科学空间|Scientific Spaces

前言：我小学开始就喜欢纯数学，后来也喜欢上物理，还学习过一段时间的理论物理，直到本科毕业时，我才慢慢进入机器学习领域。所以，哪怕在机器学习领域中，我的研究习惯还保留着数学和物理的风格：企图从最少的原理出发，理解、推导尽可能多的东西。这篇文章是我这个理念的结果之一，试图以变分推断作为出发点，来统一地理解深度学习中的各种模型，尤其是各种让人眼花缭乱的GAN。本文已经挂到arxiv上，需要读英文原稿的可以移步到《Variational Inference: A Unified Framework of Generative Models and Some Revelations》。

下面是文章的介绍。其实，中文版的信息可能还比英文版要稍微丰富一些，原谅我这蹩脚的英语...

摘要：本文从一种新的视角阐述了变分推断，并证明了EM算法、VAE、GAN、AAE、ALI(BiGAN)都可以作为变分推断的某个特例。其中，论文也表明了标准的GAN的优化目标是不完备的，这可以解释为什么GAN的训练需要谨慎地选择各个超参数。最后，文中给出了一个可以改善这种不完备性的正则项，实验表明该正则项能增强GAN训练的稳定性。

近年来，深度生成模型，尤其是GAN，取得了巨大的成功。现在我们已经可以找到数十个乃至上百个GAN的变种。然而，其中的大部分都是凭着经验改进的，鲜有比较完备的理论指导。

本文的目标是通过变分推断来给这些生成模型建立一个统一的框架。首先，本文先介绍了变分推断的一个新形式，这个新形式其实在博客以前的文章中就已经介绍过，它可以让我们在几行字之内导出变分自编码器（VAE）和EM算法。然后，利用这个新形式，我们能直接导出GAN，并且发现标准GAN的loss实则是不完备的，缺少了一个正则项。如果没有这个正则项，我们就需要谨慎地调整超参数，才能使得模型收敛。

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前言：自从在机器之心上看到了glow模型之后（请看《下一个GAN？OpenAI提出可逆生成模型Glow》），我就一直对其念念不忘。现在机器学习模型层出不穷，我也经常关注一些新模型动态，但很少像glow模型那样让我怦然心动，有种“就是它了”的感觉。更意外的是，这个效果看起来如此好的模型，居然是我以前完全没有听说过的。于是我翻来覆去阅读了好几天，越读越觉得有意思，感觉通过它能将我之前的很多想法都关联起来。在此，先来个阶段总结。

背景

本文主要是《NICE: Non-linear Independent Components Estimation》一文的介绍和实现。这篇文章也是glow这个模型的基础文章之一，可以说它就是glow的奠基石。

艰难的分布

众所周知，目前主流的生成模型包括VAE和GAN，但事实上除了这两个之外，还有基于flow的模型（flow可以直接翻译为“流”，它的概念我们后面再介绍）。事实上flow的历史和VAE、GAN它们一样悠久，但是flow却鲜为人知。在我看来，大概原因是flow找不到像GAN一样的诸如“造假者-鉴别者”的直观解释吧，因为flow整体偏数学化，加上早期效果没有特别好但计算量又特别大，所以很难让人提起兴趣来。不过现在看来，OpenAI的这个好得让人惊叹的、基于flow的glow模型，估计会让更多的人投入到flow模型的改进中。

glow模型生成的高清人脸

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随机采样的KNN样本

对于NLP来说，互信息是一个非常重要的指标，它衡量了两个东西的本质相关性。本博客中也多次讨论过互信息，而我也对各种利用互信息的文章颇感兴趣。前几天在机器之心上看到了最近提出来的Deep INFOMAX模型，用最大化互信息来对图像做无监督学习，自然也颇感兴趣，研读了一番，就得到了本文。

本文整体思路源于Deep INFOMAX的原始论文，但并没有照搬原始模型，而是按照这自己的想法改动了模型（主要是先验分布部分），并且会在相应的位置进行注明。

我们要做什么

自编码器

特征提取是无监督学习中很重要且很基本的一项任务，常见形式是训练一个编码器将原始数据集编码为一个固定长度的向量。自然地，我们对这个编码器的基本要求是：保留原始数据的（尽可能多的）重要信息。

我们怎么知道编码向量保留了重要信息呢？一个很自然的想法是这个编码向量应该也要能还原出原始图片出来，所以我们还训练一个解码器，试图重构原图片，最后的loss就是原始图片和重构图片的mse。这导致了标准的自编码器的设计。后来，我们还希望编码向量的分布尽量能接近高斯分布，这就导致了变分自编码器。

重构的思考

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这两天无意间发现一个非常有意义的工作，称为“相对GAN”，简称RSGAN，来自文章《The relativistic discriminator: a key element missing from standard GAN》，据说该文章还得到了GAN创始人Goodfellow的点赞。这篇文章提出了用相对的判别器来取代标准GAN原有的判别器，使得生成器的收敛更为迅速，训练更为稳定。

可惜的是，这篇文章仅仅从训练和实验角度对结果进行了论述，并没有进行更深入的分析，以至于不少人觉得这只是GAN训练的一个trick。但是在笔者来看，RSGAN具有更为深刻的含义，甚至可以看成它已经开创了一个新的GAN流派。所以，笔者决定对RSGAN模型及其背后的内涵做一个基本的介绍。不过需要指出的是，除了结果一样之外，本文的介绍过程跟原论文相比几乎没有重合之处。

“图灵测试”思想

SGAN

SGAN就是标准的GAN（Standard GAN）。就算没有做过GAN研究的读者，相信也从各种渠道了解到GAN的大概原理：“造假者”不断地进行造假，试图愚弄“鉴别者”；“鉴别者”不断提高鉴别技术，以分辨出真品和赝品。两者相互竞争，共同进步，直到“鉴别者”无法分辨出真、赝品了，“造假者”就功成身退了。

在建模时，通过交替训练实现这个过程：固定生成器，训练一个判别器（二分类模型），将真实样本输出1，将伪造样本输出0；然后固定判别器，训练生成器让伪造样本尽可能输出1，后面这一步不需要真实样本参与。

问题所在

然而，这个建模过程似乎对判别器的要求过于苛刻了，因为判别器是孤立运作的：训练生成器时，真实样本没有参与，所以判别器必须把关于真实样本的所有属性记住，这样才能指导生成器生成更真实的样本。

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这是一篇“散文”，我们来谈一下有着千丝万缕联系的三个东西：变分自编码器、信息瓶颈、正态分布。

众所周知，变分自编码器是一个很经典的生成模型，但实际上它有着超越生成模型的含义；而对于信息瓶颈，大家也许相对陌生一些，然而事实上信息瓶颈在去年也热闹了一阵子；至于正态分布，那就不用说了，它几乎跟所有机器学习领域都有或多或少的联系。

那么，当它们三个碰撞在一块时，又有什么样的故事可说呢？它们跟“遗忘”又有什么关系呢？

变分自编码器

在本博客你可以搜索到若干几篇介绍VAE的文章。下面简单回顾一下。

理论形式回顾

简单来说，VAE的优化目标是：
\begin{equation}KL(\tilde{p}(x)p(z|x)\Vert q(z)q(x|z))=\iint \tilde{p}(x)p(z|x)\log \frac{\tilde{p}(x)p(z|x)}{q(x|z)q(z)} dzdx\end{equation}
其中$q(z)$是标准正态分布，$p(z|x),q(x|z)$是条件正态分布，分别对应编码器、解码器。具体细节可以参考《变分自编码器（二）：从贝叶斯观点出发》。

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让我们不厌其烦地回顾一下：最小熵原理是一个无监督学习的原理，“熵”就是学习成本，而降低学习成本是我们的不懈追求，所以通过“最小化学习成本”就能够无监督地学习出很多符合我们认知的结果，这就是最小熵原理的基本理念。

这篇文章里，我们会介绍一种相当漂亮的聚类算法，它同样也体现了最小熵原理，或者说它可以通过最小熵原理导出来，名为InfoMap，或者MapEquation。事实上InfoMap已经是2007年的成果了，最早的论文是《Maps of random walks on complex networks reveal community structure》，虽然看起来很旧，但我认为它仍是当前最漂亮的聚类算法，因为它不仅告诉了我们“怎么聚类”，更重要的是给了我们一个“为什么要聚类”的优雅的信息论解释，并从这个解释中直接导出了整个聚类过程。

一个复杂有向图网络示意图。图片来自InfoMap最早的论文《Maps of random walks on complex networks reveal community structure》

当然，它的定位并不仅仅局限在聚类上，更准确地说，它是一种图网络上的“社区发现”算法。所谓社区发现（Community Detection），大概意思是给定一个有向/无向图网络，然后找出这个网络上的“抱团”情况，至于详细含义，大家可以自行搜索一下。简单来说，它跟聚类相似，但是比聚类的含义更丰富。（还可以参考《什么是社区发现?》）

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当前，说到深度学习中的对抗，一般会有两个含义：一个是生成对抗网络（Generative Adversarial Networks，GAN），代表着一大类先进的生成模型；另一个则是跟对抗攻击、对抗样本相关的领域，它跟GAN相关，但又很不一样，它主要关心的是模型在小扰动下的稳健性。本博客里以前所涉及的对抗话题，都是前一种含义，而今天，我们来聊聊后一种含义中的“对抗训练”。

本文包括如下内容：

1、对抗样本、对抗训练等基本概念的介绍；

2、介绍基于快速梯度上升的对抗训练及其在NLP中的应用；

3、给出了对抗训练的Keras实现（一行代码调用）；

4、讨论了对抗训练与梯度惩罚的等价性；

5、基于梯度惩罚，给出了一种对抗训练的直观的几何理解。

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类别不平衡问题，也叫“长尾问题”，是机器学习面临的常见问题之一，尤其是来源于真实场景下的数据集，几乎都是类别不平衡的。大概在两年前，笔者也思考过这个问题，当时正好对“互信息”相关的内容颇有心得，所以构思了一种基于互信息思想的解决办法，但又想了一下，那思路似乎过于平凡，所以就没有深究。然而，前几天在arxiv上刷到Google的一篇文章《Long-tail learning via logit adjustment》，意外地发现里边包含了跟笔者当初的构思几乎一样的方法，这才意识到当初放弃的思路原来还能达到SOTA的水平～于是结合这篇论文，将笔者当初的构思过程整理于此，希望不会被读者嫌弃“马后炮”。

问题描述

这里主要关心的是单标签的多分类问题，假设有$1,2,\cdots,K$共$K$个候选类别，训练数据为$(x,y)\sim\mathcal{D}$，建模的分布为$p_{\theta}(y|x)$，那么我们的优化目标是最大似然，或者说最小化交叉熵，即
\begin{equation}\mathop{\text{argmin}}_{\theta}\,\mathbb{E}_{(x,y)\sim\mathcal{D}}[-\log p_{\theta}(y|x)]\end{equation}

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