4
Mar
我的自主招生成绩公布了
By 苏剑林 | 2012-03-04 | 39554位读者 | 引用
1
May
相对论、对称和第四维
By 苏剑林 | 2012-05-01 | 79229位读者 | 引用这篇文章其实在年初就完成了。
众所周知，我们生活在一个平坦的世界中。正如我们能够感受到的那样，在这个被称为“欧几里得平直空间”的世界里，空间里两点间的最短曲线是两点间的直线段，空间里的任意直角三角形都满足勾股定理，每个物体都有着自己的长、宽、高，它们都随着时间的流逝而运动着。这种世界观把时间独立于空间之外，作为一个独特的研究对象。但是自爱因斯坦在1905年发表狭义相对论以来，我们的宇宙就被描述成为了由三维空间和一维时间组成的“四维时空”，在这里，时间和空间的地位是等价的。不少同好们也许会感到非常困惑：即使证明了时间与空间的确存在着某种联系，也不必要把时间描述成是世界的一维吧？在我们的感官里，时间明明就和空间的三维差别甚大，时间和空间怎么能够等同起来呢？其实答案很简单：为了美。把时间看成与空间等价的一维之后，整个力学体系体现出一种前所未有的对称美，这种美不仅让人赏心悦目，而且极大地方便了我们进一步处理问题。
对称
10
Jun
费曼积分法——积分符号内取微分(1)
By 苏剑林 | 2012-06-10 | 79516位读者 | 引用
12
Jun
费曼积分法——积分符号内取微分(2)
By 苏剑林 | 2012-06-12 | 94612位读者 | 引用上一篇文章我对“费曼积分法”做了一个简单的介绍，并通过举例来初步展示了它的操作步骤。但是，要了解一个方法，除了知道它能够干什么之外，还必须了解它的原理和方法，这样我们才能够更好地掌握它。因此，我们需要建立“积分符号内取微分”的一般理论，为进一步的应用奠基。
一般原理
我们记
$$G(a)=\int_{m(a)}^{n(a)} f(x,a)dx$$
在这里，f(x,a)是带有参数a的关于x的函数，而积分区间是关于参数a的两个函数，这样的积分也叫变限积分，可以理解为是普通定积分的推广。我们记F(x,a)为f(x,a)的原函数，也就是说$\frac{\partial F(x,a)}{\partial x}=f(x,a)$，那么按照微积分基本定理，我们就有：
$$G(a)=F(n(a),a)-F(m(a),a)$$
方轮自行车
你见过正方形轮子的自行车吗？一般认为，只有圆形的车轮才能使我们的车子平稳向前移动，但这只是针对平直道路而言的。谁规定路一定是平的？只要铺好一条适当的道路，正方形车轮的自行车照样可以平稳前行！本文就让我们为方轮自行车铺一条路。
其实，方轮自行车已经不是新鲜玩意了，它早已出现在不少科技馆中。从图片中可以看到，它的特殊轨道是有许多段弧组成的，每一段弧的长度等于正方形的边长。车轮前行时，正方形会保持与弧形相切（确保不会打滑）。这样的路的形状是什么曲线呢？很幸运，它并不十分复杂，而且让人意外的是，它就是我们之前已经研究过的“悬链线”！原来，要设计这样的一个曲线的轨道，不需要多么高深的设计师，只需要我们手拿一条铁链，让它自由垂下......
23
Jun
费曼积分法——积分符号内取微分(3)
By 苏剑林 | 2012-06-23 | 51893位读者 | 引用由于自行车之旅的原因，这篇文章被搁置了一个星期，其实应该在一个星期前就把它写好的。这篇文章继续讲讲费曼积分法的一些例子。读者或许可以从这些不同类型的例子中，发现它应用的基本方向和方法，从而提升对它的认识。
例子2：
$$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx$$
这也是一种比较常见的类型，它的形式为$\int \frac{f(x)}{x}dx$，对于这种形式，我们的第一感觉就是将其改写成参数形式$\int \frac{f(ax)}{x}dx$，这样的目的很简单，就是把分母给消去了，与$\int \frac{x}{f(x)}dx$的求积思想是一致的。但是深入一点研究就会发现，纵使这样能够消去分母，使得第一次积分变得简单，但是到了第二次积分的时候，我们发现，它又会变回$\int \frac{f(x)}{x}dx$的积分，使我们不能继续进行下去，因此这个取参数的方法大多数情况下都是不行的。
26
Jun
费曼积分法——积分符号内取微分(4)
By 苏剑林 | 2012-06-26 | 73182位读者 | 引用趁着早上有空，就赶紧把这篇文章写好吧。下午高考成绩要公布了，公布后也许又会有一段时间忙碌了。这应该是“费曼积分法”系列最后一篇文章了。它主要讲的还是费曼积分法的一个实例。不同的是，这是BoJone首次独立地用费曼积分法解决了一个问题。之前提到的一些例子，都是书本提供并结合了提示，BoJone才把它们算出来的。所以这个问题有着点点纪念意义。
数学研发论坛上wayne曾求证这样的命题：
$\int_0^{\infty}\frac{f(x,2m-1)-\sin x}{x^{2m+1}}dx$其中，f(x,2m-1)表示sinx的2m-1阶泰勒展开
如m=1时，
$$\int_0^{\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}dx$$
m=2时
$$\int_0^{\infty}\frac{x-\frac{x^3}{6}-\sin x}{x^5}dx$$
借助软件我发现结果是：
$\frac{\pi(-1)^{m-1}}{2(2m)!}$
2
Aug
复分析学习1：揭示微分与积分的联系
By 苏剑林 | 2012-08-02 | 34898位读者 | 引用笔者这段时间对复数尤其感兴趣，当然，严格来讲应该是复变函数内容，其中一个原因是通过它，我们可以把一些看似毫不相关的内容联系了起来，体现了数学的简洁美和统一美。我相当有兴趣的其中一个内容是实分析中的泰勒级数和傅里叶级数。这两者都是关于某个函数的级数展开式，其中泰勒级数是用于一般函数展开的，其各项系数通过求n阶导数得到；傅里叶级数的对象是周期函数，其各项系数是通过定积分求得的。在实数世界里，两者毫不相关，但是，复分析却告诉我们：它们只是同一个东西！只是将其在不同的角度“投影”到实数世界里，就产生了不同的“物像”，以至于我们认为它们是不同东西而已。
我们直接来看一个变魔术般的运算：
我们知道，在实数世界里头，我们有
$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$，其中$|x| < 1$
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