14 Apr

流体静力平衡的应用

很早以前我就对这个问题感兴趣了,但是一直搁置着,没有怎么研究。最近在阅读《引力与时空》的“潮汐力”那一节时重新回到了这个问题上,决定写点什么东西。在这里不深究流体静力平衡的定义,顾名思义地理解,它就是流体在某个特定的力场下所达到的平衡状态。流体静力学告诉我们:

达到流体静力平衡时,流体的面必定是一个等势面。

这是为什么呢?我们从数学的角度来简单分析一下:只考虑二维情况,假如等势面方程是$U(x,y)=C$,那么两边微分就有
$$0=dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy=(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y})\cdot (dx,dy)$$

这意味着向量$(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y})$和向量$(dx,dy)$是垂直的,前者便是力的函数,后者就是一个切向量(三维就是一个切平面)。也就是说合外力必然和流体面垂直,这样才能提供一个相等的方向相反的内力让整个结构体系处于平衡状态!

点击阅读全文...

11 May

电的相对论效应——磁“子虚乌有”?

也许大家会觉得,相对论中有一个因子
$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
因此,相对论的效应只有在高速情况下,即v比较接近于c的情况下才会凸显出来。这在一般情况下是正确的,但是却不全对。因为存在相当明显的、速度低于1mm/s的相对论效应——那就是几乎人尽皆知的“磁”。

之前已经提及过,磁场可以解释为电场的相对论效应,因此所有电磁现象都可以归因为电场和相对论。事实上,这是正确的,只是教科书上并没有明确说出这一点而已。于是我们就不难理解“为什么电磁学的麦克斯韦方程组会与相对论协调”、“为什么电场与磁场的表现如此相似”等等问题了,因为它们的探究本身就在相对论的框架下,磁场和电场都是一个东西的结果。

点击阅读全文...

5 Jul

齐次对称多项式初等表示的新尝试

这是我的这学期高等代数课的一个小论文。说到这里,其实我挺喜欢那些不用考试,通过平时考核以及写论文、报告或者做实验的方式来评成绩的方式,毕竟我觉得这才是比较综合地体现了知识和技能的水平(当然更重要的一个原因是我比较喜欢写作啦~~)。我们高等代数有两门课程,一是基本的上课,二是研讨课,分别考核。老师照顾我们,研讨课不用考试,写小论文就行了。Yeah~~

我写的是有关对称多项式的。其实这文章在半个学期之前就酝酿着了,当时刚学到对称多项式的初等表示。所谓初等表示,就是将一个多元对称多项式表示为$\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,...$的组合。其中
$$\begin{aligned}\sigma_1=x_1+x_2+...+x_n \\ \sigma_2=x_1 x_2+x_1 x_3+...+x_1 x_n+x_2 x_3+...+x_{n-1} x_n \\ ... \\ \sigma_n=x_1 x_2 ... x_n\end{aligned}$$
书本上给出了待定系数法,但是每次都要求解方程组,让我甚是烦恼,所以我研究直接展开的方案,最终得出了两种方法。当时也刚好接触着张量的知识,了解到“爱因斯坦求和约定”,于是想充分发挥其威力,就促成了这篇文章。其实我自定义了“方括弧”和“圆括弧”两种运算,都是符号上的简化。两种方法在某种意义上相互补充,笔者自感颇为满意,遂与大家分享。具体内容就不贴出来了,请大家下载pdf文件观看吧。

点击阅读全文...

18 Jul

欢聚兴隆,畅言科普

欢聚兴隆,畅言科普
记信息时代的天文科普研讨会暨第三届宇宙驿站站长联谊会

在信息时代的今天,利用互联网相互交流以及查找各种资讯已经成为了许多天文爱好者的必经之道。同好们也许都浏览过牧夫天文论坛、星友空间站、空间天文网等天文科学网站,事实上,它们都源于一个共同的科普网站群体——宇宙驿站。正如她的名字所言,宇宙驿站是我们一大群天文爱好者在互联网上的“家”,她为我们这群热衷于网络科普的站长免费提供了稳定的网站空间。

宇宙驿站发起于2002年,是国家天文台LAMOST项目之一,迄今已经有近百位站长在上面“安家”。2013年6月28日到6月30日,我们这群站长齐聚兴隆,开展了一次别开生面的会议——“信息时代的天文科普研讨会暨第三届站长联谊会”。

点击阅读全文...

22 Jul

《虚拟的实在(4)》——质量是什么

笔者很少会谈到定义性的东西,原因很简单,因为我也不见得会比大家清楚,或者说也未必比大家所知道的准确。不过,刚刚与同好讨论过与质量相关的问题,就跟大家分享一下。

最初的问题是能量能不能转化为物质,我觉得根据$E=mc^2$,是显然可以的,例子嘛,我首先想到在量子场论中的真空是会不断产生和湮灭正负电子对的,因此这可以作为一个证据。但是这个感觉上太遥远了,所以我在互联网搜索了一下,不过搜到的内容大同小异:

当辐射光子能量足够高时,在它从原子核旁边经过时,在核库仑场作用下,辐射光子可能转化成一个正电子和一个负电子,这种过程称作电子对效应。
正负电子对效应

点击阅读全文...

25 Jul

【翻译】星空之夜:夏季恒星的色彩

笔录:在假期基本上是没有什么机会接触到英语的,平时看的数学物理书一般都是中文版的,因为现在学得还很浅,很少会有非找英语资料不可的时候。不过英语的重要性不言而喻,因此多练习一下还是必须的。突然想起很久没有翻译过文章了,就到《科学美国人》杂志上找了一篇有关夏季星空的小短文来练练笔。在此献丑了。

这个夏天的星空之夜,观星爱好者可以看到恒星发出彩虹般的色彩。
By Joe Rao and SPACE.com

点击阅读全文...

11 Sep

《转山》,动人之旅

转山

转山

刚看完了电影《转山》,挺感动的,总觉得好像不写点东西就对不起这部电影了。

这还需要从上学期选公选课谈起。上学期我选择的公选课是数据库,而体育课则是太极,接近期末考的时候又重新选公选课了,我想选修一门轻松点、惬意点的课程,刚开始是选择了书法,后来看到了“自行车出行与户外旅游”,有点心动,再看上课老师,原来就是我们的太极老师,上了一学期的太极,跟他有些熟悉,也觉得他很好相处,就觉得选择这门课程了。

上一周二是这门课程是第一次课,老师讲得很精彩,而事实上,我唯一能够全程专心听课的就只有两门课程,一门就是这个公选课,另外就是马克思列宁主义(奇怪吧?确实是,马列老师讲得真的很精彩,我几乎没有分过神)。《转山》这部电影也是上公选课的时候老师推荐的,是根据同名小说改编的。大体的情节是一个台湾年轻人,只身踏上骑自行车从丽江到拉萨的旅途。影片描绘了他路上的崎岖行程,描绘了一路上的风土人情,让人颇为深刻。

点击阅读全文...

26 Sep

数学基本技艺(A Mathematical Trivium)

这是Arnold给物理系学生出的基础数学题。原文是Arnold于1991年,在Russian Math Surveys 46:1(1991),271-278上发的一篇文章,英文名叫 A mathematical trivium,这篇文章是有个前言的,用两页纸的内容吐槽了1991年的学生数学学得很烂,尤其是物理系的。文后附了100道数学题,号称是物理系学生的数学底线。

这是给物理系出的数学题,所以和一般的数学竞赛题目不同,没太多证明题,主要就是计算和解模型,而且还有不少近似估算的,带有明显的物理风格。虽然作者说这是物理系学生数学的底线,但即使对于数学系的学生来说,这些题目还是有不少难度的。网络也有一些题目的答案,但是都比较零散。在这里与大家分享一下题目。什么时候有时间了,或者刚好碰到类似的研究,我也会把题目做做,与各位分享。希望有兴趣的朋友做了之后也把答案与大家交流呀。

1

1

点击阅读全文...