科学空间|Scientific Spaces

本文我们来探讨下列积分的极值曲线：
$$S=\int f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}=\int f(x,y)ds$$

这本质上也是一个短程线问题。但是它形式比较简答，物理含义也更加明显。比如，如果$f(x,y)$是势函数的话，那么这就是一个求势能最小的二维问题；如果$f(x,y)$是摩擦力函数，那么这就是寻找摩擦力最小的路径问题。不管是哪一种，该问题都有相当的实用价值。下面将其变分：

$$\begin{aligned} \delta S =&\int \delta[f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}] \\ =&\int [ds\delta f(x,y)+f(x,y)\frac{\delta (dx^2+dy^2)}{2ds}]\\ =&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx d(\delta x)+dy d(\delta y)}{ds} \\=&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx}{ds} d(\delta x)+\frac{dy}{ds} d(\delta y) \end{aligned}$$

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在之前的一些文章中，我们已经谈到过欧拉数学。总体上来讲，欧拉数学就是具有创造性的、直觉性的技巧和方法，这些方法能够推导出一些漂亮的结果，而方法本身却并不严密。然而，在很多情况下，严密与直觉只是一步之遥。接下来要介绍的是我上学期《数学分析》期末考的一道试题，而我解答这道题的灵感来源便是“欧拉数学”。

数列${a_n}$是递增的正数列，求证：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)$收敛等价于${a_n}$收敛。

据说参考答案给出的方法是利用数列的柯西收敛准则，我也没有仔细去看，我在探索自己的更富有直觉型的方法。这就是所谓的“I do not understand what I can not create.”。下面是我的思路。

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今年的天象中的“重头戏”——C/2012 S1 (ISON)彗星将在月底闪亮登场！

ISON_Comet_captured_by_HST,_April_10-11,_2013

先贴出来自scully.cfa.harvard.edu的数据：

Date TT R. A. (2000) Decl. Delta r Elong. Phase m1 m2
2013 11 24 14 45 42.7 -18 53 56 0.8693 0.3002 17.1 104.3 3.0
2013 11 25 15 01 27.3 -20 05 10 0.8819 0.2551 14.3 107.0 2.5
2013 11 26 15 18 04.6 -21 09 58 0.8998 0.2058 11.4 109.3 1.8
2013 11 27 15 35 58.3 -22 05 30 0.9244 0.1502 8.2 110.4 0.7
2013 11 28 15 56 28.2 -22 43 29 0.9594 0.0826 4.6 106.9 -1.3
2013 11 29 16 23 17.5 -19 52 57 0.9762 0.0322 1.8 107.7 -4.5
2013 11 30 16 21 22.4 -16 20 32 0.9125 0.1145 5.3 127.4 -0.2
2013 12 01 16 19 11.8 -13 59 07 0.8681 0.1757 8.1 128.1 1.2
2013 12 02 16 17 23.9 -11 56 02 0.8309 0.2281 10.6 127.3 2.0
2013 12 03 16 15 54.3 -10 00 54 0.7980 0.2754 13.0 126.1 2.5

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如果仅仅从牛顿第二定律的角度来进行变换推导，那么关于力学定律的对偶性的结果无疑仅仅是初等的。对于理论分析来说，更方便的是从做小作用量原理的形式出发，事实上，这种形式计算量也是很少的，甚至比直接代入运动方程变换更加便捷。

上一篇文章中我们讲到，变换$z \mapsto z^2$将一个原点为几何中心的椭圆映射为一个原点为焦点的椭圆，并且相信这种变换可以将胡克定律跟牛顿万有引力定律联系起来。然后就立即给出了变换$w=z^2,d\tau=|z^2|dt$。但是这个变换本身并不显然的，假如我们仅仅发现了$z \mapsto z^2$的几何意义，如何相应地得出$d\tau=|z^2|dt$这个变换呢？本文初步地解决这个问题。

几何作用量

让我们回顾力学的最小作用量原理：
$$ S = \int_{{t_1}}^{{t_2}} L dt = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {(T - U)} dt $$

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最近的我的主要学习是在研究路径积分，在推导路径积分的一种新的变换方法（或者是一个新的视角吧），但是有道坎还是迈不过去，因此blog中也一直更新寥寥。说到积分与微分，这两个本是互逆的东西，但是在复数的统一之下，它们两个去可以相互转化。比如说，薛定谔方程是量子力学的微分形式，而路径积分实际上可以说是量子力学的积分形式，这让我有些想法，是不是任何微分形式的数学都存在一个积分形式的版本呢？如果是，是微分版本优还是积分版本优？

在数学分析中，我们会感觉到求导会比求积分容易很多，求导有现成的公式等等。但是微分有个最大的缺点，它是多分量的，比如，势函数是一个标量，但是微分（求梯度）之后就变成了三分量的矢量（即作用力），多分量事实上是不好处理了，为了处理这类问题，又引入了大量的算符。积分的特点在于它的标量性，也许计算很复杂，但是思想确实容易把握的，我更喜欢积分形式的理论（比如作用量原理、路径积分等。）

说到数学分析中常见而又著名的定积分，不得不提到以下三角函数积分了。
$$\int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta d\theta$$
不难证明，它也等于
$$\int_0^{\pi/2} \cos^{2n} \theta d\theta$$

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快要学期末了，不少学霸开始忙碌起来了。不过对非学霸的我来说，基本上每天都是一样的，希望把自己感兴趣的东西深入研究下去，因为我觉得，真正学会点有用的东西才是最重要的。数学分析和高等代数老师都要求写课程论文，我也写了我比较感兴趣的“欧拉数学”和“超复数研究”，之后会把这部分内容与大家分享。

虽然学期已经接近尾声了，但是我们的课程还没有上完。事实上，我们的新课一直上到十八周~随着考试的接近，我们的《高等代数》课程也已经要落幕了。最近在上的是二次型方面的内容，讲到正定二次型和正定矩阵。关于正定矩阵的判别，教科书上提供了两个判别方法，一个是基于定义的初等变换，另外一个就是主子式法。前者无可厚非，但是后者我似乎难以理解——它虽然是正确的，但是它很丑，计算量又大。我还没有想清楚主子式法到底有什么好的？在我看来，本文所探讨的基于二次方程判别式的方法才是简单、快捷的。

正定二次型
所谓正定二次型，就是关于n个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数，只要$x_i$不全为0，它的值恒为正数。比如
$$2 x_1^2+x_2^2-2 x_1 x_2=x_1^2+(x_2-x_1)^2$$
这是一个比较简单的正定二次型，多元的还有
$$5 x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-8 x_1 x_3-4 x_2 x_3$$

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这是我的数学分析期末小论文，是之前的文章《[欧拉数学]找出严谨的答案》的补充与完善，也是我自己的Latex写作练习。文章举了一些例子来说明通过离散数学连续化为离散命题的证明带来思路。

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通常我们都认为具体的级数是比较容易分析的，而抽象级数则比较难把握思路。抽象级数题目的种类太多，为了熟练解题通常都需要记忆很多形式，而且这些形式通常都很单一，缺乏可拓展性。而运用“欧拉数学”，可以为我们解决数项级数题提供一个独特的、实用性广的思路。

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作为量子理论的一个重要定理，不确定性原理总是伴随着物理意义出现的，但是从数学的角度来讲，把不确定性原理的数学形式抽象出来，有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。

本文中，我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是，不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中，厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵；而所谓厄密矩阵，就是一个矩阵同时取共轭和转置之后，等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况，那就是n维实矩阵，n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。

设$\boldsymbol{x}$是一个$n$维单位向量，即$|\boldsymbol{x}|=1$，而$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中，$\boldsymbol{x}$就是波函数，但是在这里，它只不过是一个单位实向量；并记$\boldsymbol{I}$是$n$阶单位阵。

考虑
$$\bar{A}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\bar{B}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}$$
从这些记号可以看出，这些量对应着可观测量的期望值。当然，如果不懂量子力学，可以只看上面的矩阵形式。

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