科学空间|Scientific Spaces

科学空间曾经提到过$e^{i\pi}+1=0$这条被誉为“数学最卓越的公式的公式之一”的公式，而读者们或许很就之前就已经听说过甚至证明过它了。那么，各位读者是否还知道其他的一些关于e,i,π的轶事呢？例如你知道$i^i$等于多少吗？还有$i^{1//i}$呢？

本文就让我们来欣赏一次数学之美！

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16日开考。我们15日出发，坐了将近五个小时的车到惠州（第八中学）参加考试。然而让我很无奈的是，虽然之前做了一定准备，这次考试发挥出奇的差，所以，拿奖只是个梦...^_^

后来才发现，我很悲剧地考了A卷，再看一下B卷的题目，发现那更合我胃口，更无语了...难道是运气在上一年用光了？

其实物理竞赛更适合我，只是那偏远的地方连资格都被忽略了...

不再说什么了，还是老老实实在科学空间与大家分享、讨论科学问题更开心。

下面附上今年的联赛题目：

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1798年法国数学家勒让德提出：
$$\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$$

这个式子被成为“素数定理”(the Prime Number Theorem, PNT)。它表达的是什么意思呢？其中$\pi(N)$指的是不大于N的素数个数，$\frac{N}{\ln N}$是一个计算结果，符号~叫做“渐近趋于”，整个式子意思就是“不大于N的素数个数渐近趋于$\frac{N}{\ln N}$”；简单来讲，就是说$\frac{N}{\ln N}$是$\pi(N)$的一个近似估计。也许有的读者会问为什么不用≈而用~呢？事实上，~包含的意思还有：
$$\lim_{N-\infty} \frac{\pi(N) \ln N}{N}=1$$

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在x>0时，指数函数$f(x)=e^x$与幂函数$h_n (x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}$孰大孰小？

对于已经学习了微积分的朋友来说，这道题目是很简单的，甚至$f(x) > h_n (x)$可以说是“显然成立的”（因为$e^x$展开式接下来的无穷项都是正数）。但是，这道题目出在了2012年的广州一模理科数学中，就显得不那么简单了，得用初等的方法来证明它。而笔者最近养成了一个习惯，拿到一张数学试卷，不是先做选择题，而是先做最后一题。所以在参加广州一模时，先花了半个小时把最后一题（即本题）解决了。下面是我想到的三种解法。

一、数学归纳法

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在此之前，BoJone的相册用的是phpyou相册程序，本来是喜欢它的简洁方便的，所以它这么多年不更新也没有介意。后来才发现，这个程序糟糕透了（不知道是不是我下载的版本不对）。昨天查了一下数据库，我发现我的数据库有16M大小，而一个phpyou就占用了12M，更离谱的是，它里边似乎镶嵌着许多不良敏感信息，所以，BoJone坚决抛弃它了。

现在使用的是kh_mod（中文网址），而它也是基于之前的MG2架设的，也是属于简洁相册的类型。新相册基本保留了原来的目录结构和图片。当然，之前的相册已经很久没有更新了，以后会多与大家分享一些瞬间的^_^

新相册

今天傍晚看到了彩虹！当然这算不上什么奇观，但还是一道美丽的风景。

人说“不经历风雨，怎么见彩虹”，我发现彩虹不一定是在雨后的，今天我看彩虹的时候，就是暴风雨前夕。彩虹是在18点10分左右出现的，持续了5分钟左右吧，看着看着，雨越下越大，我被迫停止欣赏了，不过彩虹也随之消失了。

用一个老相机简单记录了一下这道亮丽的风景！这是我第一次拍摄彩虹^_^

不知道是相机问题还是真有其事，在照片上发现有两条彩虹。难道这次的彩虹是”双彩虹“？那可真是奇观了！

很老的家用数码相机，没有广角，不能拍摄全景，这是用photoshop把两张图片拼凑起来的，效果不好

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上网的那些事儿

从申请帐号到接通校园网络，昨天晚上我总共花了将近3个小时才实现了在校内上网......

其实这本来不是一件很复杂的事情，但对于我的笔记本就是挺麻烦的。首先是申请，向隔壁师兄咨询了网管所在后，几分钟就申请到了账号，然后回到宿舍配置电脑。按照说明，是需要安装一个锐捷客户端的，通过手机把笔记本连上网络后，花了差不多20M流量下载了这个客户端，然后发现它竟然不能在Windows 8 64bit上运行。这就头疼了，我的笔记本只有Windows8和ubuntu呀，总不能为了上网换回Windows 7吧？就这样在两个系统中来来回回弄了两个小时，期间尝试过用mentohust来替换它，但发现在Windows 8上还是很头疼地不行。最后只能通过兼容模式来解决：

右击“锐捷客户端”的安装程序——属性——兼容性——选择以Windows 7兼容模式
右击“锐捷客户端”的安装程序——以管理员身份运行——安装程序——重新启动
然后就可以启动锐捷客户端了。我们用的是4.31版本。

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记得几年前，BoJone提供过一个证明均值不等式（代数—几何平均不等式）的方法，但是其中的证明有点长，有点让人眼花缭乱的感觉（虽然里边的思想还是挺简单的）。昨天在上《数学分析》课程的时候，老师讲到了这个不等式，也讲了他的证明，用的是数学归纳法，感觉还是没有那种简洁美和巧妙美。但这让我回想起了之前我研究过的两种巧妙证明方法，可是在昨天划了一整天，都没有把这两种方法回忆起来。直到今天才回想起来，所以就放在这里与大家分享，同时也作备忘之用。

对于若干个非负数$x_i$，我们有
$$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 ... x_n}$$

记为$A_n \geq G_n$

证明1：数学归纳法
这个方法不算简单，但是非常巧妙，它从n递推到n+1的过程让人拍案叫绝。用数学归纳法证明詹森不等式也是同样的递推思路，而均值不等式不过是詹森不等式的一个特例而已。

假设$A_n \geq G_n$成立，要证$A_{n+1} \geq G_{n+1}$。我们有

$$\begin{aligned}&2n A_{n+1}=(n+1)A_{n+1}+(n-1)A_{n+1} \\ =&[x_1 + x_2 +...+x_n]+[x_{n+1}+(n-1)A_{n+1}] \\ \geq &nG_n+n(x_{n+1}\cdot A_{n+1}^{n-1})^{\frac{1}{n}} \\ \geq &2n(G_{n+1}^{n+1}\cdot A_{n+1}^{n-1})^{\frac{1}{2n}}\end{aligned}$$

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