科学空间|Scientific Spaces

笔者很少会谈到定义性的东西，原因很简单，因为我也不见得会比大家清楚，或者说也未必比大家所知道的准确。不过，刚刚与同好讨论过与质量相关的问题，就跟大家分享一下。

最初的问题是能量能不能转化为物质，我觉得根据$E=mc^2$，是显然可以的，例子嘛，我首先想到在量子场论中的真空是会不断产生和湮灭正负电子对的，因此这可以作为一个证据。但是这个感觉上太遥远了，所以我在互联网搜索了一下，不过搜到的内容大同小异：

当辐射光子能量足够高时，在它从原子核旁边经过时，在核库仑场作用下，辐射光子可能转化成一个正电子和一个负电子，这种过程称作电子对效应。
（正负电子对效应）

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马里乌斯·索菲斯·李

在这篇日志发表之前，科学空间在整个十月就只是在国庆期间发了一篇小感想，这是比较少见的。一个小原因是这学期社团（广播台）方面的活动有点多，当然这不是主要的，其实这个月我大多数课余时间放到了两件事情上：一是无线电路的入门，二就是本文所要讲的《求解微分方程的李对称方法》。

李对称方法主要是通过发现微分方程的对称性来求解微分方程。我首次接触到这个方法是在一本叫《微分方程与数学物理问题》的书上边，书中写得很清晰易懂，后来我还买了类似的《微分方程的对称与积分方法》，后者相对抽象一些，讨论也深入一些。在我目前发现的中文书籍中，这是唯一的两本以李对称方法求解微分方程为主题的书。这两本书还有一个共同特点，就是它们都是外国教材的翻译版。

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这一周科学空间时断时续的，原因是原来的服务器两个内存条坏了，内存不够用。

后来天文台决定给我们换一台服务器，这两天主要在转移数据，从而不能访问。

目前，基本上已经转移好了，服务器升级工作基本完成。新服务器的升级，CPU从原来的8核升级为48核，内存从16GB升级为64GB。再次感谢国家天文台宇宙驿站给予我们的服务^_^感谢各位技术人员的努力，让我们一起把中文科普事业做得更好~

开水白菜 (1)

如果要用做菜来比喻人生的话，我觉得，人生最高的境界之一便是开水白菜。

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为了拓展整数的概念，我们需要了解关于环和域这两个代数结构，这些知识在网上或者相应的抽象代数教程中都会有。抽象地提出这两个代数结构，是为了一般地处理不同的数环、数域中的性质。在自然数集$\mathbb{N}$中，可以很方便定义和比较两个数字的大小，并且任意一个自然数的子集，都存在最小元素，这两点综合起来，我们就说$\mathbb{N}$是“良序”的（这也是数学归纳法的基础）。在良序的结构中，很多性质的证明变得很简单，比如算术基本定理。然而，一般的数环、数域并没有这样的“良序”，比如任意两个复数就不能比较大小。因此，一般的、不基于良序的思想就显得更为重要了。

环和域

关于环（Ring）的定义，可以参考维基百科上面的“环（代数）”条目。简单来说，环指的是这样一个集合，它的元素之间可以进行加法和乘法，并满足一些必要的性质，比如运算封闭性、加法可交换性等。而数论中大多数情况下研究的是数环，它指的是集合是数集的情况，并且通常来说，元素间的加法和乘法就是普通的数的加法和乘法。比如所有的实整数就构成一个数环$\mathbb{Z}$，这个数环是无限的；所有的偶整数也构成一个数环$2\mathbb{Z}$；对于素数$p$，在模$p$之下，数集$\{0,1,2,\dots,p-1\}$也构成了一个环，更特别的，它还是一个数域。

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现在可以开始$n=3$的证明了。在实整数范围内n=3的证明看起来相当复杂，而且跟n=4的证明似乎没有相通之处。然而，如果我们在$\mathbb{Z}[\omega]$中考虑$x^3+y^3+z^3=0$无解的证明，就会跟n=4时有很多类似的地方，而且事实上证明比n=4时简单（要注意在实整数范围内的证明，n=4比n=3简单。费马完成了n=4的证明，但是没完成n=3的证明。）。我想，正是这样的类似之处，才让当初还没有完成证明的数学家拉梅就自信他从这条路可以完成费马大定理的证明。（不过，这自信却是失败的案例：拉梅的路不能完全走通，而沿着这条路走得更远的当属库默，但即便这样，库默也没有证明费马大定理。）

证明跟$n=4$的第二个证明是类似的。我们先往方程中添加一个单位数，然后证明无论单位数是什么，方程在$\mathbb{Z}[\omega]$中都无解。这是一个很妙的技巧，让我们证明了更多的方程无解，但是却用到了更少的步骤。事实上，存在着只证明$x^3+y^3+z^3=0$无解的证明，但需要非常仔细地分析里边的单位数情况，这是相当麻烦的。本证明是我参考了Fermats last theorem blogspot上的证明，然后结合本系列n=4的第二个证明，简化而来，主要是减少了对单位数的仔细分析。

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是时候了！

前面用好几篇文章为费马大定理的证明铺设了道路，当然，相当于完整的费马大定理证明来说，这几篇文章只不过是沧海一粟而已。不过，它们已经足够用来完成费马大定理在n=4时的证明了。我们很快会看到高斯整数为n=4所带来的简洁的证明，而这让我们坚信，这一道路可以走得更远。

不定方程$x^4+y^4=z^2$在$\mathbb{Z}[i]$中没有全不为0的解。

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今天上近世代数课，老师谈到除环，举了一个非交换的除环的粒子，也就是四元数环，然后谈到“实数域上有限维可除代数只有4种”，也就是实数本身、复数、四元数和八元数（这里的可除代数就是除环）。这句话我听起来有点熟悉，又好像不大对劲。我记得在某本书上看过，定义为实数上的超复数系，如果满足模的积性，那么就只有以上四种。但是老师的那句话表明即使去掉模的积性，也只有四种。我自然以为老师记错了，跟老师辩论了一翻，然后回到宿舍又找资料，最终确定：实数域上有限维可除代数真的只有四种！下面简单谈谈我对这个问题的认识。

当然，这里不可能给出这个命题的证明，因为这个证明相当不简单，笔者目前也没有弄懂，但是粗略感觉一下为什么，还是有可能的。看到这个命题，我们一下子的感觉可能是：怎么会这么少！我们这里通过例子简单说明一下，确实不会多！

我们已经对复数系很熟悉了，也就是定义在实数上的向量空间，基为$\{1,i\}$，并且给定乘法为
$$1\times i=i \times 1=i,\quad 1^2=1,\quad i^2=-1$$

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