科学空间|Scientific Spaces

随机采样的KNN样本

对于NLP来说，互信息是一个非常重要的指标，它衡量了两个东西的本质相关性。本博客中也多次讨论过互信息，而我也对各种利用互信息的文章颇感兴趣。前几天在机器之心上看到了最近提出来的Deep INFOMAX模型，用最大化互信息来对图像做无监督学习，自然也颇感兴趣，研读了一番，就得到了本文。

本文整体思路源于Deep INFOMAX的原始论文，但并没有照搬原始模型，而是按照这自己的想法改动了模型（主要是先验分布部分），并且会在相应的位置进行注明。

我们要做什么

自编码器

特征提取是无监督学习中很重要且很基本的一项任务，常见形式是训练一个编码器将原始数据集编码为一个固定长度的向量。自然地，我们对这个编码器的基本要求是：保留原始数据的（尽可能多的）重要信息。

我们怎么知道编码向量保留了重要信息呢？一个很自然的想法是这个编码向量应该也要能还原出原始图片出来，所以我们还训练一个解码器，试图重构原图片，最后的loss就是原始图片和重构图片的mse。这导致了标准的自编码器的设计。后来，我们还希望编码向量的分布尽量能接近高斯分布，这就导致了变分自编码器。

重构的思考

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前言：去年写过一篇WGAN-GP的入门读物《互怼的艺术：从零直达WGAN-GP》，提到通过梯度惩罚来为WGAN的判别器增加Lipschitz约束（下面简称“L约束”）。前几天遐想时再次想到了WGAN，总觉得WGAN的梯度惩罚不够优雅，后来也听说WGAN在条件生成时很难搞（因为不同类的随机插值就开始乱了...），所以就想琢磨一下能不能搞出个新的方案来给判别器增加L约束。

闭门造车想了几天，然后发现想出来的东西别人都已经做了，果然是只有你想不到，没有别人做不到。主要包含在这两篇论文中：《Spectral Norm Regularization for Improving the Generalizability of Deep Learning》和《Spectral Normalization for Generative Adversarial Networks》。

所以这篇文章就按照自己的理解思路，对L约束相关的内容进行简单的介绍。注意本文的主题是L约束，并不只是WGAN。它可以用在生成模型中，也可以用在一般的监督学习中。

L约束与泛化

扰动敏感

记输入为$x$，输出为$y$，模型为$f$，模型参数为$w$，记为
$$\begin{equation}y = f_w(x)\end{equation}$$
很多时候，我们希望得到一个“稳健”的模型。何为稳健？一般来说有两种含义，一是对于参数扰动的稳定性，比如模型变成了$f_{w+\Delta w}(x)$后是否还能达到相近的效果？如果在动力学系统中，还要考虑模型最终是否能恢复到$f_w(x)$；二是对于输入扰动的稳定性，比如输入从$x$变成了$x+\Delta x$后，$f_w(x+\Delta x)$是否能给出相近的预测结果。读者或许已经听说过深度学习模型存在“对抗攻击样本”，比如图片只改变一个像素就给出完全不一样的分类结果，这就是模型对输入过于敏感的案例。

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大家都知道，BERT的MLM（Masked Language Model）任务在预训练和微调时的不一致，也就是预训练出现了[MASK]而下游任务微调时没有[MASK]，是经常被吐槽的问题，很多工作都认为这是影响BERT微调性能的重要原因，并针对性地提出了很多改进，如XL-NET、ELECTRA、MacBERT等。本文我们将从Dropout的角度来分析MLM的这种不一致性，并且提出一种简单的操作来修正这种不一致性。

同样的分析还可以用于何凯明最近提出的比较热门的MAE（Masked Autoencoder）模型，结果是MAE相比MLM确实具有更好的一致性，由此我们可以引出一种可以能加快训练速度的正则化手段。

Dropout

首先，我们重温一下Dropout。从数学上来看，Dropout是通过伯努利分布来为模型引入随机噪声的操作，所以我们也简单复习一下伯努利分布。

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缘起

前几天在量子位公众号上看到了《这个脑洞清奇的对联AI，大家都玩疯了》一文，觉得挺有意思，难得的是作者还整理并公开了数据集，所以决定自己尝试一下。

动手

“对对联”，我们可以看成是一个句子生成任务，可以用seq2seq完成，跟笔者之前写的《玩转Keras之seq2seq自动生成标题》一样，稍微修改一下输入即可。上面提到的文章所用的方法也是seq2seq，可见这算是标准做法了。

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今天我们来谈一下Wasserstein散度，简称“W散度”。注意，这跟Wasserstein距离（Wasserstein distance，简称“W距离”，又叫Wasserstein度量、Wasserstein metric）是不同的两个东西。

本文源于论文《Wasserstein Divergence for GANs》，论文中提出了称为WGAN-div的GAN训练方案。这是一篇我很是欣赏却默默无闻的paper，我只是找文献时偶然碰到了它。不管英文还是中文界，它似乎都没有流行起来，但是我感觉它是一个相当漂亮的结果。

WGAN-div的部分样本（2w iter）

如果读者需要入门一下WGAN的相关知识，不妨请阅读拙作《互怼的艺术：从零直达WGAN-GP》。

WGAN

我们知道原始的GAN（SGAN）会有可能存在梯度消失的问题，因此WGAN横空出世了。

W距离

WGAN引入了最优传输里边的W距离来度量两个分布的距离：
\begin{equation}W_c[\tilde{p}(x), q(x)] = \inf_{\gamma\in \Pi(\tilde{p}(x), q(x))} \mathbb{E}_{(x,y)\sim \gamma}[c(x,y)] \end{equation}
这里的$\tilde{p}(x)$是真实样本的分布，$q(x)$是伪造分布，$c(x,y)$是传输成本，论文中用的是$c(x,y)=\Vert x-y\Vert$；而$\gamma\in \Pi(\tilde{p}(x), q(x))$的意思是说：$\gamma$是任意关于$x, y$的二元分布，其边缘分布则为$\tilde{p}(x)$和$q(y)$。直观来看，$\gamma$描述了一个运输方案，而$c(x,y)$则是运输成本，$W_c[\tilde{p}(x), q(x)]$就是说要找到成本最低的那个运输方案所对应的成本作为分布度量。

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不知道从什么时候开始，我发现我也掉到了GAN的大坑里边了，唉，争取早日能跳出来...

这篇博客介绍的是我最近提交到arxiv的一个关于GAN的新框架，里边主要介绍了一种对概率散度的新理解，并且基于这种理解推导出了一个新的GAN。整篇文章比较偏理论，对这个GAN的相关性质都做了完整的论证，自认为是一个理论完备的结果。

文章链接：https://papers.cool/arxiv/1811.07296

先摆结论：

1、论文提供了一种分析和构造概率散度的直接思路，从而简化了构建新GAN框架的过程。

2、推导出了一个称为GAN-QP的GAN框架$\eqref{eq:gan-gp-gd}$，这个GAN不需要像WGAN那样的L约束，又不会有SGAN的梯度消失问题，实验表明它至少有不逊色于、甚至优于WGAN的表现。

GAN-QP效果图

论文的实验最大做到了512x512的人脸生成（CelebA HQ），充分表明了模型的有效性（效果不算完美，但是模型特别简单）。有兴趣的朋友，欢迎继续阅读下去。

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这是一篇“散文”，我们来谈一下有着千丝万缕联系的三个东西：变分自编码器、信息瓶颈、正态分布。

众所周知，变分自编码器是一个很经典的生成模型，但实际上它有着超越生成模型的含义；而对于信息瓶颈，大家也许相对陌生一些，然而事实上信息瓶颈在去年也热闹了一阵子；至于正态分布，那就不用说了，它几乎跟所有机器学习领域都有或多或少的联系。

那么，当它们三个碰撞在一块时，又有什么样的故事可说呢？它们跟“遗忘”又有什么关系呢？

变分自编码器

在本博客你可以搜索到若干几篇介绍VAE的文章。下面简单回顾一下。

理论形式回顾

简单来说，VAE的优化目标是：
\begin{equation}KL(\tilde{p}(x)p(z|x)\Vert q(z)q(x|z))=\iint \tilde{p}(x)p(z|x)\log \frac{\tilde{p}(x)p(z|x)}{q(x|z)q(z)} dzdx\end{equation}
其中$q(z)$是标准正态分布，$p(z|x),q(x|z)$是条件正态分布，分别对应编码器、解码器。具体细节可以参考《变分自编码器（二）：从贝叶斯观点出发》。

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最近把优化算法跟动力学结合起来思考得越来越起劲了，这是优化算法与动力学系列的第三篇，我有预感还会有第4篇，敬请期待～

简单来个剧情回顾：第一篇中我们指出了其实SGD相当于常微分方程（ODE）的数值解法：欧拉法；第二篇我们还是数值解法的误差分析的角度，分析了为什么可以通过梯度来调节学习率，因此也就解释了RMSprop、Adam等算法中，用梯度调节学习率的原理。

本文将给出一个更统一的观点来看待这两个事情，并且试图回答一个更本质的问题：为什么是梯度下降？

（注：本文的讨论没有涉及到动量加速部分。）

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