科学空间|Scientific Spaces

最近的我的主要学习是在研究路径积分，在推导路径积分的一种新的变换方法（或者是一个新的视角吧），但是有道坎还是迈不过去，因此blog中也一直更新寥寥。说到积分与微分，这两个本是互逆的东西，但是在复数的统一之下，它们两个去可以相互转化。比如说，薛定谔方程是量子力学的微分形式，而路径积分实际上可以说是量子力学的积分形式，这让我有些想法，是不是任何微分形式的数学都存在一个积分形式的版本呢？如果是，是微分版本优还是积分版本优？

在数学分析中，我们会感觉到求导会比求积分容易很多，求导有现成的公式等等。但是微分有个最大的缺点，它是多分量的，比如，势函数是一个标量，但是微分（求梯度）之后就变成了三分量的矢量（即作用力），多分量事实上是不好处理了，为了处理这类问题，又引入了大量的算符。积分的特点在于它的标量性，也许计算很复杂，但是思想确实容易把握的，我更喜欢积分形式的理论（比如作用量原理、路径积分等。）

说到数学分析中常见而又著名的定积分，不得不提到以下三角函数积分了。
$$\int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta d\theta$$
不难证明，它也等于
$$\int_0^{\pi/2} \cos^{2n} \theta d\theta$$

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快要学期末了，不少学霸开始忙碌起来了。不过对非学霸的我来说，基本上每天都是一样的，希望把自己感兴趣的东西深入研究下去，因为我觉得，真正学会点有用的东西才是最重要的。数学分析和高等代数老师都要求写课程论文，我也写了我比较感兴趣的“欧拉数学”和“超复数研究”，之后会把这部分内容与大家分享。

虽然学期已经接近尾声了，但是我们的课程还没有上完。事实上，我们的新课一直上到十八周~随着考试的接近，我们的《高等代数》课程也已经要落幕了。最近在上的是二次型方面的内容，讲到正定二次型和正定矩阵。关于正定矩阵的判别，教科书上提供了两个判别方法，一个是基于定义的初等变换，另外一个就是主子式法。前者无可厚非，但是后者我似乎难以理解——它虽然是正确的，但是它很丑，计算量又大。我还没有想清楚主子式法到底有什么好的？在我看来，本文所探讨的基于二次方程判别式的方法才是简单、快捷的。

正定二次型
所谓正定二次型，就是关于n个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数，只要$x_i$不全为0，它的值恒为正数。比如
$$2 x_1^2+x_2^2-2 x_1 x_2=x_1^2+(x_2-x_1)^2$$
这是一个比较简单的正定二次型，多元的还有
$$5 x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-8 x_1 x_3-4 x_2 x_3$$

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这是我的数学分析期末小论文，是之前的文章《[欧拉数学]找出严谨的答案》的补充与完善，也是我自己的Latex写作练习。文章举了一些例子来说明通过离散数学连续化为离散命题的证明带来思路。

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通常我们都认为具体的级数是比较容易分析的，而抽象级数则比较难把握思路。抽象级数题目的种类太多，为了熟练解题通常都需要记忆很多形式，而且这些形式通常都很单一，缺乏可拓展性。而运用“欧拉数学”，可以为我们解决数项级数题提供一个独特的、实用性广的思路。

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在文章《新理解矩阵3》：行列式的点滴中，笔者首次谈及到了行列式的几何意义，它代表了n维的“平行多面体”的“体积”。然而，这篇文章写于我初学矩阵之时，有些论述并不严谨，甚至有些错误。最近笔者在写期末论文的时候，研究了超复数的相关内容，而行列式的几何意义在我的超复数研究中具有重要作用，因此把行列式的几何意义重新研究了一翻，修正了部分错误，故发此文，与大家分享。

一个$n$阶矩阵$A$可以看成是$n$个$n$维列向量$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,...,\boldsymbol{x}_n$的集合
$$A=(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n)$$
从代数的角度来看，这构成了一个矩阵；从几何的角度来看，这$n$个向量可以建立一个平行$n$维体。比如：平行四边形就是“平行二维体”，平行六面体就是“平行三维体”，高阶的只需要相应类比，不需要真正想象出高维空间的立体是什么样。

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向量之间的运算有点积和叉积（Cross Product，向量积、外积），其中点积是比较简单的，而且很容易推广到高维；但是叉积不同，一般来说它只不过是三维空间中的东西。叉积的难以推广在于它的多重含义性，如果将向量及其叉积放到张量里边来看（这属于微分形式的内容），那么三维以上的向量叉积是不存在的；但是如果只是把叉积看成是“由两个向量生成第三个与其正交的向量”的工具的话，那么叉积也是可以高维推广的，而且推广的技巧非常巧妙，与三维空间的叉积也非常相似。

回顾三维空间

为了推广三维空间的叉积，首先回顾三维空间的叉积来源是有益的。叉积起源于四元数乘法，但是从目的性来讲，我们希望构造一个向量$\boldsymbol{w}=(w_1,w_2,w_3)$，使得它与已知的两个不共线的向量$\boldsymbol{u}=(u_1,u_2,u_3),\boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3)$垂直（正交）。从普适性的角度来讲，我们还希望构造出来的向量没有任何“奇点”，为此，我们只用乘法构造。至于叉积的几何意义，则是后话，毕竟，先达到基本的目的再说。

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2013年即将过去，而我的大二也即将过去一半了。这一学期广播台的事情忙了很多，数学物理的进展比想象中稍微缓了一些，主要的进步是在向量分析（场论）、路径积分和微分方程等方面。下学期开始分流了，我选择了非师，但事实上，我更喜欢师范类的课程，我选择非师的唯一原因是选择师范需要修教育学和心理学。幸好，我们创新班的自由度比较多，可以自由选择下学期的课程，我选择了六门数学课程：

1、常微分方程；
2、复变函数；
（这两门纯粹是凑学分的，我觉得他能讲的东西我都懂了，而我认为很重要的部分他不讲...）
3、数理统计；
（这门主要的想法是为路径积分以及统计力学奠基）
4、微分几何；
（主要是广义相对论的奠基，还有理论物理形式）
5、偏微分方程；
（第4、5都是大三的课程，我是去跟大三一起上的）
6、离散数学。

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在线阅读地址：
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/

刚在浏览《朗道集结号》的微博时，发现了这一造福大众的消息。难得的是，这个在线版通过MathJax使用Latex排版，阅读效果完全丝毫不输于纸质版的，还可以自由复制。只是遗憾只有英文版的，也许有一天心血来潮，我也弄个在线的中文版出来，呵呵。一切皆有可能。

费曼的物理讲义是一套地地道道的物理书，它是一次美妙的物理之旅。纵使你可能已经读过相当多的物理教材，但是读读费曼的讲义还是大有裨益的，它给我们讲述了什么才是物理，怎么才能学物理。

作为量子理论的一个重要定理，不确定性原理总是伴随着物理意义出现的，但是从数学的角度来讲，把不确定性原理的数学形式抽象出来，有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。

本文中，我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是，不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中，厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵；而所谓厄密矩阵，就是一个矩阵同时取共轭和转置之后，等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况，那就是n维实矩阵，n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。

设$\boldsymbol{x}$是一个$n$维单位向量，即$|\boldsymbol{x}|=1$，而$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中，$\boldsymbol{x}$就是波函数，但是在这里，它只不过是一个单位实向量；并记$\boldsymbol{I}$是$n$阶单位阵。

考虑
$$\bar{A}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\bar{B}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}$$
从这些记号可以看出，这些量对应着可观测量的期望值。当然，如果不懂量子力学，可以只看上面的矩阵形式。

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