科学空间|Scientific Spaces

自《仙剑奇侠传1》开始，BoJone一直都有追看刘亦菲和胡歌的影视作品，尤其是古装片。胡歌版的《神雕英雄传》、《仙剑奇侠传3》连续剧分别只花了4天时间就把它们看完了（有点狂...），还有他的《神话》等。至于刘亦菲，在我的印象里她这两年没有拍过古装片了，上一部好像就是《功夫之王》了，不过这部电影我不大喜欢（有点看不懂...）。不过刘亦菲的几部古装连续剧，如《神雕侠侣》、《天龙八部》还有《仙剑奇侠传1》中的“神仙姐姐”形象颇让人深刻，也许这正是她的清纯气质吧。

倩女幽魂

我记得去年就在广州日报上看到新版《倩女幽魂》的拍摄消息了，一直都有关注其拍摄进度。好像是在本月初就定下4月22日公映了，但事实上提前公映了。据说影迷本对这部影片不抱太大希望，但是上映后人们大都改观了，好评很多，票房也一路飙升。

其实BoJone是不懂得去欣赏一部电影的。只要影片中的情节不是特别地烂，我都觉得影片不错。看了这句话，一些资深影迷基本可以忽略我了，因为本文几乎没有什么可参考的价值。^_^

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大马国油双峰塔

这些日子来，BoJone迷上了两个东西：最小作用量和对称。这两个“东西”在物理学中几乎占据着最重要的地位，前边已经说过，通过最小作用量原理能够构建起当代整个物理学的框架，体现着自然界的“经济头脑”；后者则是守恒的体现，也对应着自然界的“美感”。本文主要是从最简单的层面谈谈对称。

对称的东西很重要，很美。当然，这里所指的是数学上的对称。数学上有很多问题都可以列出对称的式子，而且由于其对称性，因此求解过程一般比不对称的式子简单不少。据说，当代最前沿的物理学框架都是用群论描述的（包括广义相对论），而群论正是用来研究对称的有力工具，可见，对称和对称的方法在实际中有着广泛的应用。（当然本文不讨论群论，关键是BoJone也不懂群论...^_^）

我们先来看二次方程，根据韦达定理，二次方程都可以表达成下面的形式：
$$\begin{aligned}x_1+x_2=a \\ x_1 x_2=b\end{aligned}$$

这是一个多对称的形式！这里的对称体现在将$x_1,x_2$互相替换后方程形式依然不变。如果我们设$x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2$，就可以变成
$$2y_1=a,y_1^2-y_2^2=b$$

这样很快就求出$y_1,y_2$了，继而能够求出方程的两个根。

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之前曾在《自然极值》系列文章中提到过均匀重力场下的悬链线形状问题，并且在那文章中向读者提出：在一个质点（地球）引力场中的悬链线形状会是怎么样的。说实话，提出这个问题的时候，我还不懂怎么解答这个问题，不过现在会了，回头一看，已经几个月了，时间过得真快...

与之前的思路一样，我们依旧采用的是“平衡态公理”，即总势能最小。从天体力学中我们知道，任意两个质点间的势能为$-\frac{Gm_1 m_2}{r}$。对于本题的悬链线问题，我们可以把地球放到坐标原点位置，而悬链的两个固定点分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，链的总长度为l。即
$$\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{dx^2+dy^2}=l$$

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在之前的一篇向量系列的文章中，我们通过结合物理与向量来巧妙地推导出了曲线（包括平面和空间的）的曲率半径为
$$R=\frac{v^2}{a_c}=\frac{|\dot{\vec{r}}|^3}{|\dot{\vec{r}}\times \ddot{\vec{r}}|}\tag{1}$$
曲率则是曲率半径的导数：$\rho=\frac{1}{R}$。我们反过来思考一下：曲率恒定的平面曲线是否只有圆？

答案貌似是很显然的，我们需要证明一下。

由于只是考虑平面情况，我们先设$\dot{\vec{r}}=(v cos\theta,v sin\theta)=z=ve^{i\theta}$，代入(1)得到
$\frac{\dot{\theta}}{v}=\rho$————(2)

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BoJone记得自己第一次接触三角函数大概是小学五、六年级的时候，那时候我拿来了表姐的初中数学书来看。看到三角函数一章后，饶有兴致，希望能够找到一个根据角度来求三角函数值的方法，可是书本上只是教我去用计算器算和查表，这让我这个爱好计算的孩子大失所望。这个问题直到高一才得以解决，原来这已经涉及到了微积分中的泰勒级数了...

我记得为了求任意角度的三角函数值，我曾经根据30°、45°和60°的正弦值拟合过一条近似公式出来：
$$\sin A \approx \sqrt{\frac{A}{60}-1/4}$$

其中A以角度为单位，大致适用于25°~60°，精度好像有两位小数。当然，这个结果在今天看来是很粗糙的，但是这毕竟是我的“小学的作品”！在此留念一翻。

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我们考虑一个球状的星团，并假设它是各向同性的，即距离球心r处的物质密度ρ只与r有关，ρ=ρ(r)。那么，在半径为r的球形区域内的总质量为：
$$M(r)=\int_0^r 4\pi x^2 \rho(x) dx$$

想象有一颗质量比较小的恒星（其实相对于星团总质量，每一颗恒星的质量都很小）在星团的引力作用下运动（就好像太阳系绕着银河系运动一样），且恒星并没有受到其他物质（如星际尘埃等）的阻力。我们之前已经证明过，各向同性的球壳内部的引力是为0的，那么这种情况下的运动就相当于恒星只受到它到球心处的一个球形区域内的质量的引力吸引。根据万有引力定律，选择星团球心为参考系，可以得出
$$\ddot{\vec{r}}=-GM(r)\frac{\vec{r}}{r^3}$$

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前几天刚结束的云浮高二期末考数学试卷中，有一道题目让我比较深刻。因为在当时我无法去证明它，只是用了举例子的方法得出了答案。刚才思考了一下，在此给出证明过程。题目如下：

定义在(0,+∞)的函数f(x)满足$x f'(x) \leq f(x)$，对于任意的0 < a < b，比较$a f(b)$和$b f(a)$的大小。

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转眼间，为期四天的北京大学天文夏令营就已经结束了。载着不舍的情绪，含着怀念的泪光，挥一挥道别的手，营员们各自踏上了自己归家的路。美好的时光总是如箭般飞逝，纵然有万般无奈与不舍，我们依然为能够拥有这段欢聚的宝贵时光而感到满足。是的，不管我们走到哪里，我们都不会忘记我们曾经相聚过，我们始终没有忘记，在星空的底下有一群人和我一样默默凝视着璀璨的银河；我们也一直在憧憬着，下一次天文聚会的到来。

闭上眼睛，相聚的日子仿佛就是昨天，相聚的情景仿佛就在眼前。一切都是那么美好，那么珍贵。

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