科学空间|Scientific Spaces

通常来说，选取惯性系为参考系，列出的三体问题方程为
$$\ddot{\vec{r}}_k=\sum_{i=1,i != k}^{n} Gm_i\frac{\vec{r}_i-\vec{r}_k}{|\vec{r}_i-\vec{r}_k|^3}$$

历史上出现过很多不同形式的变换，使得三体问题的运动方程有了各样的形式，如Lagrange形式、Jacobi形式、Hamilton形式等。这些变换形式都各有特点，都能够在一定程度上化简三体问题。BoJone在研究摆弄等质量型三体问题的运动方程时，也发现了一种很有趣的变换，在此贴出与大家分享。

设$\vec{R}_1=\vec{r}_1-\vec{r}_2,\vec{R}_2=\vec{r}_2-\vec{r}_3,\vec{R}_3=\vec{r}_3-\vec{r}_1$，则三体问题的运动方程变为

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形形色色的电容

学到人教版高二物理选修3-2的同学们，眼前会出现许多新的名词，如楞次定律、自感（电感）、感抗、容抗等等。其中对于电感，在中文维基百科给予的解释为：当电流改变时，因电磁感应而产生抵抗电流改变的电动势（EMF，electromotive force）。电路中的任何电流，会产生磁场，磁场的磁通量又作用于电路上。依据楞次定律，此磁通会借由感应出的电压（反电动势）而倾向于抵抗电流的改变。磁通改变量对电流改变量的比值称为自感，自感通常也就直接称作是这个电路的电感。

自感的计算公式为：$U=-L\frac{dI}{dt}$，U是自感电动势，I是电流，负号表示自感电动势反抗原来的电流。L是比例系数，就称为电感，对于同一个线圈来说，L是常数，单位是$V\cdot t//A=\Omega \cdot t$，同时也简记为$H$（亨利）。

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载入正题之前，不妨闲扯一下BoJone的家...

BoJone在一些文章中已经提到过，我是一个来自农村的孩子，目前我的家也在农村。虽然生活并不能说“贫困”，家中也添置了不少电器，不过一直没有购置的就是洗衣机和热水器。洗衣机嘛，我觉得衣服自己动手洗是很好的，至少不让自己偷懒。至于热水器，因为家在农村，所以能够比较方便地弄到一些柴草，而且稻谷收割完后的桔梗也可以当燃料用，平时烧菜一般都用烧柴草，因此热水器实在没有多大必要。（很遗憾，沼气池没有能够在这里普及起来，大家可不要责怪我排放温室气体哦...^_^）

烧柴草的炉灶

既然没有热水器，那只能人工烧水了。往往是烧好一大锅水，洗澡时盛一盆子，然后加水降温，接着就可以洗白白了。本文的问题正是来源于调水温。当水很热时，为了加快降温，我们往往“双管齐下”：一边向盆子注入冷水，一般从盆子放出热水。于是就有了一个问题：水的温度与时间成什么关系？

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Fukushima

福岛核电站已经好久没给我们带来好消息了，各种稀奇古怪的故障一个接着一个，越来越多的人也在考虑“最坏情况”的可能了，这次的碘盐恐慌似乎就是被所谓的“最坏情况”吓出来的。那么最坏到底能有多坏呢？

完整的评估太过复杂，咱就从比较简单的，也是目前我们很多人最关心的问题说起：放射性物质的泄露对海水最大到底能有多大的影响。这里我们主要拿这个风头正紧的碘 131 来开刀。

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转载自：matrix67.com

注：这篇文章里有很多个人观点，带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确的，有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。

我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好者，只是比一般的爱好者更加执着，更加疯狂罢了。初中、高中一路保送，大学不在数学专业，这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识，让我对数学有如此浓厚的兴趣。从 05 年建立这个 Blog 以来，每看到一个惊人的结论或者美妙的证明，我再忙都会花时间把它记录下来，生怕自己忘掉。不过，我深知，这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本谈不上数学之美，数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。

我多次跟人说起，我的人生理想就是，希望有一天能学完数学中的各个分支，然后站在一个至高点，俯瞰整个数学领域，真正体会到数学之美。但是，想要实现这一点是很困难的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本？这就是我今天想说的——课本极其不靠谱。

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在科学空间所转载的上两篇文章中，matrix67和范翔都表达了他们对大多数现行（数学&物理）教材的不满和对编写教材的一些建议。今天，BoJone也来发发牢骚，说说教材。

首先得说明下，目前BoJone只是一个高二生，或者说，是一个爱好数学、物理的高中生，因此本文所描写的观点仅仅是个人的看法，而且应该带有诸多的不成熟看法。不论如何，谨在此提出，欢迎讨论。

BoJone认为，人类都有着追求利益的倾向，要是一样东西能够对我们有“好处”，给我们带来方便，那么我们就很乐意去拥有它，或者去学习它。数学、物理理论也应当如此，当教材编写者想要引入一个新概念或介绍一个新理论、方法时，首先要做的并不是如何从严格上定义、推导、证明、最后才去应用，而相反，他们应该要大书特书引入新概念和方法后有什么“好处”。只有了解到了它的用处之后，读者才会有明确的目的和足够的心思去进一步的学习。这一步对于一些抽象的理论的学习是很重要的，要不然，那么繁琐、枯燥的推理证明过程会抹杀掉绝大多数人的信心，纵使后来“终于”弄懂了它的用处，也兴趣倍减。说到这里，就不得不批评一下人教版数学选修教材中的一个很让人反感的做法，在《选修2-2》中它引入了复数，但仅仅简单交待了复数的加减乘除运算和模等定义后就了事，对于复数的一些精华，比如复数乘法代表着坐标旋转等，则全然不提，这样的“复数”有何意义呢？有同学问我：“学复数有什么用？”我只能回答：“就目前来说，复数的唯一作用就是增加了我们高考的负担。”

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大马国油双峰塔

这些日子来，BoJone迷上了两个东西：最小作用量和对称。这两个“东西”在物理学中几乎占据着最重要的地位，前边已经说过，通过最小作用量原理能够构建起当代整个物理学的框架，体现着自然界的“经济头脑”；后者则是守恒的体现，也对应着自然界的“美感”。本文主要是从最简单的层面谈谈对称。

对称的东西很重要，很美。当然，这里所指的是数学上的对称。数学上有很多问题都可以列出对称的式子，而且由于其对称性，因此求解过程一般比不对称的式子简单不少。据说，当代最前沿的物理学框架都是用群论描述的（包括广义相对论），而群论正是用来研究对称的有力工具，可见，对称和对称的方法在实际中有着广泛的应用。（当然本文不讨论群论，关键是BoJone也不懂群论...^_^）

我们先来看二次方程，根据韦达定理，二次方程都可以表达成下面的形式：
$$\begin{aligned}x_1+x_2=a \\ x_1 x_2=b\end{aligned}$$

这是一个多对称的形式！这里的对称体现在将$x_1,x_2$互相替换后方程形式依然不变。如果我们设$x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2$，就可以变成
$$2y_1=a,y_1^2-y_2^2=b$$

这样很快就求出$y_1,y_2$了，继而能够求出方程的两个根。

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淡白口蘑

达尔文的进化学说告诉我们，自然界总是在众多的生物中挑出最能够适应环境的物种，赋予它们更高的生存几率，久而久之，这些物种经过亿万年的“优胜劣汰”，进化成了今天的千奇百怪的生物。无疑，经过长期的选择，优良的形状会被累积下来，换句话讲，这些物种在某些环境适应能力方面已经达到最优或近乎最优的状态（又是一个极值问题了）。好，现在我们来考虑蘑菇。

蘑菇是一种真菌生物，一般生长在阴暗潮湿的环境中。喜欢湿润的它自然也不希望散失掉过多的水分，因此，它努力地调整自身的形状，使它的“失水”尽可能地少。假设单位面积的蘑菇的失水速度是一致的，那么问题就变成了使一个给定体积的立体表面积尽可能少的问题了。并且考虑到水平各向同性生长的问题，理想的蘑菇形状应该就是一个平面图形的旋转体。那么这个旋转体是什么呢？聪明的你是否想到了是一个球体（的一部分）呢？

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