多篇文章都是数论内容，属于纯数学的范畴了，对于很多只爱好物理或应用数学的读者可能会看得头晕了。今天我们来谈些不那么抽象的东西，我们来谈谈风筝，并来分析一下风筝的飞行力学。
爱情就像放风筝，线不能来得太紧，也不能拉得太松，你只会给对方飞翔的空间，他/她始终会回到你身边，因为有一条线系着双方。
放风筝（来自互联网）
风筝，在我们这个地方叫做纸鸢，相信大家童年时一定会放过。笔者小时候放风筝时，已经是小学五年级之前的事了。这个暑假突然童心一起，凭着小时候的回忆，简单做了个风筝来玩，居然真的飞起来了！兴奋之余，与大家分享一下。如今再来放风筝，真心感觉到放风筝也有很多技巧，让风筝飞，还不是件容易的事情呢，真可谓人生处处皆学问呀。上面关于风筝的比喻，正是放风筝的真实写照吧。
风筝可以说是人类摆脱地球重力的最原始尝试吧，跟发射宇宙飞船的火箭不同，风筝是借助风力来抵抗重力，严格来讲，即便是现在的飞机，也离不开这个原理（我们最后会谈到）。简单来讲，风筝就是用轻的支架撑开一个轻盈的平面，然后系上一个线圈。我们简单做一个风筝，只需要一张报纸，两条竹篾和一点透明胶，十分钟内就可以完成一个。当然，现在已经有各种各样的好看的风筝，甚至还有龙形的风筝，但是，自己动手简单做一个风筝，还是相当好玩的。
风筝自然是借助风力飞起来的，可是为什么风筝得用绳子牵着才能飞得更高、绳断了反而掉下来？风大多时，才适合放风筝？飞机又是怎么飞起来的？下面我们试着分析这些问题。
10
Oct
从费马大定理谈起（十）：x^3+y^3=z^3+w^3
By 苏剑林 | 2014-10-10 | 23417位读者 | 引用
Ramanujan
在正式开始数学之前，我们不妨先说一个关于印度著名数学天才——拉马努金的轶事。拉马努金病重，哈代前往探望。哈代说：“我乘出租车来，车牌号码是1729，这数真没趣，希望不是不祥之兆。”拉马努金答道：“不，那是个有趣得很的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中，1729是最小的。”（即$1729 = 1^3+12^3 = 9^3+10^3$，后来这类数称为的士数。）利特尔伍德回应这宗轶闻说：“每个整数都是拉马努金的朋友。”（来自维基百科）
从这则轶事中，我们发现，确实存在的某些整数，可以表示为两种不同的立方和，换句话说，不定方程：
$$x^3+y^3=z^3+w^3$$
集合上的一个等价关系决定了几何的一个划分，反之亦然，这直观上是不难理解的。但是，如果我要问一个有$n$个元素的有限集合，共有多少种不同的划分呢？以前感觉这也是一个很简单的问题，就没去细想，但前天抽象代数老师提到这是一个有相当难度的题目，于是研究了一下，发现里面大有文章。这里把我的研究过程简单分享一下，读者可以从中看到如何“从零到有”的过程。
以下假设有$n$个元素的有限集合为$\{1,2,\dots,n\}$，记它的划分数为$B(n)$。
前期：暴力计算
$n=3$的情况不难列出：
$$\begin{aligned}&\{\{1,2,3\}\},\{\{1,2\},\{3\}\},\{\{1,3\},\{2\}\},\\
&\{\{2,3\},\{1\}\},\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\end{aligned}$$
17
Oct
两百万素数之和与“电脑病”
By 苏剑林 | 2014-10-17 | 15023位读者 | 引用原则上来讲，同样的算法，如果分别在Python和C++上实现，那么Python的速度肯定比不上C++的。但是Python还被称为“胶水语言”，它允许我们把主要计算的部分用C或C++等高效的语言编写好，然后它作为“粘合剂”把两者粘合在一起。正因为如此，Python才有了各种各样的扩展库，这些库中有不少是用C语言编写的。因此，我们在编写Python程序的时候，如果可以用这些现成的库，速度会快很多。本文就是用Numpy来改进之前的《两百万前素数之和与前两百万素数之和》的计算。
算法本身是没有变的，只是用了Numpy来处理数组计算，代码如下：
24
Oct
从费马大定理谈起（十一）：有理点与切割线法
By 苏剑林 | 2014-10-24 | 25815位读者 | 引用
圆上的有理点
我们在这个系列的文章之中，探索了一些有关环和域的基本知识，并用整环以及唯一分解性定理证明了费马大定理在n=3和n=4时的情形。使用高斯整数环或者艾森斯坦整数环的相关知识，相对而言是属于近代的比较“高端”的代数内容（高斯生于1777年，艾森斯坦生于1823年，然而艾森斯坦英年早逝，只活到了1852年，高斯还活到了1855年。）。如果“顺利”的话，我们可以用这些“高端”的工具证明解的不存在性，或者求出通解（如果有解的话）。
然而，对于初等数论来讲，复数环和域的知识的门槛还是有点高了。其次，环和域是一个比较“强”的工具。这里的“强”有点“强势”的意味，是指这样的意思：如果它成功的话，它能够“一举破城”，把通解都求出来（或者证明解的不存在）；如果它不成功的话，那么往往就连一点非平凡的解都求不出来。可是，有些问题是求出一部分解都已经很困难了，更不用说求出通解了（我们以后在研究$x^4+y^4 = z^4 + w^4 $的整数解的时候，就能深刻体会这点。）。因此，对于这些问题，单纯用环域的思想，很难给予我们（至少一部分）解。（当然，问题是如何才算是“单纯”，这也很难界定。这里的评论是比较粗糙的。）
25
Oct
从费马大定理谈起（十二）：再谈谈切线法
By 苏剑林 | 2014-10-25 | 24651位读者 | 引用首先谈点题外话，关于本系列以及本博客的写作。其实本博客的写作内容，代表了笔者在这段时间附近的研究成果。也就是说，我此时在写这篇文章，其实表明我这段时间正在研究这个问题。而接下来的研究是否有结果，有怎样的结果，则是完全不知道的。所以，我在写这篇文章的时候，并不确定下一篇文章会写些什么。有些类似的话题，我会放在同一个系列去写。但不管怎样，这些文章可能并不遵循常规的教学或者学习思路，有些内容还可能与主流的思想方法有相当出入，请读者见谅，望大家继续支持！
上一篇我们谈到了切线法来求二次和三次曲线的有理点。切线法在寻找不高于三次的曲线上的有理点是很成功的，可是对于更高次的曲线有没有类似的方法呢？换句话说，有没有推广的可能性。我们从纯代数的角度来回复一下切线法生效的原因。切线法，更一般的是割线法，能够起作用，主要是因为如果有理系数的三次方程有两个有理数的根，那么第三个根肯定是有理数。如果只有一个已知的有理根，那么就可以让两个根重合为已知的那个根，从而割线变成了切线。
28
Oct
在Python中使用GMP（gmpy2）
By 苏剑林 | 2014-10-28 | 64976位读者 | 引用之前笔者曾写过《初试在Python中使用PARI/GP》，简单介绍了一下在Python中调用PARI/GP的方法。PARI/GP是一个比较强大的数论库，“针对数论中的快速计算（大数分解，代数数论，椭圆曲线...）而设计”，它既可以被C/C++或Python之类的编程语言调用，而且它本身又是一种自成一体的脚本语言。而如果仅仅需要高精度的大数运算功能，那么GMP似乎更满足我们的需求。
了解C/C++的读者都会知道GMP（全称是GNU Multiple Precision Arithmetic Library，即GNU高精度算术运算库），它是一个开源的高精度运算库，其中不但有普通的整数、实数、浮点数的高精度运算，还有随机数生成，尤其是提供了非常完备的数论中的运算接口，比如Miller-Rabin素数测试算法、大素数生成、欧几里德算法、求域中元素的逆、Jacobi符号、legendre符号等[来源]。虽然在C/C++中调用GMP并不算复杂，但是如果能在以高开发效率著称的Python中使用GMP，那么无疑是一件快事。这正是本文要说的gmpy2。
12
Nov
实数域上有限维可除代数只有四种
By 苏剑林 | 2014-11-12 | 62468位读者 | 引用今天上近世代数课，老师谈到除环，举了一个非交换的除环的粒子，也就是四元数环，然后谈到“实数域上有限维可除代数只有4种”，也就是实数本身、复数、四元数和八元数（这里的可除代数就是除环）。这句话我听起来有点熟悉，又好像不大对劲。我记得在某本书上看过，定义为实数上的超复数系，如果满足模的积性，那么就只有以上四种。但是老师的那句话表明即使去掉模的积性，也只有四种。我自然以为老师记错了，跟老师辩论了一翻，然后回到宿舍又找资料，最终确定：实数域上有限维可除代数真的只有四种！下面简单谈谈我对这个问题的认识。
当然，这里不可能给出这个命题的证明，因为这个证明相当不简单，笔者目前也没有弄懂，但是粗略感觉一下为什么，还是有可能的。看到这个命题，我们一下子的感觉可能是：怎么会这么少！我们这里通过例子简单说明一下，确实不会多！
我们已经对复数系很熟悉了，也就是定义在实数上的向量空间，基为$\{1,i\}$，并且给定乘法为
$$1\times i=i \times 1=i,\quad 1^2=1,\quad i^2=-1$$
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