30
Jul
变分法的一个技巧及其“误用”
By 苏剑林 | 2013-07-30 | 35296位读者 | 引用不可否认，变分法是非常有用而绝妙的一个数学工具，它“自动地”为我们在众多函数中选出了最优的一个，而免除了具体的分析过程。物理中的最小作用量原理则让变分法有了巨大的用武之地，并反过来也推动了变分法的发展。但是变分法的一个很明显的特点就是在大多数情况下计算相当复杂，甚至如果“蛮干”的话我们几乎连微分方程组都列不出来。因此，一些有用的技巧是很受欢迎的。本文就打算介绍这样的一个小技巧，来让某些变分问题得到一定的化简。
我是怎么得到这个技巧的呢？事实上，那是几个月前我在阅读《引力与时空》时，读到变分原理那一块时我怎么也读不懂，想不明白。明明我觉得是错误的东西，为什么可以得到正确的结果？我的数学直觉告诉我绝对是作者的错，可是我又想不出作者哪里错了，所以就一直把这个问题搁置着。最近我终于得到了自己比较满意的答案，并且窃认为是本文所要讲的这个技巧却被物理学家“误用”了。
技巧
首先来看通常我们是怎么处理变分问题的，以一元函数为例，对于求
$$S=\int L(x,\dot{x},t)dt$$
8
Aug
CreaWriter，惬意创作！
By 苏剑林 | 2013-08-08 | 19444位读者 | 引用
本文我们来探讨下列积分的极值曲线：
$$S=\int f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}=\int f(x,y)ds$$
这本质上也是一个短程线问题。但是它形式比较简答，物理含义也更加明显。比如，如果$f(x,y)$是势函数的话，那么这就是一个求势能最小的二维问题；如果$f(x,y)$是摩擦力函数，那么这就是寻找摩擦力最小的路径问题。不管是哪一种，该问题都有相当的实用价值。下面将其变分：
$$\begin{aligned} \delta S =&\int \delta[f(x,y)\sqrt{dx^2+dy^2}] \\ =&\int [ds\delta f(x,y)+f(x,y)\frac{\delta (dx^2+dy^2)}{2ds}]\\ =&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx d(\delta x)+dy d(\delta y)}{ds} \\=&\int ds(\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial}{\partial y}\delta y)+f \frac{dx}{ds} d(\delta x)+\frac{dy}{ds} d(\delta y) \end{aligned}$$
31
Aug
暑假结束了，上学去~
By 苏剑林 | 2013-08-31 | 21058位读者 | 引用一个多月的暑假已经结束了，又回到了学校来。准确地说，昨天已经来到了学校，只是着搞卫生、社团等工作，无暇到blog上写点什么。早晨起来，一时无聊，就随便唠叨几句。
暑假就这样过去了，这也意味着大一完全过去了，我已经成为了师兄。曾不止一次感叹“光阴似箭，日月如梭”，而我越发地体味到这一点。不少人到了大学之后才明白高中生活的美好，而我有点不同，我在高中已经懂得大学并没有我们想象中的完美，所以我对大学和高中都抱有同样的眷恋和期待。大一过去了，从外边看来，我唯一的变化就是瘦了，沧桑了吧。还记得时隔一年的体检，我的体重居然少了十斤，以至于让我不得不怀疑那个秤的准确性；还记得多少次被小孩子喊做“叔叔”，被师兄称作“师兄”......
9
Sep
[欧拉数学]找出严谨的答案
By 苏剑林 | 2013-09-09 | 18510位读者 | 引用在之前的一些文章中，我们已经谈到过欧拉数学。总体上来讲，欧拉数学就是具有创造性的、直觉性的技巧和方法，这些方法能够推导出一些漂亮的结果，而方法本身却并不严密。然而，在很多情况下，严密与直觉只是一步之遥。接下来要介绍的是我上学期《数学分析》期末考的一道试题，而我解答这道题的灵感来源便是“欧拉数学”。
数列${a_n}$是递增的正数列，求证：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)$收敛等价于${a_n}$收敛。
据说参考答案给出的方法是利用数列的柯西收敛准则，我也没有仔细去看，我在探索自己的更富有直觉型的方法。这就是所谓的“I do not understand what I can not create.”。下面是我的思路。
转山
刚看完了电影《转山》，挺感动的，总觉得好像不写点东西就对不起这部电影了。
这还需要从上学期选公选课谈起。上学期我选择的公选课是数据库，而体育课则是太极，接近期末考的时候又重新选公选课了，我想选修一门轻松点、惬意点的课程，刚开始是选择了书法，后来看到了“自行车出行与户外旅游”，有点心动，再看上课老师，原来就是我们的太极老师，上了一学期的太极，跟他有些熟悉，也觉得他很好相处，就觉得选择这门课程了。
上一周二是这门课程是第一次课，老师讲得很精彩，而事实上，我唯一能够全程专心听课的就只有两门课程，一门就是这个公选课，另外就是马克思列宁主义（奇怪吧？确实是，马列老师讲得真的很精彩，我几乎没有分过神）。《转山》这部电影也是上公选课的时候老师推荐的，是根据同名小说改编的。大体的情节是一个台湾年轻人，只身踏上骑自行车从丽江到拉萨的旅途。影片描绘了他路上的崎岖行程，描绘了一路上的风土人情，让人颇为深刻。
22
Sep
一个人的数学建模：碎纸复原
By 苏剑林 | 2013-09-22 | 37244位读者 | 引用
suizhiji
笔者一直无心参加数学竞赛，主要原因是我喜欢能够持续深入地思考一个问题，而不想被竞赛的时间限制所束缚。我并不是一个机灵的人，因此很难有竞赛所需要的“灵光一现”。大概一个多星期前全国数学建模的预赛开始了，我也饶有兴致地关注了一下，并且留意到了B题这道有趣的题目——碎纸复原，然后就开始思考算法了。那时候应该是9月13日中午，我开始了一个人的数学建模，“一个人”并不是说我一个人就组成一支队了，而是我一个人自由高效地在构思算法、摸索代码，不为比赛，只为达到目的，那种兴奋一直持续到了当晚凌晨三点。
26
Sep
数学基本技艺(A Mathematical Trivium)
By 苏剑林 | 2013-09-26 | 22473位读者 | 引用这是Arnold给物理系学生出的基础数学题。原文是Arnold于1991年，在Russian Math Surveys 46:1(1991),271-278上发的一篇文章，英文名叫 A mathematical trivium，这篇文章是有个前言的，用两页纸的内容吐槽了1991年的学生数学学得很烂，尤其是物理系的。文后附了100道数学题，号称是物理系学生的数学底线。
这是给物理系出的数学题，所以和一般的数学竞赛题目不同，没太多证明题，主要就是计算和解模型，而且还有不少近似估算的，带有明显的物理风格。虽然作者说这是物理系学生数学的底线，但即使对于数学系的学生来说，这些题目还是有不少难度的。网络也有一些题目的答案，但是都比较零散。在这里与大家分享一下题目。什么时候有时间了，或者刚好碰到类似的研究，我也会把题目做做，与各位分享。希望有兴趣的朋友做了之后也把答案与大家交流呀。
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