农村的孩子免不了常做家务,当然我家也没有什么特别沉重的家务,通常都是扫地、做饭、洗菜这些简单的活儿。说到洗菜,洗完菜后总喜欢边放水边搅水,然后就在水面上形成一个颇为有趣的漩涡。现在我们从数学物理的角度来分析一下这个漩涡。
在讲洗手盆的漩涡之前,我们先来看一下一个比较类似的、更古老的问题——牛顿的旋转液面问题。牛顿假设有一个水桶(假设为圆柱形吧,但这不重要),水桶在绕自己的中轴线匀角速度旋转,直到桶内的水也随着匀角速度旋转(即水与水桶相对静止),此时水的液面形状是凹的,我们来看看该液面的形状。
牛顿的水桶
要分析形状,我们还要回顾之前提到过的流体静力学平衡:
http://kexue.fm/archives/1964/
《虚拟的实在(4)》——质量是什么
By 苏剑林 | 2013-07-22 | 56419位读者 | 引用笔者很少会谈到定义性的东西,原因很简单,因为我也不见得会比大家清楚,或者说也未必比大家所知道的准确。不过,刚刚与同好讨论过与质量相关的问题,就跟大家分享一下。
最初的问题是能量能不能转化为物质,我觉得根据$E=mc^2$,是显然可以的,例子嘛,我首先想到在量子场论中的真空是会不断产生和湮灭正负电子对的,因此这可以作为一个证据。但是这个感觉上太遥远了,所以我在互联网搜索了一下,不过搜到的内容大同小异:
当辐射光子能量足够高时,在它从原子核旁边经过时,在核库仑场作用下,辐射光子可能转化成一个正电子和一个负电子,这种过程称作电子对效应。
(正负电子对效应)
【翻译】星空之夜:夏季恒星的色彩
By 苏剑林 | 2013-07-25 | 31739位读者 | 引用暑假结束了,上学去~
By 苏剑林 | 2013-08-31 | 21898位读者 | 引用一个多月的暑假已经结束了,又回到了学校来。准确地说,昨天已经来到了学校,只是着搞卫生、社团等工作,无暇到blog上写点什么。早晨起来,一时无聊,就随便唠叨几句。
暑假就这样过去了,这也意味着大一完全过去了,我已经成为了师兄。曾不止一次感叹“光阴似箭,日月如梭”,而我越发地体味到这一点。不少人到了大学之后才明白高中生活的美好,而我有点不同,我在高中已经懂得大学并没有我们想象中的完美,所以我对大学和高中都抱有同样的眷恋和期待。大一过去了,从外边看来,我唯一的变化就是瘦了,沧桑了吧。还记得时隔一年的体检,我的体重居然少了十斤,以至于让我不得不怀疑那个秤的准确性;还记得多少次被小孩子喊做“叔叔”,被师兄称作“师兄”......
[欧拉数学]找出严谨的答案
By 苏剑林 | 2013-09-09 | 19285位读者 | 引用在之前的一些文章中,我们已经谈到过欧拉数学。总体上来讲,欧拉数学就是具有创造性的、直觉性的技巧和方法,这些方法能够推导出一些漂亮的结果,而方法本身却并不严密。然而,在很多情况下,严密与直觉只是一步之遥。接下来要介绍的是我上学期《数学分析》期末考的一道试题,而我解答这道题的灵感来源便是“欧拉数学”。
数列${a_n}$是递增的正数列,求证:$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)$收敛等价于${a_n}$收敛。
据说参考答案给出的方法是利用数列的柯西收敛准则,我也没有仔细去看,我在探索自己的更富有直觉型的方法。这就是所谓的“I do not understand what I can not create.”。下面是我的思路。
刚看完了电影《转山》,挺感动的,总觉得好像不写点东西就对不起这部电影了。
这还需要从上学期选公选课谈起。上学期我选择的公选课是数据库,而体育课则是太极,接近期末考的时候又重新选公选课了,我想选修一门轻松点、惬意点的课程,刚开始是选择了书法,后来看到了“自行车出行与户外旅游”,有点心动,再看上课老师,原来就是我们的太极老师,上了一学期的太极,跟他有些熟悉,也觉得他很好相处,就觉得选择这门课程了。
上一周二是这门课程是第一次课,老师讲得很精彩,而事实上,我唯一能够全程专心听课的就只有两门课程,一门就是这个公选课,另外就是马克思列宁主义(奇怪吧?确实是,马列老师讲得真的很精彩,我几乎没有分过神)。《转山》这部电影也是上公选课的时候老师推荐的,是根据同名小说改编的。大体的情节是一个台湾年轻人,只身踏上骑自行车从丽江到拉萨的旅途。影片描绘了他路上的崎岖行程,描绘了一路上的风土人情,让人颇为深刻。
一个人的数学建模:碎纸复原
By 苏剑林 | 2013-09-22 | 38634位读者 | 引用用二次方程判别式判断正定矩阵
By 苏剑林 | 2013-12-24 | 57177位读者 | 引用快要学期末了,不少学霸开始忙碌起来了。不过对非学霸的我来说,基本上每天都是一样的,希望把自己感兴趣的东西深入研究下去,因为我觉得,真正学会点有用的东西才是最重要的。数学分析和高等代数老师都要求写课程论文,我也写了我比较感兴趣的“欧拉数学”和“超复数研究”,之后会把这部分内容与大家分享。
虽然学期已经接近尾声了,但是我们的课程还没有上完。事实上,我们的新课一直上到十八周~随着考试的接近,我们的《高等代数》课程也已经要落幕了。最近在上的是二次型方面的内容,讲到正定二次型和正定矩阵。关于正定矩阵的判别,教科书上提供了两个判别方法,一个是基于定义的初等变换,另外一个就是主子式法。前者无可厚非,但是后者我似乎难以理解——它虽然是正确的,但是它很丑,计算量又大。我还没有想清楚主子式法到底有什么好的?在我看来,本文所探讨的基于二次方程判别式的方法才是简单、快捷的。
正定二次型
所谓正定二次型,就是关于n个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数,只要$x_i$不全为0,它的值恒为正数。比如
$$2 x_1^2+x_2^2-2 x_1 x_2=x_1^2+(x_2-x_1)^2$$
这是一个比较简单的正定二次型,多元的还有
$$5 x_1^2+x_2^2+5 x_3^2+4 x_1 x_2-8 x_1 x_3-4 x_2 x_3$$
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