科学空间|Scientific Spaces

九月三日BoJone和九个同学到云浮参加了今年广东省的数学竞赛预赛，那一起出发、玩笑、作战、吃饭的情景依然历历在目，让我久久不能忘怀。是呀，能够并肩作战的感觉真好！九日数学成绩出来了，遗憾的是今年政策改变了，我被告知整个市只有三个名额能够参加复赛，于是新兴只有我一个人进入了复赛（另外两个据说是罗定的，我们三个并列第一）。有点无语，我想，大概是要把那些为了功利而参赛的人都给刷下去吧...

今年广东的预赛题前所未有的简单，不论是和全国其他地方相比还是和上一年的题目相比，都简单了不少，但我还是做得不大理想，据我估计，120分的卷子我顶多能够拿个68分，所以BoJone的基本技能实在不容乐观。从云浮考试回来后，和同行的同学讨论试题，得出了一些很有趣的结果，那过程可谓其乐无穷呀！下面是倒数第二题预赛题的几个绝妙解法，供大家欣赏。解法由我和伍泽麒（人称“兔子、神兔”，人如其名，天资聪颖，性格可爱）完成。

题目：

在一条线段中随意选取两个点，把这条线段截成三段，求这三段线段能够组成一个三角形的概率。

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1798年法国数学家勒让德提出：
$$\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$$

这个式子被成为“素数定理”(the Prime Number Theorem, PNT)。它表达的是什么意思呢？其中$\pi(N)$指的是不大于N的素数个数，$\frac{N}{\ln N}$是一个计算结果，符号~叫做“渐近趋于”，整个式子意思就是“不大于N的素数个数渐近趋于$\frac{N}{\ln N}$”；简单来讲，就是说$\frac{N}{\ln N}$是$\pi(N)$的一个近似估计。也许有的读者会问为什么不用≈而用~呢？事实上，~包含的意思还有：
$$\lim_{N-\infty} \frac{\pi(N) \ln N}{N}=1$$

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前言

在之前的一些文章中，我们已经指出过现行教材的一些毛病。比如主次不当（最明显的是那些一上来就讲线性方程组的线性代数教程）、缺乏直观性、缺少引导性等，我想其中最主要的原因可能是过于随大流了，别人怎么编我们也跟着怎么编，缺乏自己的观点和逻辑，因此导致一些常见的毛病就一直流传了下来。也许正因如此，就导致了有那么一种奇怪的现象——明明有一种计算量少的、精确度高一些的方法，教科书几乎从未提及；另外一种计算量稍大、精确度稍低的方法，但每一本同类教科书都讲述了它。不能不说这是一个“未解之谜”......

本文要讲的就是这样的两种方法，它们分别是用来求定积分近似值的“中点矩形法则”和“梯形法则”。对于后者我想绝大多数学习过微积分的朋友都会有印象，它就是那个几乎出现在了所有微积分教材的方法；而前者我相信不少读者都未曾听闻，但让人意外的是，它的计算量稍低，精确度却稍高。本文就简单介绍这两种方法，并且比较它们的精度。而本文的独特之处在于，证明过程沿用了《复分析:可视化方法》的思路，使用几何方法漂亮地估计误差！

我们的目标是在难以精确计算的情况下，通过一定的方法求出$\int_a^b f(x)dx$的近似值，这些方法基本上都是利用了积分即面积的思想。

两种不同的方法

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高斯说过“数学是科学的皇后，而算术则是数学的女王。”这里的“算术”，其实就是我们现在所说的数论。从很小的时候开始，我便对数论情有独钟。虽然后来接触了很多更为有趣的数学分支，但是对数学的热情依然不减。我想，这大概是因为小时候的情结吧。小学时候，小小年纪的我，刚刚学完素数、合数、约数、整除等等概念，对数字尤其有兴趣。我想，在那时候我唯一能够读懂的数学难题只有数论这一领域吧。比如费马大定理，$x^n+y^n=z^n$，对于n大于2没有正整数解，很容易就知道它在讲什么；再比如，哥德巴赫猜想，每个大于4的偶数都可以分拆成两个奇素数之和，也很简单就弄懂它讲的是什么。所以，小小的我看懂了这些问题后就饶有兴致地摆弄数字啦，也许正因为如此，才让我对数字乃至对数学都有深厚的爱。

哥德巴赫猜想，无疑是数论中的一个璀璨明珠，可是目前来讲，它还是可望不可即的。一个看似如此简单的猜想，却困惑了数学家几百年，至今无人能解。尽管如此，我还是愿意细细地研究它，慢慢地品味它，在“论证”、或者说验算它的时候，欣赏到数学那神秘的美妙。本文主要就是研究给定偶数的“哥德巴赫分拆数”，即通过实际验算得出每个偶数分拆为两个素数之和的不同分拆方式的数目，比如6=3+3，只有一种分拆方式；8=3+5=5+3；有两种分拆方式；10=3+7=5+5=7+3，有三种分拆方式；等等。偶数2n的分拆数记为$G_2 (2n)$。

（这里定义的“分拆数”跟网上以及一般文献中的定义不同，这里把3+5和5+3看成是两种分拆方式，而网上一般的定义是只看成一种。我这里的定义的好处在于分拆方式的数目实际表示了分拆中涉及到的所有素数的个数。）

哥德巴赫猜想很难，这话没错，但是事实上哥德巴赫猜想是一个非常弱的命题。它说“每个大于4的偶数至少可以分拆成两个奇素数之和”,用上面的术语来说，就是每个偶数的“哥德巴赫分拆数”大于或等于1。可是经过实际验算发现，偶数越大，它的哥德巴赫分拆数越大，两者整体上是呈正相关关系的，比如$G_2 (100)=12,G_2 (1000)=56,G_2 (10000)=254$......所以，从强弱程度上来讲，这和“少于n的素数至少有一个”是差不多的（当然，难度有天壤之别）。

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虽然文章的大部分内容我都还无法弄懂，但是这里边讲述的振奋人心的内容让我决定把它转载过来。文章说，将大自然的各种力统一起来，或许没有物理学家原来所想的那么困难。

撰文∕ 伯尔尼（Zvi Bern）、狄克森（Lance J. Dixon）寇索尔（David A. Kosower）
翻译∕ 高涌泉（台湾大学物理系教授）
提供/ 科学人（Scientific American繁体中文版）

重点提要

物理学家对于粒子碰撞的了解，最近经历了一场宁静革命。知名物理学家费曼所引入的观念对于很多应用而言已到达极限。作者与合作者已经发展出新的方法。

物理学家利用新方法，可以更可靠地描述在大强子对撞机（LHC）那种极端条件下普通粒子的行为，这将帮助实验学家寻找新粒子与新作用力。

新方法还有更为深刻的应用：它让一种于1980年代被物理学家放弃的统一理论有了新生命，重力看起来像是双份的强核力一起作用。

春天某个晴朗的日子，本文作者狄克森从英国伦敦地铁的茂恩都站进入地铁，想前往希斯洛机场。伦敦地铁每天有300万名乘客，他瞧着其中一位陌生人，无聊地想着：这位老兄会从温布尔登站离开地铁的机率有多大？由于此人可能搭上任何一条地铁路线，所以该如何推算这个机率呢？他想了一会，领悟到这个问题其实跟粒子物理学家所面对的麻烦很像，那就是该如何预测现代高能实验中粒子碰撞的后果。

欧洲核子研究组织（CERN）的大强子对撞机（LHC）是这个时代最重要的探索实验；它让质子以近乎光速前进并相撞，然后研究碰撞后的碎片。我们知道建造对撞机及侦测器得用上最尖端的技术，然而较不为人知的是，解释侦测器的发现同样也是极为困难的挑战。乍看之下，它不应该那么困难才对，因为基本粒子的标准模型早已确立，理论学家也一直用此模型来预测实验的结果，而且理论预测所依赖的是著名物理学家费曼（Richard P. Feynman）早在60多年前就发展出来的计算技巧，每位粒子物理学家在研究生阶段都学过费曼的技巧；关于粒子物理的每本科普书、每篇科普文章，也都借用了费曼的概念。

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=====大学学习=====

上大学已经一个多月了，除去军训的两周和国庆放假的一周，到现在已经是第三周上课了。我是数学专业的，由于是那个勷勤创新班，它希望我们都向研究型数学的方向发展，所以给我们“更多的自由研究时间”，所以课程比一般的班还少一点。由于高中已经对高等数学有个大概的了解，所以一开始让很多同学都喊苦的数学分析、解析几何于我而言都还是比较容易接受的。但从另外一个角度上来讲，我感觉我学得快的原因，倒不全是以前的积累，而是因为个人的学习方式。我不喜欢跟着老师的步伐走，我喜欢而且需要深入地思考和理解一个问题，希冀达到一理通百理明的效果，而不是做完一题紧接着下一题。因为我认为这种竞赛式的学习不能给我们带来实质性的进步，而且有可能抹杀了我们的创造力。

1979年爱因斯坦邮票

没有应用的数学是很枯燥乏味的，数学不能脱离物理、化学等领域。当然“应用”这个词有很广泛的意思，它不一定在实际生活中起到了立竿见影的作用，而是所有在非数学领域中体现了数学之美的例子都可以叫做数学应用，或者有趣的数学。所以，在经历了一两周纯粹地研究数学之后，我感觉我不能再这样下去了，与其零散地涉猎各个方面的知识，倒不如现在开始就系统地学习一些学科以外的科学知识。于是，我决定重拾高中还没有完成的事情——学习相对论和量子力学——所谓现代物理的两大支柱。

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无尽的等待

上个月的最后三天（06.28-06.30），我去国家天文台参加了第三届宇宙驿站的站长联谊会及科普研讨会。会议在河北兴隆天文台举行，我们按照计划是先到北京总部，然后去兴隆，然后回到北京总部解散。具体的故事我会另写文章与大家分享，本文主要想说一下我与北京首都国际机场的“难分难舍”的返程之旅。

按照计划，我是昨晚9点的飞机，今天凌晨应该可以到广州。我七点多到机场，八点左右就办完了登记手续，然而，我们等了两三个钟，最终得到的结果是：由于雷暴雨的影响（北京并没有下雨，估计是途中某个地方的上空天气太糟糕），该航班取消，补到第二天七点......这对我来说可真是个大考验。虽说航空公司会为我们联系宾馆，但是效率之低让不少人在机场抗议，于是乎冰冷的机场一下子就热闹起来的（取消的不知我们一趟航班，还有很多其他航班）。而我虽然来过好几次北京，毕竟还属于“异客”，自然经验不足，但我做出了一个很大胆的决定：在机场过夜！

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快要学期末了，不少学霸开始忙碌起来了。不过对非学霸的我来说，基本上每天都是一样的，希望把自己感兴趣的东西深入研究下去，因为我觉得，真正学会点有用的东西才是最重要的。数学分析和高等代数老师都要求写课程论文，我也写了我比较感兴趣的“欧拉数学”和“超复数研究”，之后会把这部分内容与大家分享。

虽然学期已经接近尾声了，但是我们的课程还没有上完。事实上，我们的新课一直上到十八周~随着考试的接近，我们的《高等代数》课程也已经要落幕了。最近在上的是二次型方面的内容，讲到正定二次型和正定矩阵。关于正定矩阵的判别，教科书上提供了两个判别方法，一个是基于定义的初等变换，另外一个就是主子式法。前者无可厚非，但是后者我似乎难以理解——它虽然是正确的，但是它很丑，计算量又大。我还没有想清楚主子式法到底有什么好的？在我看来，本文所探讨的基于二次方程判别式的方法才是简单、快捷的。

正定二次型
所谓正定二次型，就是关于n个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数，只要$x_i$不全为0，它的值恒为正数。比如
$$2 x_1^2+x_2^2-2 x_1 x_2=x_1^2+(x_2-x_1)^2$$
这是一个比较简单的正定二次型，多元的还有
$$5 x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-8 x_1 x_3-4 x_2 x_3$$

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