从费马大定理谈起(十一):有理点与切割线法
By 苏剑林 | 2014-10-24 | 28922位读者 |我们在这个系列的文章之中,探索了一些有关环和域的基本知识,并用整环以及唯一分解性定理证明了费马大定理在n=3和n=4时的情形。使用高斯整数环或者艾森斯坦整数环的相关知识,相对而言是属于近代的比较“高端”的代数内容(高斯生于1777年,艾森斯坦生于1823年,然而艾森斯坦英年早逝,只活到了1852年,高斯还活到了1855年。)。如果“顺利”的话,我们可以用这些“高端”的工具证明解的不存在性,或者求出通解(如果有解的话)。
然而,对于初等数论来讲,复数环和域的知识的门槛还是有点高了。其次,环和域是一个比较“强”的工具。这里的“强”有点“强势”的意味,是指这样的意思:如果它成功的话,它能够“一举破城”,把通解都求出来(或者证明解的不存在);如果它不成功的话,那么往往就连一点非平凡的解都求不出来。可是,有些问题是求出一部分解都已经很困难了,更不用说求出通解了(我们以后在研究x4+y4=z4+w4的整数解的时候,就能深刻体会这点。)。因此,对于这些问题,单纯用环域的思想,很难给予我们(至少一部分)解。(当然,问题是如何才算是“单纯”,这也很难界定。这里的评论是比较粗糙的。)
而本文要介绍的,则是一种几何式的方法,它可以有效地帮助我们求出某些不定方程的有理点。让人惊奇的是,这个方法不算新颖,甚至已经很“古老”了,因为根据考究,“不定方程之祖”——丢番图就用过它。它是一种求曲线上的有理点的几何技巧。正如我们所看到的,很多不定方程的整数解问题,都可以转化为相应的有理数解问题,于是这个方法也就奏效了。事不宜迟,我们来看看这种方法。(本文的思想来自于《数学及其历史》。)
圆上的有理点 #
首先是割线法,笔者觉得介绍割线法的最好例子,当属勾股数问题了。求不定方程a2+b2=c2的整数解,可以等价地求单位圆x2+y2=1上的有理点问题。而显然的有理点是(±1,0),割线法的目的,就是根据这些显然的有理点,求出一族非平凡的有理点来。其中的思想也不算困难,主要是利用了代数方程的根与系数的关系——韦达定理!
我们过点(−1,0)作一条斜率为k的直线,其方程为
y=k(x+1)
该直线已经和圆x2+y2=1交于(−1),那么它必然跟单位圆有另外一个交点,现在要考虑的问题是:另外一个交点是不是有理点呢?根据韦达定理,不难发现只要k是一个有理数,那么另外一个交点必然也是有理点。这是因为将直线方程代进去后,得到一道一元二次方程
1=x2+k2(x+1)2=(1+k2)x2+2k2x+k2
只要k是有理数,那么方程的系数都是有理数,根据韦达定理,x1+x2=−2k21+k2,一个根是x1=−1,那么另外一个根必然也有有理数,为x2=1−k21+k2,因而另外一个点便是有理点(1−k21+k2,2k1+k2)了。稍加整理,就可以从中得到勾股数组的通式。
三次曲线上的有理点 #
我们之前考虑过x3+y3=z3+w3的整数解问题,我们将它看成是关于x,y的方程,它是三次的,z,w是有理参数,那么它有一个平凡的有理点(x,y)=(z,w)。
类比圆上有理点的求法,如果已知三次曲线上的两个有理点,那么过这两个有理点作一条割线,跟三次曲线交于第三点,那么第三点必然也是有理点。然而,大多数情况是,我们只能知道方程的一个有理点。因此有没有办法只根据一个有理点求出其他的有理点呢?办法还是有的,我们让已知的那两个有理点无限重合,于是割线也就成了切线——换句话说,已知一个有理点,然后在这个有理点处作原曲线的切线,联立切线和原曲线的方程,得到一道有理系数的一元三次方程。这时,已知的那个有理点是三次方程的二重根!那么剩下的第三个根,必然是有理的。下面以求x3+y3=z3+w3的一族解为例,具体展示切线法的技巧。
通过两边求导,可以得到:
3x2+3y2dydx=0
也就可以求出在点(z,w)处有dydx=−z2w2,继而过该点的切线方程是
y=−z2w2(x−z)+w
代进原方程则有
x3+[−z2w2(x−z)+w]3=z3+w3
求得第三个根为(两个重根是w=z)
x=2w3z+z4z3−w3
对应地
y=w4+2wz3w3−z3
因此我们求出了一个二参数的有理数解
(2w3z+z4z3−w3)3+(w4+2wz3w3−z3)3=z3+w3
当然,这个参数解并不能生成所有的有理数解,这从它的二参数可以看出:完整的有理数解至少包含三参数。这是切线法的特点:它通常是有效的,但却是不完全的。很多三次曲线问题都可以类似地求出一族有理解来(前提当然是它有有理解,至少得知道一组特殊的有理解),更具一般性的方程是y2=ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d都是有理数。
y2=ax3+bx2+cx+d的切线结果 #
为了方便后面的应用,这里我们不加推导地给出y2=ax3+bx2+cx+d的结果。有兴趣的朋友可以自行推导,方法跟上面是一样的,只是步骤多了一点,复杂度基本没变;或者参考文末的参考书籍。已知该三次曲线过(x1,y1)和(x2,y2),那么用割线法求得第三个点为
x3=−(x1+x2)−b−[(y2−y1)/(x2−x1)]2a
考虑只有一个点(x1,y1)的情况,也就是将y2−y1x2−x1换成在该点处的导数dydx,也就是
{dydx=3ax21+2bx1+c2y1x2=−2x1−b−[(3ax21+2bx1+c)/(2y1)]2a
莫德尔定理 #
我们通过切线法求出了三次曲线的一批有理点,接下来我们可以施行两个步骤:
1、以这些新的有理点为切点,作切线,然后可以求出另外的一批解;
2、任意选两个有理点,作割线,也可以求出新的有理点。
这两个步骤可以不断重复做下去。问题是,这样我们能得到所有的有理数点吗?
答案是肯定的,这是由庞加莱提出猜想、并由莫德尔(Mordell)所证明的:所有的有理点可以经有限多个点的切线和弦的作图所生成。这再次肯定了切割线法的价值。当然,我们目前还不知道一般化的通过切线、割线的方式得到全体有理点的算法。
谈谈丢番图 #
很难想象上述技巧出现在差不多两千年前,但事实应该如此!
古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家丢番图(Diophantus)(约公元246—330年,据推断和计算而知)在他的著作《算术》(Arithmetica)中,讨论过很多二次曲线和三次曲线上的有理点问题,但是他的方法并没有流传下来。一千多年后,费马也研究过曲线的有理点和整点的问题,并给出了一些断论(或者说是猜想),但费马的研究方法也没有流传开来。而跟费马差不多同一时代的微积分创始人牛顿,则给出了割线法和切线法,并且认为丢番图和费马所用的方法就是切割线法。我们今天是相信这一猜测的,因为不管怎么看,我们求代数曲线上的有理点的其他方法,都比切割线法要“高端”,相对而言,切割线法就是很“平民化”的工具了。其次,古希腊热衷于几何研究,最终得到了切割线法来研究有理点问题,也是很有可能的。
参考书籍 #
《数学及其历史》,作者:John Stillwell,出版社:高等教育出版社
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