科学空间|Scientific Spaces

高考成绩出来了，不是很理想，不能进入很理想的高校。不过不管到了哪里，我都会一直延续我的科学梦，醉心于数学物理研究。昨天志愿填报也完成了，所以高考的事情暂时也告一段落了，接着就等通知了。

接下来的几篇文章可能会探讨一些有趣的轨迹问题，是和圆锥曲线有关的，它们基本都是在高考前两周的时间内完成的。先看最简单的一个，抛物线$y=x^2$内有一条定长为a的弦，求弦的中点轨迹，并探讨轨迹的最低点位置。

抛物线里边的定长弦

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这是在《200道物理学难题》中的第五道题，题目看起来没有什么特色，但是解法却非常巧妙：

四只蜗牛在做匀速直线运动（速度各不同），它们的运动轨迹是两两相交的直线，但是没有三条直线交于一点，也就是说他们的轨迹有六个交点。在它们之间，已经发生了五次相遇，问第六次相遇是否一定发生？换句话说，有没有可能只发生五次相遇的？

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===聊聊天===

上个月在网上买了三本相对论教材和一本《量子力学概论》，本打算好好研究下相对论的数学体系，可是书到了之后，我却深深地被量子力学吸引住了，不停在研读。而且在研究量子力学的同时，我的线性代数和微分方程知识也增加了不少，这确实是我没有想到的。在我看来，不管是狭义相对论还是广义相对论，它本质上都是一种几何理论，你总要想象从一个参考系观测会发生什么，然后从另外一个参考系又会看到什么；而量子力学虽然对我来讲一切都是新鲜的，但是它的数学性比较强，主要是微分方程的求解和理解。我想这也是我对量子力学更感兴趣的原因吧，因为我善于代数而不善于几何。

量子力学中让我最神往的内容莫过于费曼所发明的路径积分形式。资料记载费曼用他发明的方法在一个晚上就算出了别人几个月才算出来的结果，可见路径积分形式的优越性。当然，我也清楚，这个路径积分并不简单，它涉及到了泛函积分这一非常高深的内容，对于我这个连数学分析都还没有学好的小孩来说，泛函是难以触摸的。不过，我还是尽量想办法向它靠近。为此，我还浏览到了一些不少让人兴奋的内容，比如薛定谔的方程的推导、力学-光学类比、雅可比方程等等。

很遗憾，在正统的量子力学教材中，这些让我很兴奋的内容却鲜有涉及，有的话大多数都是一笔带过的感觉。多数量子力学不会讲到路径积分，就算有也只是作为附录。对于薛定谔方程的推导，也没有涉及到。这也让我养成了一个习惯意识：书本最有趣的东西往往都是在附录。所以对于教科书，那么写得正正式式的内容我一概没有兴趣，那些附录内容才是我最喜欢读的。可是，那些让人兴奋的内容却不一定是很难的，就像下面的薛定谔方程的启发式推导，它不仅不难，而且易于理解。

===薛定谔方程===

在量子力学诞生之前，科学家已经通过实验发现光既有波动性也有粒子性，而德布罗意提出也同时具有波动性和粒子性，这些都奠定了量子力学的基础。根据量子论，一个光子的能量可以由$E=h\nu=\hbar (2\pi \nu)$，其中$\nu$是频率，$\hbar=\frac{h}{2\pi}$，h是普朗克常数，习惯记$\omega=2\pi \nu$，即$E=\hbar \omega$。

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在学校使用校园网时，是很容易访问到华师内部的各个网站的，比如教务系统、图书馆电子资源等，但是如果使用校外网或者是在家时就不那么容易了。另外一种情况是，期末同学回家了，很想早点知道成绩，一般我们会上http://jwc.scnu.edu.cn查询，这个网站在校内校外都可以登陆，但是通常来说为了成绩的录入，会把成绩查询功能关闭掉一段时间，事实上，大部分的成绩都已经录入了。在校园网时，心急的朋友可以访问http://222.201.93.5:211来查询，可是这个网址在校外是不能用的。VPN通道就是为这些校外需求而开通的。

使用方法很简单，打开
https://121.8.171.37/

输入校园卡的账号密码登陆就行了。登录后就会出现校内网的各种链接，包括图书馆资源、教务系统等等。

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也许中学老师会告诉5、10、20等等的十进制数字怎么化成二进制数字，但又没有老师告诉你怎么将十进制的0.1变成二进制的小数呢？

我们将一个十进制整数化为二进制是这样操作的：在十进制的计算法则中，将十进制数除以2，得到商和余数；把商除以2，得到商和余数；...重复下去，直到商为0。然后把每次得到的余数按倒序排列，就得到了二进制数字。比如6：

$$\begin{aligned}6\div 2=3...0 \\ 3\div 2=1...1 \\ 1\div 2=0...1\end{aligned}$$

倒过来就是110。这就是二进制中的6了。

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为了让大家更加熟悉摄动法的基本步骤，本文再讲一个用摄动法解代数方程的例子。这是从实际研究中出来的：
$$\begin{eqnarray*} x=\frac{k(1+k^2+k^4+l^2)}{2(1+k^2)^2} \\ k=\frac{dy}{dx}\end{eqnarray*}$$

这是一道微分方程。要求解这道方程，最好的方法当然是先从第一式解出$k=k(x)$的形式然后再积分。但是由于五次方程没有一般的显式解，所以迫使我们要考虑近似解。当然，一般来说熟悉mathematica的人都会直接数值计算了。我这里只考虑摄动法。

我们将原方程变为下面的形式：
$$x=\frac{k}{2}[1+\frac{l^2}{(1+k^2)^2}]$$

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今天早上子瑞给我发了一个问题来，他说：

一个数，各个数字加起来等于104，乘以2后各个数字加起来等于100，已知这个数字没有9，有4个8、3个7和2个6，问这个数字有多少个5？

当然这道题目不难，稍加分析就可以得出答案，不过不得不说这是一道趣题，而且更像一个数字游戏。

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解决完上一题《有多少个5？》后，子瑞表示看到一道类似的题目，当然，这道题比上一道难一些：

一个数，各个数字加起来等于900，乘以2后各个数字加起来还是等于900，已知这个数字只有3、4、5、6组成，请问满足条件的最大数与最小数的积有多少位数？

要解答这个问题，我们只需要知道最大数和最小数分别有多少位即可。因为最大数必然是6...3的形式，而最小数只能是3...6的形式，它们的位数之和就是所求的位数。

怎样比较两个数的大小呢？显然，在不同位数的数时，位数多的数要大，同样位数才从高到低逐位比较。因此，我们应当考虑位数的最大与最小。

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