结果恒为整数的多项式
By 苏剑林 | 2014-12-04 | 23138位读者 | 引用昨晚上初等数论的时候,有这么一道题
求证
$$\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+\frac{7}{15}x$$
恒为整数,其中$x$是一个整数。
更一般地,可以得到
$$\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p}x^p + \left(1-\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p}\right)x$$
恒为整数,其中$\mathbb{P}$是有限个素数的集合,还有更多整数值函数问题。要证明这些函数的值恒为整数,可以通过同余分析,证明分子总能被分母整除。但是,更妙的、同时往往会更简单的方法是,将结果赋予必然为整数的意义——可以是计算上的,也可以是操作上的。
迟到一年的建模:再探碎纸复原
By 苏剑林 | 2014-12-18 | 80885位读者 | 引用前言:一年前国赛的时候,很初级地做了一下B题,做完之后还写了个《碎纸复原:一个人的数学建模》。当时就是对题目很有兴趣,然后通过一天的学习,基本完成了附件一二的代码,对附件三也只是有个概念。而今年我们上的数学建模课,老师把这道题作为大作业让我们做,于是我便再拾起了一年前的那份激情,继续那未完成的一个人的数学建模...
与去年不同的是,这次将所有代码用Python实现了,更简洁,更清晰,甚至可能更高效~~以下是论文全文。
研究背景
2011年10月29日,美国国防部高级研究计划局(DARPA)宣布了一场碎纸复原挑战赛(Shredder Challenge),旨在寻找到高效有效的算法,对碎纸机处理后的碎纸屑进行复原。[1]该竞赛吸引了全美9000支参赛队伍参与角逐,经过一个多月的时间,有一支队伍成功完成了官方的题目。
近年来,碎纸复原技术日益受到重视,它显示了在碎片中“还原真相”的可能性,表明我们可以从一些破碎的片段中“解密”出原始信息来。另一方面,该技术也和照片处理领域中的“全景图拼接技术”有一定联系,该技术是指通过若干张不同侧面的照片,合成一张完整的全景图。因此,分析研究碎纸复原技术,有着重要的意义。
有限素域上的乘法群是循环群
By 苏剑林 | 2015-01-20 | 80468位读者 | 引用对于任意的素数$p$,集合$\mathbb{Z}_p=\{0,1,2,\dots,p-1\}$在模$p$的加法和乘法之下,构成一个域,这是学过抽象代数或者初等数论的读者都会知道的一个事实。其中,根据域的定义,$\mathbb{Z}_p$首先要在模$p$的加法下成为一个交换群,而且由于$\mathbb{Z}_p$的特殊性,它还是一个循环群,这也是比较平凡的事实。但是,考虑乘法呢?
首先,$0$是没有逆元的,我们考虑乘法,是在$\mathbb{Z}^\cdot _p=\mathbb{Z}_p \verb|\| \{0\}=\{1,2,\dots,p-1\}$上考虑的。如果我说,$\mathbb{Z}^\cdot _p$在模$p$之下的乘法也作成一个循环群,这结论就不是很平凡的了!然而这确实是事实,对于所有的素数$p$均成立。而有了这事实,数论中的一些结论就会相当显然了,比如当$d\mid (p-1)$时,$\mathbb{Z}_p$中的$d$次剩余就只有$\frac{p-1}{d}$个了,这是循环群的基本结论。
在《数学天书中的证明》一书中,有该结论的一个证明,但这个证明是存在性的,而我在另外一本书上也看到过类似的存在性证明,也就是说,似乎流行的证明都是存在性的,它告诉我们$\mathbb{Z}^\cdot _p$是一个循环群,但是没告诉我们怎么找到它的生成元。而事实上,高斯在他的《算术探索》中就给出了一个构造性的证明。(在数论中,本文的结论是“原根”那一章的基本知识。)下面笔者正是要重复高斯的证明,供读者参考。
你所没有思考过的平行线问题
By 苏剑林 | 2015-03-17 | 35177位读者 | 引用本文的主题是平行线,了解数学的朋友可能会想我会写有关非欧几何的内容。但这次不是,本文的内容纯粹是我们从小就开始学习的欧氏几何,基于“欧几里得第五公设”(又称平行公设)。但即便是从小就学习的欧氏几何中的平行线,也许里边的很多问题我们都没有思考清楚。因为平行是几何中非常基本的情形,因此,在讨论这种基本命题的时候,相当容易会出现循环论证、甚至本末倒置的情况。
我们从初中开始就被灌输“同位角相等,两直线平行”、“内错角相等,两直线平行”之类的平行线判断法则,当然,还少不了的是“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”。但是,这些内容之中,有多少是基本的公理,有多少是可以证明的,该如何证明,我想很多人都理解不清楚,我自己也没有一个很好的答案。那些在初中教授平行线的老师们,估计也没多少个能够把它说清楚的。后来我发现,我居然不会证明“同位角相等,两直线平行”,“欧几里得第五公设”好像并没有告诉我们这个判定法则呀。于是,我翻看了一下初中的数学教科书,发现原来当初“同位角相等,两直线平行”这一判定法则是不加证明地让我们接受的,无怪乎我怎么也想不到关于这一法则的简单的证明...
于是,我想写这篇文章,为大家理解平行线的整个逻辑提供一点参考。
寻求一个光滑的最大值函数
By 苏剑林 | 2015-05-02 | 128225位读者 | 引用在最优化问题中,求一个函数的最大值或最小值,最直接的方法是求导,然后比较各阶极值的大小。然而,我们所要优化的函数往往不一定可导,比如函数中含有最大值函数$\max(x,y)$的。这时候就得求助于其他思路了。有一个很巧妙的思路是,将这些不可导函数用一个可导的函数来近似它,从而我们用求极值的方法来求出它近似的最优值。本文的任务,就是探究一个简单而有用的函数,它能够作为最大值函数的近似,并且具有多阶导数。下面是笔者给出的一个推导过程。
在数学分析中,笔者已经学习过一个关于最大值函数的公式,即当$x \geq 0, y \geq 0$时,我们有
$$\max(x,y)=\frac{1}{2}\left(|x+y|+|x-y|\right)\tag{1}$$
那么,为了寻求一个最大值的函数,我们首先可以考虑寻找一个能够近似表示绝对值$|x|$的函数,这样我们就把问题从二维降低到一维了。那么,哪个函数可以使用呢?
采样定理:有限个点构建出整个函数
By 苏剑林 | 2015-04-16 | 30490位读者 | 引用假设我们在听一首歌,那么听完这首歌之后,我们实际上在做这样的一个过程:耳朵接受了一段时间内的声波刺激,从而引起了大脑活动的变化。而这首歌,也就是这段时间内的声波,可以用时间$t$的函数$f(t)$描述,这个函数的区间是有限的,比如$t\in[0,T]$。接着假设另外一个场景——我们要用电脑录下我们唱的歌。这又是怎样一个过程呢?要注意电脑的信号是离散化的,而声波是连续的,因此,电脑要把歌曲记录下来,只能对信号进行采样记录。原则上来说,采集的点越多,就能够越逼真地还原我们的歌声。可是有一个问题,采集多少点才足够呢?在信息论中,一个著名的“采样定理”(又称香农采样定理,奈奎斯特采样定理)告诉我们:只需要采集有限个样本点,就能够完整地还原我们的输入信号来!
采集有限个点就能够还原一个连续的函数?这是怎么做到的?下面我们来解释这个定理。
任意给定一个函数,一般来说我们都可以将它做傅里叶变换:
$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{i\omega t}dt\tag{1}$$
虽然我们的积分限写了正负无穷,但是由于$f(t)$是有限区间内的函数,所以上述积分区间实际上是有限的。
记录一次爬取淘宝/天猫评论数据的过程
By 苏剑林 | 2015-05-06 | 167597位读者 | 引用笔者最近迷上了数据挖掘和机器学习,要做数据分析首先得有数据才行。对于我等平民来说,最廉价的获取数据的方法,应该是用爬虫在网络上爬取数据了。本文记录一下笔者爬取天猫某商品的全过程,淘宝上面的店铺也是类似的做法,不赘述。主要是分析页面以及用Python实现简单方便的抓取。
笔者使用的工具如下
Python 3——极其方便的编程语言。选择3.x的版本是因为3.x对中文处理更加友好。
Pandas——Python的一个附加库,用于数据整理。
IE 11——分析页面请求过程(其他类似的流量监控工具亦可)。
剩下的还有requests,re,这些都是Python自带的库。
实例页面(美的某热水器):http://detail.tmall.com/item.htm?id=41464129793
It is time.
By 苏剑林 | 2015-05-24 | 53620位读者 | 引用终于可以缓一缓了~~
有留意科学空间的朋友可能发现这段时间更新比较缓慢,这一切还得从今年寒假说起...
今年一月底,由于各种原因,结合自己的兴趣,我找了一份实习工作,内容是Python编程。工作是在华南理工大学的论坛上发布的,说的比较简洁,我也比较简洁地投了简历过去,想不到收到回复了,也被录用了。二月上班,进去之后,才发现原来公司还是一家国内比较知名的电商企业,我的主要工作是数据挖掘...虽然我有一点Python的经验,但是数据挖掘基本上不在行的,所以只能够边工作边学习,疯狂恶补数据挖掘的知识。在这个过程中,我学会了很多关于数据挖掘的东西,要知道,在这之前,我不知道什么叫“特征”,什么是“逻辑回归”、“SVM”...那时候真是万千无知。
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