生成扩散模型漫谈(一):DDPM = 拆楼 + 建楼
By 苏剑林 | 2022-06-13 | 385513位读者 |说到生成模型,VAE、GAN可谓是“如雷贯耳”,本站也有过多次分享。此外,还有一些比较小众的选择,如flow模型、VQ-VAE等,也颇有人气,尤其是VQ-VAE及其变体VQ-GAN,近期已经逐渐发展到“图像的Tokenizer”的地位,用来直接调用NLP的各种预训练方法。除了这些之外,还有一个本来更小众的选择——扩散模型(Diffusion Models)——正在生成模型领域“异军突起”,当前最先进的两个文本生成图像——OpenAI的DALL·E 2和Google的Imagen,都是基于扩散模型来完成的。
从本文开始,我们开一个新坑,逐渐介绍一下近两年关于生成扩散模型的一些进展。据说生成扩散模型以数学复杂闻名,似乎比VAE、GAN要难理解得多,是否真的如此?扩散模型真的做不到一个“大白话”的理解?让我们拭目以待。
新的起点 #
其实我们在之前的文章《能量视角下的GAN模型(三):生成模型=能量模型》、《从去噪自编码器到生成模型》也简单介绍过扩散模型。说到扩散模型,一般的文章都会提到能量模型(Energy-based Models)、得分匹配(Score Matching)、朗之万方程(Langevin Equation)等等,简单来说,是通过得分匹配等技术来训练能量模型,然后通过郎之万方程来执行从能量模型的采样。
从理论上来讲,这是一套很成熟的方案,原则上可以实现任何连续型对象(语音、图像等)的生成和采样。但从实践角度来看,能量函数的训练是一件很艰难的事情,尤其是数据维度比较大(比如高分辨率图像)时,很难训练出完备能量函数来;另一方面,通过朗之万方程从能量模型的采样也有很大的不确定性,得到的往往是带有噪声的采样结果。所以很长时间以来,这种传统路径的扩散模型只是在比较低分辨率的图像上做实验。
如今生成扩散模型的大火,则是始于2020年所提出的DDPM(Denoising Diffusion Probabilistic Model),虽然也用了“扩散模型”这个名字,但事实上除了采样过程的形式有一定的相似之外,DDPM与传统基于朗之万方程采样的扩散模型可以说完全不一样,这完全是一个新的起点、新的篇章。
准确来说,DDPM叫“渐变模型”更为准确一些,扩散模型这一名字反而容易造成理解上的误解,传统扩散模型的能量模型、得分匹配、朗之万方程等概念,其实跟DDPM及其后续变体都没什么关系。有意思的是,DDPM的数学框架其实在ICML2015的论文《Deep Unsupervised Learning using Nonequilibrium Thermodynamics》就已经完成了,但DDPM是首次将它在高分辨率图像生成上调试出来了,从而引导出了后面的火热。由此可见,一个模型的诞生和流行,往往还需要时间和机遇,
拆楼建楼 #
很多文章在介绍DDPM时,上来就引入转移分布,接着就是变分推断,一堆数学记号下来,先吓跑了一群人(当然,从这种介绍我们可以再次看出,DDPM实际上是VAE而不是扩散模型),再加之人们对传统扩散模型的固有印象,所以就形成了“需要很高深的数学知识”的错觉。事实上,DDPM也可以有一种很“大白话”的理解,它并不比有着“造假-鉴别”通俗类比的GAN更难。
首先,我们想要做一个像GAN那样的生成模型,它实际上是将一个随机噪声$\boldsymbol{z}$变换成一个数据样本$\boldsymbol{x}$的过程:
\begin{equation}\require{AMScd}\begin{CD}
\text{随机噪声}\boldsymbol{z}\quad @>\quad\text{变换}\quad>> \quad\text{样本数据}\boldsymbol{x}\\
@V \text{类比} VV @VV \text{类比} V\\
\text{砖瓦水泥}\quad @>\quad\text{建设}\quad>> \quad\text{高楼大厦}\\
\end{CD}\end{equation}
我们可以将这个过程想象为“建设”,其中随机噪声$\boldsymbol{z}$是砖瓦水泥等原材料,样本数据$\boldsymbol{x}$是高楼大厦,所以生成模型就是一支用原材料建设高楼大厦的施工队。
这个过程肯定很难的,所以才有了那么多关于生成模型的研究。但俗话说“破坏容易建设难”,建楼你不会,拆楼你总会了吧?我们考虑将高楼大厦一步步地拆为砖瓦水泥的过程:设$\boldsymbol{x}_0$为建好的高楼大厦(数据样本),$\boldsymbol{x}_T$为拆好的砖瓦水泥(随机噪声),假设“拆楼”需要$T$步,整个过程可以表示为
\begin{equation}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_0 \to \boldsymbol{x}_1 \to \boldsymbol{x}_2 \to \cdots \to \boldsymbol{x}_{T-1} \to \boldsymbol{x}_T = \boldsymbol{z}\end{equation}
建高楼大厦的难度在于,从原材料$\boldsymbol{x}_T$到最终高楼大厦$\boldsymbol{x}_0$的跨度过大,普通人很难理解$\boldsymbol{x}_T$是怎么一下子变成$\boldsymbol{x}_0$的。但是,当我们有了“拆楼”的中间过程$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_T$后,我们知道$\boldsymbol{x}_{t-1} \to \boldsymbol{x}_t$代表着拆楼的一步,那么反过来$\boldsymbol{x}_t\to \boldsymbol{x}_{t-1}$不就是建楼的一步?如果我们能学会两者之间的变换关系$\boldsymbol{x}_{t-1}=\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)$,那么从$\boldsymbol{x}_T$出发,反复地执行$\boldsymbol{x}_{T-1}=\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_T)$、$\boldsymbol{x}_{T-2}=\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_{T-1})$、...,最终不就能造出高楼大厦$\boldsymbol{x}_0$出来?
该怎么拆 #
正所谓“饭要一口一口地吃”,楼也要一步一步地建,DDPM做生成模型的过程,其实跟上述“拆楼-建楼”的类比是完全一致的,它也是先反过来构建一个从数据样本渐变到随机噪声的过程,然后再考虑其逆变换,通过反复执行逆变换来完成数据样本的生成,所以本文前面才说DDPM这种做法其实应该更准确地称为“渐变模型”而不是“扩散模型”。
具体来说,DDPM将“拆楼”的过程建模为
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = \alpha_t \boldsymbol{x}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t,\quad \boldsymbol{\varepsilon}_t\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})\label{eq:forward}\end{equation}
其中有$\alpha_t,\beta_t > 0$且$\alpha_t^2 + \beta_t^2=1$,$\beta_t$通常很接近于0,代表着单步“拆楼”中对原来楼体的破坏程度,噪声$\boldsymbol{\varepsilon}_t$的引入代表着对原始信号的一种破坏,我们也可以将它理解为“原材料”,即每一步“拆楼”中我们都将$\boldsymbol{x}_{t-1}$拆解为“$\alpha_t \boldsymbol{x}_{t-1}$的楼体 + $\beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t$的原料”。(提示:本文$\alpha_t,\beta_t$的定义跟原论文不一样。)
反复执行这个拆楼的步骤,我们可以得到:
\begin{equation}\begin{aligned}
\boldsymbol{x}_t =&\, \alpha_t \boldsymbol{x}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t \\
=&\, \alpha_t \big(\alpha_{t-1} \boldsymbol{x}_{t-2} + \beta_{t-1} \boldsymbol{\varepsilon}_{t-1}\big) + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t \\
=&\,\cdots\\
=&\,(\alpha_t\cdots\alpha_1) \boldsymbol{x}_0 + \underbrace{(\alpha_t\cdots\alpha_2)\beta_1 \boldsymbol{\varepsilon}_1 + (\alpha_t\cdots\alpha_3)\beta_2 \boldsymbol{\varepsilon}_2 + \cdots + \alpha_t\beta_{t-1} \boldsymbol{\varepsilon}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t}_{\text{多个相互独立的正态噪声之和}}
\end{aligned}\label{eq:expand}\end{equation}
可能刚才读者就想问为什么叠加的系数要满足$\alpha_t^2 + \beta_t^2 = 1$了,现在我们就可以回答这个问题。首先,式中花括号所指出的部分,正好是多个独立的正态噪声之和,其均值为0,方差则分别为$(\alpha_t\cdots\alpha_2)^2\beta_1^2$、$(\alpha_t\cdots\alpha_3)^2\beta_2^2$、...、$\alpha_t^2\beta_{t-1}^2$、$\beta_t^2$;然后,我们利用一个概率论的知识——正态分布的叠加性,即上述多个独立的正态噪声之和的分布,实际上是均值为0、方差为$(\alpha_t\cdots\alpha_2)^2\beta_1^2 + (\alpha_t\cdots\alpha_3)^2\beta_2^2 + \cdots + \alpha_t^2\beta_{t-1}^2 + \beta_t^2$的正态分布;最后,在$\alpha_t^2 + \beta_t^2 = 1$恒成立之下,我们可以得到式$\eqref{eq:expand}$的各项系数平方和依旧为1,即
\begin{equation}(\alpha_t\cdots\alpha_1)^2 + (\alpha_t\cdots\alpha_2)^2\beta_1^2 + (\alpha_t\cdots\alpha_3)^2\beta_2^2 + \cdots + \alpha_t^2\beta_{t-1}^2 + \beta_t^2 = 1\end{equation}
所以实际上相当于有
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = \underbrace{(\alpha_t\cdots\alpha_1)}_{\text{记为}\bar{\alpha}_t} \boldsymbol{x}_0 + \underbrace{\sqrt{1 - (\alpha_t\cdots\alpha_1)^2}}_{\text{记为}\bar{\beta}_t} \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_t,\quad \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_t\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})\label{eq:skip}\end{equation}
这就为计算$\boldsymbol{x}_t$提供了极大的便利。另一方面,DDPM会选择适当的$\alpha_t$形式,使得有$\bar{\alpha}_T\approx 0$,这意味着经过$T$步的拆楼后,所剩的楼体几乎可以忽略了,已经全部转化为原材料$\boldsymbol{\varepsilon}$。(提示:本文$\bar{\alpha}_t$的定义跟原论文不一样。)
又如何建 #
“拆楼”是$\boldsymbol{x}_{t-1}\to \boldsymbol{x}_t$的过程,这个过程我们得到很多的数据对$(\boldsymbol{x}_{t-1},\boldsymbol{x}_t)$,那么“建楼”自然就是从这些数据对中学习一个$\boldsymbol{x}_t\to \boldsymbol{x}_{t-1}$的模型。设该模型为$\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)$,那么容易想到学习方案就是最小化两者的欧氏距离:
\begin{equation}\left\Vert\boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)\right\Vert^2\label{eq:loss-0}\end{equation}
其实这已经非常接近最终的DDPM模型了,接下来让我们将这个过程做得更精细一些。首先“拆楼”的式$\eqref{eq:forward}$可以改写为$\boldsymbol{x}_{t-1} = \frac{1}{\alpha_t}\left(\boldsymbol{x}_t - \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t\right)$,这启发我们或许可以将“建楼”模型$\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)$设计成
\begin{equation}\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t) = \frac{1}{\alpha_t}\left(\boldsymbol{x}_t - \beta_t \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right)\label{eq:sample}\end{equation}
的形式,其中$\boldsymbol{\theta}$是训练参数,将其代入到损失函数,得到
\begin{equation}\left\Vert\boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}_t)\right\Vert^2 = \frac{\beta_t^2}{\alpha_t^2}\left\Vert \boldsymbol{\varepsilon}_t - \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right\Vert^2\end{equation}
前面的因子$\frac{\beta_t^2}{\alpha_t^2}$代表loss的权重,这个我们可以暂时忽略,最后代入结合式$\eqref{eq:skip}$和$\eqref{eq:forward}$所给出$\boldsymbol{x}_t$的表达式
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = \alpha_t\boldsymbol{x}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t = \alpha_t\left(\bar{\alpha}_{t-1}\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_{t-1}\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1}\right) + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t = \bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \alpha_t\bar{\beta}_{t-1}\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t \end{equation}
得到损失函数的形式为
\begin{equation}\left\Vert \boldsymbol{\varepsilon}_t - \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \alpha_t\bar{\beta}_{t-1}\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t, t)\right\Vert^2\label{eq:loss-1}\end{equation}
可能读者想问为什么要回退一步来给出$\boldsymbol{x}_t$,直接根据式$\eqref{eq:skip}$来给出$\boldsymbol{x}_t$可以吗?答案是不行,因为我们已经事先采样了$\boldsymbol{\varepsilon}_t$,而$\boldsymbol{\varepsilon}_t$跟$\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_t$不是相互独立的,所以给定$\boldsymbol{\varepsilon}_t$的情况下,我们不能完全独立地采样$\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_t$。
降低方差 #
原则上来说,损失函数$\eqref{eq:loss-1}$就可以完成DDPM的训练,但它在实践中可能有方差过大的风险,从而导致收敛过慢等问题。要理解这一点并不困难,只需要观察到式$\eqref{eq:loss-1}$实际上包含了4个需要采样的随机变量:
1、从所有训练样本中采样一个$\boldsymbol{x}_0$;
2、从正态分布$\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$中采样$\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1}, \boldsymbol{\varepsilon}_t$(两个不同的采样结果);
3、从$1\sim T$中采样一个$t$。
要采样的随机变量越多,就越难对损失函数做准确的估计,反过来说就是每次对损失函数进行估计的波动(方差)过大了。很幸运的是,我们可以通过一个积分技巧来将$\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1}, \boldsymbol{\varepsilon}_t$合并成单个正态随机变量,从而缓解一下方差大的问题。
这个积分确实有点技巧性,但也不算复杂。由于正态分布的叠加性,我们知道$\alpha_t\bar{\beta}_{t-1}\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t$实际上相当于单个随机变量$\bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}|\boldsymbol{\varepsilon}\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$,同理$\beta_t \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} - \alpha_t\bar{\beta}_{t-1} \boldsymbol{\varepsilon}_t$实际上相当于单个随机变量$\bar{\beta}_t\boldsymbol{\omega}|\boldsymbol{\omega}\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$,并且可以验证$\mathbb{E}[\boldsymbol{\varepsilon}\boldsymbol{\omega}^{\top}]=\boldsymbol{0}$,所以这是两个相互独立的正态随机变量。
接下来,我们反过来将$\boldsymbol{\varepsilon}_t$用$\boldsymbol{\varepsilon},\boldsymbol{\omega}$重新表示出来
\begin{equation}\boldsymbol{\varepsilon}_t = \frac{(\beta_t \boldsymbol{\varepsilon} - \alpha_t\bar{\beta}_{t-1} \boldsymbol{\omega})\bar{\beta}_t}{\beta_t^2 + \alpha_t^2\bar{\beta}_{t-1}^2} = \frac{\beta_t \boldsymbol{\varepsilon} - \alpha_t\bar{\beta}_{t-1} \boldsymbol{\omega}}{\bar{\beta}_t}\end{equation}
代入到式$\eqref{eq:loss-1}$得到
\begin{equation}\begin{aligned}
&\,\mathbb{E}_{\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1}, \boldsymbol{\varepsilon}_t\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})}\left[\left\Vert \boldsymbol{\varepsilon}_t - \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \alpha_t\bar{\beta}_{t-1}\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t-1} + \beta_t \boldsymbol{\varepsilon}_t, t)\right\Vert^2\right] \\
=&\,\mathbb{E}_{\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\varepsilon}\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})}\left[\left\Vert \frac{\beta_t \boldsymbol{\varepsilon} - \alpha_t\bar{\beta}_{t-1} \boldsymbol{\omega}}{\bar{\beta}_t} - \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}, t)\right\Vert^2\right]
\end{aligned}\end{equation}
注意到,现在损失函数关于$\boldsymbol{\omega}$只是二次的,所以我们可以展开然后将它的期望直接算出来,结果是
\begin{equation}\frac{\beta_t^2}{\bar{\beta}_t^2}\mathbb{E}_{\boldsymbol{\varepsilon}\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})}\left[\left\Vert\boldsymbol{\varepsilon} - \frac{\bar{\beta}_t}{\beta_t}\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}, t)\right\Vert^2\right]+\text{常数}\end{equation}
再次省掉常数和损失函数的权重,我们得到DDPM最终所用的损失函数:
\begin{equation}\left\Vert\boldsymbol{\varepsilon} - \frac{\bar{\beta}_t}{\beta_t}\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}, t)\right\Vert^2\end{equation}
(提示:原论文中的$\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}$实际上就是本文的$\frac{\bar{\beta}_t}{\beta_t}\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}$,所以大家的结果是完全一样的。)
递归生成 #
至此,我们算是把DDPM的整个训练流程捋清楚了。内容写了不少,你要说它很容易,那肯定说不上,但真要说非常困难的地方也几乎没有——没有用到传统的能量函数、得分匹配等工具,甚至连变分推断的知识都没有用到,只是借助“拆楼-建楼”的类比和一些基本的概率论知识,就能得到完全一样的结果。所以说,以DDPM为代表的新兴起的生成扩散模型,实际上没有很多读者想象的复杂,它可以说是我们从“拆解-重组”的过程中学习新知识的形象建模。
训练完之后,我们就可以从一个随机噪声$\boldsymbol{x}_T\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})$出发执行$T$步式$\eqref{eq:sample}$来进行生成:
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{t-1} = \frac{1}{\alpha_t}\left(\boldsymbol{x}_t - \beta_t \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right)\end{equation}
这对应于自回归解码中的Greedy Search。如果要进行Random Sample,那么需要补上噪声项:
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{t-1} = \frac{1}{\alpha_t}\left(\boldsymbol{x}_t - \beta_t \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)\right) + \sigma_t \boldsymbol{z},\quad \boldsymbol{z}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{I})\end{equation}
一般来说,我们可以让$\sigma_t=\beta_t$,即正向和反向的方差保持同步。这个采样过程跟传统扩散模型的朗之万采样不一样的地方在于:DDPM的采样每次都从一个随机噪声出发,需要重复迭代$T$步来得到一个样本输出;朗之万采样则是从任意一个点出发,反复迭代无限步,理论上这个迭代无限步的过程中,就把所有数据样本都被生成过了。所以两者除了形式相似外,实质上是两个截然不同的模型。
从这个生成过程中,我们也可以感觉到它其实跟Seq2Seq的解码过程是一样的,都是串联式的自回归生成,所以生成速度是一个瓶颈,DDPM设了$T=1000$,意味着每生成一个图片,需要将$\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$反复执行1000次,因此DDPM的一大缺点就是采样速度慢,后面有很多工作都致力于提升DDPM的采样速度。而说到“图片生成 + 自回归模型 + 很慢”,有些读者可能会联想到早期的PixelRNN、PixelCNN等模型,它们将图片生成转换成语言模型任务,所以同样也是递归地进行采样生成以及同样地慢。那么DDPM的这种自回归生成,跟PixelRNN/PixelCNN的自回归生成,又有什么实质区别呢?为什么PixelRNN/PixelCNN没大火起来,反而轮到了DDPM?
了解PixelRNN/PixelCNN的读者都知道,这类生成模型是逐个像素逐个像素地生成图片的,而自回归生成是有序的,这就意味着我们要提前给图片的每个像素排好顺序,最终的生成效果跟这个顺序紧密相关。然而,目前这个顺序只能是人为地凭着经验来设计(这类经验的设计都统称为“Inductive Bias”),暂时找不到理论最优解。换句话说,PixelRNN/PixelCNN的生成效果很受Inductive Bias的影响。但DDPM不一样,它通过“拆楼”的方式重新定义了一个自回归方向,而对于所有的像素来说则都是平权的、无偏的,所以减少了Inductive Bias的影响,从而提升了效果。此外,DDPM生成的迭代步数是固定的$T$,而PixelRNN/PixelCNN则是等于图像分辨率($\text{宽}\times\text{高}\times{通道数}$),所以DDPM生成高分辨率图像的速度要比PixelRNN/PixelCNN快得多。
超参设置 #
这一节我们讨论一下超参的设置问题。
在DDPM中,$T=1000$,可能比很多读者的想象数值要大,那为什么要设置这么大的$T$呢?另一边,对于$\alpha_t$的选择,将原论文的设置翻译到本博客的记号上,大致上是
\begin{equation}\alpha_t = \sqrt{1 - \frac{0.02t}{T}}\end{equation}
这是一个单调递减的函数,那为什么要选择单调递减的$\alpha_t$呢?
其实这两个问题有着相近的答案,跟具体的数据背景有关。简单起见,在重构的时候我们用了欧氏距离$\eqref{eq:loss-0}$作为损失函数,而一般我们用DDPM做图片生成,以往做过图片生成的读者都知道,欧氏距离并不是图片真实程度的一个好的度量,VAE用欧氏距离来重构时,往往会得到模糊的结果,除非是输入输出的两张图片非常接近,用欧氏距离才能得到比较清晰的结果,所以选择尽可能大的$T$,正是为了使得输入输出尽可能相近,减少欧氏距离带来的模糊问题。
选择单调递减的$\alpha_t$也有类似考虑。当$t$比较小时,$\boldsymbol{x}_t$还比较接近真实图片,所以我们要缩小$\boldsymbol{x}_{t-1}$与$\boldsymbol{x}_t$的差距,以便更适用欧氏距离$\eqref{eq:loss-0}$,因此要用较大的$\alpha_t$;当$t$比较大时,$\boldsymbol{x}_t$已经比较接近纯噪声了,噪声用欧式距离无妨,所以可以稍微增大$\boldsymbol{x}_{t-1}$与$\boldsymbol{x}_t$的差距,即可以用较小的$\alpha_t$。那么可不可以一直用较大的$\alpha_t$呢?可以是可以,但是要增大$T$。注意在推导$\eqref{eq:skip}$时,我们说过应该有$\bar{\alpha}_T\approx 0$,而我们可以直接估算
\begin{equation}\log \bar{\alpha}_T = \sum_{t=1}^T \log\alpha_t = \frac{1}{2} \sum_{t=1}^T \log\left(1 - \frac{0.02t}{T}\right) < \frac{1}{2} \sum_{t=1}^T \left(- \frac{0.02t}{T}\right) = -0.005(T+1)\end{equation}
代入$T=1000$大致是$\bar{\alpha}_T\approx e^{-5}$,这个其实就刚好达到$\approx 0$的标准。所以如果从头到尾都用较大的$\alpha_t$,那么必然要更大的$T$才能使得$\bar{\alpha}_T\approx 0$了。
最后我们留意到,“建楼”模型中的$\boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{\theta}}(\bar{\alpha}_t\boldsymbol{x}_0 + \bar{\beta}_t\boldsymbol{\varepsilon}, t)$中,我们在输入中显式地写出了$t$,这是因为原则上不同的$t$处理的是不同层次的对象,所以应该用不同的重构模型,即应该有$T$个不同的重构模型才对,于是我们共享了所有重构模型的参数,将$t$作为条件传入。按照论文附录的说法,$t$是转换成《Transformer升级之路:1、Sinusoidal位置编码追根溯源》介绍的位置编码后,直接加到残差模块上去的。
文章小结 #
本文从“拆楼-建楼”的通俗类比中介绍了最新的生成扩散模型DDPM,在这个视角中,我们可以通过较为“大白话”的描述以及比较少的数学推导,来得到跟原始论文一模一样的结果。总的来说,本文说明了DDPM也可以像GAN一样找到一个形象类比,它既可以不用到VAE中的“变分”,也可以不用到GAN中的“概率散度”、“最优传输”,从这个意义上来看,DDPM甚至算得上比VAE、GAN还要简单。
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苏剑林. (Jun. 13, 2022). 《生成扩散模型漫谈(一):DDPM = 拆楼 + 建楼 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/9119
@online{kexuefm-9119,
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May 4th, 2024
有个问题想请教一下苏老师,在(9), (10), (15)里面其实都把损失函数的权重给省略掉了,这个按道理在不同的t,权重是不一样的,这样省略是合理的吗?谢谢
实验结果显示是合理的(或者说,也没有理论支持原本的权重就一定合理)
个人觉得,权重只是关乎学习率
也没那么简单,因为同一个batch可能有不同$t$的样本混合,所以是多个loss的加权混合,而不是整体loss乘上一个scale。
另外就是现在DDPM的主流优化器是Adam,Adam基本是scale无关的,也就是说如果真的像你假设那样是整体loss乘上一个常数scale,那反而是对优化结果没影响(也不改变学习率),只有SGD优化器才等效于调整了学习率
是的,您说的很有道理,谢谢!
May 14th, 2024
在学习过程中,有个很困惑的问题想请教一下,X(t-1)添加高斯噪声得到X(t),通过模型可以根据X(t)和t预测出t时刻添加的噪声,那么我们为什么不可以直接让X(t)减去预测出的噪声得到X(t-1),还要那么复杂的用这个预测噪声去算X(t-1)的均值呢
为什么公式17与原论文中的一样呢,虽然我觉得苏老师这个公式更好理解,原论文公式为$\mathbf{x}_{t-1}=\frac1{\sqrt{\alpha_t}}\left(\mathbf{x}_t-\frac{1-\alpha_t}{\sqrt{1-\bar{\alpha}_t}}\boldsymbol{\epsilon}_\theta(\mathbf{x}_t,t)\right)+\sigma_t\mathbf{z}$
@dyb|comment-24336
是通过你说的方式得到$\boldsymbol{x}_{t-1}$的均值,然后得到$\boldsymbol{x}_{t-1}$的均值后再加上适量的噪声,才是最终的$$\boldsymbol{x}_{t-1}$
@dyb|comment-24337
你想说的是一样还是不一样,这明明就是不一样呀?
不好意思,打错了,是想说不一样的;
您文中写的是$x_{t-1}=\frac1{\alpha_t}(x_t-\beta_t\epsilon_\theta(x_t,t))+\sigma_tz,\quad z\sim\mathcal{N}(0,I)$,而DDPM原论文写的是$\mathbf{x}_{t-1}=\frac{1}{\sqrt{\alpha_t}}\left(\mathbf{x}_t-\frac{1-\alpha_t}{\sqrt{1-\bar{\alpha_t}}}\boldsymbol{\epsilon}_\theta(\mathbf{x}_t,t)\right)+\sigma_t\mathbf{z}$,是什么原因导致两者不一样呢
留意本文的红色提示(“递归生成”一节的上方)
May 15th, 2024
在公式(9)中直接将$x_t$ 替换成$x_t = {\bar{\alpha}}_t x_0 + {\bar{\beta}}_t \bar{\epsilon}_t$就得到原文的结果,后面的降低方差可能没有必要。
$\bar{\epsilon}_t$ 是多个噪声的加权平均,这里直接将所有噪声变量替换成同一个噪声变量$\epsilon_t$ ,因而可以降低方差,这就是原文的结论
事后来看是没错,但你需要给读者解释一下:我明明需要一个用$\boldsymbol{x}_t$来预测$\boldsymbol{x}_{t-1}$的模型,你训练一个用$\boldsymbol{x}_t$来预测$\boldsymbol{x}_0$的模型干嘛吗?怎么用这个模型来预测$\boldsymbol{x}_{t-1}$呢?
其实,需要的也是xt来预测x0吧?中间的xt-1也只是中间状态?
$\boldsymbol{x}_t$预测的$\boldsymbol{x}_0$才是中间状态。准确来说预测链是:
$$\cdots\boldsymbol{x}_t\to \boldsymbol{x}_0\to \boldsymbol{x}_{t-1}\to \boldsymbol{x}_0 \to \boldsymbol{x}_{t-2}\to \cdots$$
参考:https://kexue.fm/archives/9164
June 6th, 2024
为什么可以有这一步转换呢?
$β¯^2_{t−1} = (1−α¯^2_{t−1})$
注:下面这个公式我可以理解。但为什么上面的公式也成立呢?
$α^2_{t−1} + β^2_{t−1} = 1$
更正一下上式
$\overline{β}^2_{t−1}=(1−\overline{α}^2_{t−1})$
这是定义啊,$\bar{\alpha}_t = \alpha_1 \cdots \alpha_t$,此时还没有$\bar{\beta}_t$的记号,我们是定义$\bar{\beta}_t = \sqrt{1 - \bar{\alpha}_t^2}$。
理解了,谢谢。想当然了。
以为$\overline{β}_{t}={β}_{1}{β}_{2}...{β}_{t}$
July 2nd, 2024
请假下,在建楼过程最后,“而εt跟ε¯t不是相互独立的,所以给定εt的情况下,我们不能完全独立地采样ε¯t” 这里不理解,不能完全独立采样会造成什么问题? 为什么需要完全独立采样?
十分感谢!
不是独立的话,可能会加大实现难度,甚至没法实现。
比如,给我两个(独立的)高斯噪声,那很简单,np.random.randn() 运行两次就行,这就是独立的好处;如果这两个噪声是不独立的,那么第一步np.random.randn(),第二步的话你就要推导出它关于第一步采样结果的关系式,然后再去采样,能不能实现,还取决于关系式的复杂程度。
十分感谢苏老师!
July 4th, 2024
请教苏老师。推导出的Xt= 根号(at)x0+根号(1-a(bar)T)E . 这里Xt, 噪声E, 都是高维高斯随机噪声,具体是3维,这个理解对么?从图像角度看就是有三个通道。
或者说在DDPM领域,这些E都是多元(3维,也是3通道)高斯分布的随机噪声。对于每个E(i),是一个n行3列的矩阵
跟$\boldsymbol{x}_0$大小一致,对于图像来说,它通常是$w\times h\times 3$。
谢谢
July 9th, 2024
请教苏老师。训练出来的参数,在推理场景中。对于任意噪声,生成图片的过程这样理解对不对:
1.参数θ是不是全局参数,从T到T0的去噪过程,每一步用的都是一套参数?
2.具体程序执行过程,比如T到T-1的过程,T时刻样本是 w*h*3 的tensor,某一个像素点举例(182,150,3),去噪过程(182-(参数生成的t-1时刻w噪点),150-(参数生成的t-1时刻h噪点),3)。以此类推,一直计算到T0. 这样理解是否正确?
1、是;
2、有点没看懂。$(182,150,3)$是$x_t$的某个分量吗?如果是的话,为什么$182,150$都减,$3$不减?
(182,150,3)我想表达的意思是一幅彩色图片的某个像素点,这里3表示通道数。所以,我认为通道这个维度不做去噪处理。
我的意思是为什么取出前两个维度的具体值,又不取出第三个维度的具体值?这种写法究竟表示什么意义?即(182,150,3)这三个数字分别的含义是什么?
是我的表述有问题,换一种说法您看看:
在一张噪声图片上坐标为(182,150)的像素点,设值为X;训练出来的参数为θ,设θ生成噪声在该坐标的值为b。
还原图片的过程就是 X-b. 重复计算T-1步,直到算出X0.
这样是否正确?
这样说倒是能接受,如果你想表达的是相同坐标对应相加减,那没有问题。但实际上是整张图片$w\times h\times 3$个分量一起传给模型算的,然后一次返回$w\times h\times 3$个结果,计算过程中这些分量是相互依赖的,而不是说每个像素每个分量独立算的。
收到,谢谢苏老师。
评论区如果能发图片就太方便了,一些理解用文字表达太费劲,还包括一些公式、特殊字母等。
July 15th, 2024
$xt−1$拆解为“$αtxt−1$”的楼体 + $βtεt$的原料,老师及各位读者您好,请问这里看等式好像应该是xt被拆解吧,这里有点疑惑
谢谢各位读者,在前文找到答案了
July 23rd, 2024
再请教苏老师。文章细读一遍发现还有不理解的地方
1.“我们可以通过一个积分技巧来将ε¯t−1,εt合并成单个正态随机变量,从而缓解一下方差大的问题。” 这里ε¯t−1(这个我理解,是前t-1步噪声“综合”的一个噪声),εt(第t步采样的随机噪声)和之后出现的ε,是什么关系? 我的理解是,ε跟前两个之间没关系(如果是这样这个ε换个字母表示更好,这里跟之前t步噪声用的εi,看起来比较有迷惑性)。
2.我们知道αtβ¯t−1ε¯t−1+βtεt 实际上相当于单个随机变量β¯tε|ε∼N(0,I)“问题:看起来这里解释了三个随机噪声的关系,公式看不懂,请多解释几句”
,同理βtε¯t−1−αtβ¯t−1εt 实际上相当于单个随机变量β¯tω|ω∼N(0,I)
,并且可以验证E[εω⊤]=0 “问题:看起来这个ω跟上面的ε是一个意思,都是跟之前独立的随机噪声。上面理解了,这里就没问题。
这几天看下来,越来越感觉随机一个噪声不能生成图片,因为添加噪声是有规则的,至少都是高斯噪声。
先看看这个 @苏剑林|comment-19316 ,然后再继续补充你的疑问?
July 24th, 2024
想请问下(12)式是怎么退出来的!非常感谢!
@苏剑林|comment-19316