从费马大定理谈起(三):高斯整数
By 苏剑林 | 2014-08-16 | 41359位读者 | 引用为了拓展整数的概念,我们需要了解关于环和域这两个代数结构,这些知识在网上或者相应的抽象代数教程中都会有。抽象地提出这两个代数结构,是为了一般地处理不同的数环、数域中的性质。在自然数集$\mathbb{N}$中,可以很方便定义和比较两个数字的大小,并且任意一个自然数的子集,都存在最小元素,这两点综合起来,我们就说$\mathbb{N}$是“良序”的(这也是数学归纳法的基础)。在良序的结构中,很多性质的证明变得很简单,比如算术基本定理。然而,一般的数环、数域并没有这样的“良序”,比如任意两个复数就不能比较大小。因此,一般的、不基于良序的思想就显得更为重要了。
环和域
关于环(Ring)的定义,可以参考维基百科上面的“环(代数)”条目。简单来说,环指的是这样一个集合,它的元素之间可以进行加法和乘法,并满足一些必要的性质,比如运算封闭性、加法可交换性等。而数论中大多数情况下研究的是数环,它指的是集合是数集的情况,并且通常来说,元素间的加法和乘法就是普通的数的加法和乘法。比如所有的实整数就构成一个数环$\mathbb{Z}$,这个数环是无限的;所有的偶整数也构成一个数环$2\mathbb{Z}$;对于素数$p$,在模$p$之下,数集$\{0,1,2,\dots,p-1\}$也构成了一个环,更特别的,它还是一个数域。
Mathieu方程
在文章《有质动力:倒立单摆的稳定性》中,我们分析了通过高频低幅振荡来使得倒立单摆稳定的可能性,并且得出了运动方程
$$l\ddot{\theta}+[h_0 \omega^2 \cos(\omega t)-g]\sin\theta=0$$
由此对单摆频率的下限提出了要求$\omega \gg \sqrt{\frac{g}{h_0}}$。然而,那个下限只不过是必要的,却不是充分的。如果要完整地分析该单摆的运动方程,最理想的方法当然是写出上述常微分方程的解析解。不过很遗憾,我们并没有办法做到这一点。我们只能够采取各种近似方法来求解。近似方法一般指数值计算方法,然后笔者偏爱的是解析方法,也就是说,即使是近似解,也希望能够求出近似的解析解。
趣题:与橡皮绳赛跑的蚂蚁
By 苏剑林 | 2014-04-09 | 28013位读者 | 引用用PyPy提高Python脚本执行效率
By 苏剑林 | 2014-06-11 | 21818位读者 | 引用在《两百万前素数之和与前两百万素数之和》中,我们用Python求了前两百万的素数和以及两百万前的素数和,并且得到了在Python 3.3中的执行时间如下:
两百万前的素数之和:
142913828922
time: 2.4048174478605646前两百万的素数之和:
31381137530481
time: 46.75734807838953
于是想办法提高python脚本的执行效率,我觉得在算法方面,优化空间已经比较小了,于是考虑执行器上的优化。在搜索的无意间我看到了一个名词——Psyco!这是python的一个外部模块,导入后可以加快.py脚本的执行。网上也有《用 Psyco 让 Python 运行得像 C一样快》、《利用 psyco 让 Python 程序执行更快》之类的文章,说明Psyco确实是一个可行的选择,于是就跃跃欲试了,后来了解到Psyco在2012年已经停止开发,只支持到Python 2.4版本,目前它由 PyPy所接替。于是我就下载了PyPy。
如何看费曼的讲义和朗道的教程?
By 苏剑林 | 2014-03-25 | 56317位读者 | 引用事实上,取这个标题,有点狂妄自大、班门弄斧的感觉。原因之一是我自己并非物理专业学生,也没有学好物理。再者,我自己也没有读过多少费曼和朗道的书,谈不上“饱读”费曼朗道,又何以指导大家呢?本文很荣幸得到了高教社的王超编辑(新浪微博 @朗道集结号 )在微信上的推荐,在此表示十分的感谢。
朗道集结号
朗道、费曼、薛定谔、泡利、狄拉克、温伯格……大师在这里等着你,微信号:ldjjhwx
但是,结合自己在阅读他们的著作的感受,以及自己学习科学的过程,谈谈我对他们的著作的看法。
什么才是最简洁的方式?
相信不少读者觉得朗道的教程比费曼的讲义要深,感觉朗道的书总有大量的数学公式,而费曼的书则轻松一些。笔者开始也有这样的感觉,但是慢慢读下去,才感到费曼的书甚至比朗道的困难。
在进入讨论之前,我们不妨先想一下:什么才是理解物理的最简洁方式?数学越复杂,就越不好吗?
[问题解答]运煤车的最大路程(更正)
By 苏剑林 | 2014-05-04 | 36710位读者 | 引用两百万前素数之和与前两百万素数之和
By 苏剑林 | 2014-06-10 | 61036位读者 | 引用从费马大定理谈起(二):勾股数
By 苏剑林 | 2014-08-15 | 24919位读者 | 引用费马大定理说的是$n > 2$的情况,但是我们可以从$n=2$出发,求解到勾股数组的一般表达式,并且从中得到证明费马大定理的原始思想。
互质解
我们在实整数,也就是$\mathbb{Z}$内求解。为了求解不定方程$x^2+y^2=z^2$,首先我们注意到,这是一道齐次方程,这告诉我们,如果存在某一组解,那么可以通过同除以公约数的方法,得到一组两两互质的解。换句话说,有解必有互质解,这是$x^n+y^n=z^n$的解的通性。那么,我们假设$(x,y,z)=(a,b,c)$ 是方程$x^2+y^2=z^2$的一个互质解。
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