科学空间|Scientific Spaces

转载自：matrix67.com

注：这篇文章里有很多个人观点，带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确的，有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。

我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好者，只是比一般的爱好者更加执着，更加疯狂罢了。初中、高中一路保送，大学不在数学专业，这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识，让我对数学有如此浓厚的兴趣。从 05 年建立这个 Blog 以来，每看到一个惊人的结论或者美妙的证明，我再忙都会花时间把它记录下来，生怕自己忘掉。不过，我深知，这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本谈不上数学之美，数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。

我多次跟人说起，我的人生理想就是，希望有一天能学完数学中的各个分支，然后站在一个至高点，俯瞰整个数学领域，真正体会到数学之美。但是，想要实现这一点是很困难的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本？这就是我今天想说的——课本极其不靠谱。

点击阅读全文...

在科学空间所转载的上两篇文章中，matrix67和范翔都表达了他们对大多数现行（数学&物理）教材的不满和对编写教材的一些建议。今天，BoJone也来发发牢骚，说说教材。

首先得说明下，目前BoJone只是一个高二生，或者说，是一个爱好数学、物理的高中生，因此本文所描写的观点仅仅是个人的看法，而且应该带有诸多的不成熟看法。不论如何，谨在此提出，欢迎讨论。

BoJone认为，人类都有着追求利益的倾向，要是一样东西能够对我们有“好处”，给我们带来方便，那么我们就很乐意去拥有它，或者去学习它。数学、物理理论也应当如此，当教材编写者想要引入一个新概念或介绍一个新理论、方法时，首先要做的并不是如何从严格上定义、推导、证明、最后才去应用，而相反，他们应该要大书特书引入新概念和方法后有什么“好处”。只有了解到了它的用处之后，读者才会有明确的目的和足够的心思去进一步的学习。这一步对于一些抽象的理论的学习是很重要的，要不然，那么繁琐、枯燥的推理证明过程会抹杀掉绝大多数人的信心，纵使后来“终于”弄懂了它的用处，也兴趣倍减。说到这里，就不得不批评一下人教版数学选修教材中的一个很让人反感的做法，在《选修2-2》中它引入了复数，但仅仅简单交待了复数的加减乘除运算和模等定义后就了事，对于复数的一些精华，比如复数乘法代表着坐标旋转等，则全然不提，这样的“复数”有何意义呢？有同学问我：“学复数有什么用？”我只能回答：“就目前来说，复数的唯一作用就是增加了我们高考的负担。”

点击阅读全文...

自《仙剑奇侠传1》开始，BoJone一直都有追看刘亦菲和胡歌的影视作品，尤其是古装片。胡歌版的《神雕英雄传》、《仙剑奇侠传3》连续剧分别只花了4天时间就把它们看完了（有点狂...），还有他的《神话》等。至于刘亦菲，在我的印象里她这两年没有拍过古装片了，上一部好像就是《功夫之王》了，不过这部电影我不大喜欢（有点看不懂...）。不过刘亦菲的几部古装连续剧，如《神雕侠侣》、《天龙八部》还有《仙剑奇侠传1》中的“神仙姐姐”形象颇让人深刻，也许这正是她的清纯气质吧。

倩女幽魂

我记得去年就在广州日报上看到新版《倩女幽魂》的拍摄消息了，一直都有关注其拍摄进度。好像是在本月初就定下4月22日公映了，但事实上提前公映了。据说影迷本对这部影片不抱太大希望，但是上映后人们大都改观了，好评很多，票房也一路飙升。

其实BoJone是不懂得去欣赏一部电影的。只要影片中的情节不是特别地烂，我都觉得影片不错。看了这句话，一些资深影迷基本可以忽略我了，因为本文几乎没有什么可参考的价值。^_^

点击阅读全文...

大马国油双峰塔

这些日子来，BoJone迷上了两个东西：最小作用量和对称。这两个“东西”在物理学中几乎占据着最重要的地位，前边已经说过，通过最小作用量原理能够构建起当代整个物理学的框架，体现着自然界的“经济头脑”；后者则是守恒的体现，也对应着自然界的“美感”。本文主要是从最简单的层面谈谈对称。

对称的东西很重要，很美。当然，这里所指的是数学上的对称。数学上有很多问题都可以列出对称的式子，而且由于其对称性，因此求解过程一般比不对称的式子简单不少。据说，当代最前沿的物理学框架都是用群论描述的（包括广义相对论），而群论正是用来研究对称的有力工具，可见，对称和对称的方法在实际中有着广泛的应用。（当然本文不讨论群论，关键是BoJone也不懂群论...^_^）

我们先来看二次方程，根据韦达定理，二次方程都可以表达成下面的形式：
$$\begin{aligned}x_1+x_2=a \\ x_1 x_2=b\end{aligned}$$

这是一个多对称的形式！这里的对称体现在将$x_1,x_2$互相替换后方程形式依然不变。如果我们设$x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2$，就可以变成
$$2y_1=a,y_1^2-y_2^2=b$$

这样很快就求出$y_1,y_2$了，继而能够求出方程的两个根。

点击阅读全文...

之前曾在《自然极值》系列文章中提到过均匀重力场下的悬链线形状问题，并且在那文章中向读者提出：在一个质点（地球）引力场中的悬链线形状会是怎么样的。说实话，提出这个问题的时候，我还不懂怎么解答这个问题，不过现在会了，回头一看，已经几个月了，时间过得真快...

与之前的思路一样，我们依旧采用的是“平衡态公理”，即总势能最小。从天体力学中我们知道，任意两个质点间的势能为$-\frac{Gm_1 m_2}{r}$。对于本题的悬链线问题，我们可以把地球放到坐标原点位置，而悬链的两个固定点分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，链的总长度为l。即
$$\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{dx^2+dy^2}=l$$

点击阅读全文...

在之前的一篇向量系列的文章中，我们通过结合物理与向量来巧妙地推导出了曲线（包括平面和空间的）的曲率半径为
$$R=\frac{v^2}{a_c}=\frac{|\dot{\vec{r}}|^3}{|\dot{\vec{r}}\times \ddot{\vec{r}}|}\tag{1}$$
曲率则是曲率半径的导数：$\rho=\frac{1}{R}$。我们反过来思考一下：曲率恒定的平面曲线是否只有圆？

答案貌似是很显然的，我们需要证明一下。

由于只是考虑平面情况，我们先设$\dot{\vec{r}}=(v cos\theta,v sin\theta)=z=ve^{i\theta}$，代入(1)得到
$\frac{\dot{\theta}}{v}=\rho$————(2)

点击阅读全文...

BoJone记得自己第一次接触三角函数大概是小学五、六年级的时候，那时候我拿来了表姐的初中数学书来看。看到三角函数一章后，饶有兴致，希望能够找到一个根据角度来求三角函数值的方法，可是书本上只是教我去用计算器算和查表，这让我这个爱好计算的孩子大失所望。这个问题直到高一才得以解决，原来这已经涉及到了微积分中的泰勒级数了...

我记得为了求任意角度的三角函数值，我曾经根据30°、45°和60°的正弦值拟合过一条近似公式出来：
$$\sin A \approx \sqrt{\frac{A}{60}-1/4}$$

其中A以角度为单位，大致适用于25°~60°，精度好像有两位小数。当然，这个结果在今天看来是很粗糙的，但是这毕竟是我的“小学的作品”！在此留念一翻。

点击阅读全文...

我们考虑一个球状的星团，并假设它是各向同性的，即距离球心r处的物质密度ρ只与r有关，ρ=ρ(r)。那么，在半径为r的球形区域内的总质量为：
$$M(r)=\int_0^r 4\pi x^2 \rho(x) dx$$

想象有一颗质量比较小的恒星（其实相对于星团总质量，每一颗恒星的质量都很小）在星团的引力作用下运动（就好像太阳系绕着银河系运动一样），且恒星并没有受到其他物质（如星际尘埃等）的阻力。我们之前已经证明过，各向同性的球壳内部的引力是为0的，那么这种情况下的运动就相当于恒星只受到它到球心处的一个球形区域内的质量的引力吸引。根据万有引力定律，选择星团球心为参考系，可以得出
$$\ddot{\vec{r}}=-GM(r)\frac{\vec{r}}{r^3}$$

点击阅读全文...