科学空间|Scientific Spaces

测地线

黎曼度量应该是不难理解的，在微分几何的教材中，我们就已经学习过曲面的“第一基本形式”了，事实上两者是同样的东西，只不过看待问题的角度不同，微分几何是把曲面看成是三维空间中的二维子集，而黎曼几何则是从二维曲面本身内蕴地研究几何问题。

几何关心什么问题呢？事实上，几何关心的是与变换无关的“客观实体”（或者说是在变换之下不变的东西），这也是几何的定义。根据Klein提出的《埃尔朗根纲领》，几何就是研究在某种变换（群）下的不变性质的学科。如果把变换局限为刚性变换（平移、旋转、反射），那么就是欧式几何；如果变换为一般的线性变换，那就是仿射几何。而黎曼几何关心的是与一切坐标都无关的客观实体。比如说，我有一个向量，方向和大小都确定了，在直角坐标系是$(1, 1)$，在极坐标系是$(\sqrt{2}, \pi/4)$，虽然两个坐标系下的分量不同，但它们都是指代同一个向量。也就是说向量本身是客观存在的实体，跟所使用的坐标无关。从代数层面看，就是只要能够通过某种坐标变换相互得到的，我们就认为它们是同一个东西。

因此，在学习黎曼几何时，往“客观实体”方向思考，总是有益的。

平面上的测地线

有了度规，可以很自然地引入“测地线”这一实体。狭义来看，它就是两点间的最短线——是平直空间的直线段概念的推广（实际的测地线不一定是最短的，但我们先不纠结细节，而且这不妨碍我们理解它，因为测地线至少是局部最短的）。不难想到，只要两点确定了，那么不管使用什么坐标，两点间的最短线就已经确定了，因此这显然是一个客观实体。有一个简单的类比，就是不管怎么坐标变换，一个函数$f(x)$的图像极值点总是确定的——不管你变还是不变，它就在那儿，不偏不倚。

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黎曼几何在广义相对论中的体现和应用，虽然不能说家喻户晓，但想必大部分读者都有所听闻。一谈到黎曼几何在物理学中的应用，估计大家的第一反应就是广义相对论。常见的观点是，广义相对论的发现大大推动了黎曼几何的发展。诚然，这是事实，然而，大多数人不知道的事，哪怕经典的牛顿力学中，也有黎曼几何的身影。

本文要谈及的内容，就是如何将力学几何化，从而使用黎曼几何的概念来描述它们。整个过程事实上是提供了一种框架，它可以将不少其他领域的理论纳入到黎曼几何体系中。

黎曼几何的出发点就是黎曼度量，通过黎曼度量可以通过变分得到测地线。从这个意义上来看，黎曼度量提供了一个变分原理。那反过来，一个变分原理，能不能提供一个黎曼度量呢？众所周知，不少学科的基础原理都可以归结为一个极值原理，而有了极值原理就不难导出变分原理（泛函极值），如物理中就有最小作用量原理、最小势能原理，概率论中有最大熵原理，等等。如果有一个将变分原理导出黎曼度量的方法，那么就可以用几何的方式来描述它。幸运的是，对于二次型的变分原理，是可以做到的。

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写在前面

在《理解黎曼几何》系列，笔者分享了一些黎曼几何的“几何”心得，同时遗留了一个问题：怎么真正地去算黎曼张量？MTW的《引力论》中提到了一种基于外微分的方法，可是我不熟悉外微分，遂学习了一番。确实，是《引力论》中快捷计算曲率张量的步骤让笔者决定深入了解外微分的。果然，可观的效益是第一推动力。

这系列文章主要分享一些外微分的学习心得，曾经过多次修改和完善，包含的内容很多，比如外积、活动标架、外微分及其在黎曼几何的一些应用等，最后包括一种计算曲率的有效方式。

符号说明：在本系列中，用粗体的字母表示向量、矩阵以及基底，用普通字母来表示标量，它有可能是一个标量函数，也有可能是向量的分量，如无说明，则用$n$表示空间（流形）的维度。本文中同样使用了爱因斯坦求和法则，即相同的上下指标表示$1\sim n$遍历求和，即$\alpha_{\mu}\beta^{\mu}=\sum_{\mu=1}^{n} \alpha_{\mu}\beta^{\mu}$，习惯上将下标写在前面，比如$\alpha_{\mu}\beta^{\mu}$事实上跟$\beta^{\mu}\alpha_{\mu}$等价，但习惯写成前者。常用的一些记号是：$\mu,\nu$表示分量指标，$x^{\mu}$表示点的坐标分量，$dx^{\mu}$表示切向量（微元）的分量，$\alpha,\beta,\omega$等希腊字母也常用来表示微分形式。符号的使用有重复的地方，但符号的意义基本都在符号出现的附近有说明，因此应该不至于混淆。

最后，就是笔者其实对外微分还不是特别有感觉，因此文章中可能出现谬误之处，请读者见谅并指出。本系列命名为“外微分浅谈”，不是谦虚，确实是很浅，认识得浅，说的也很浅～

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内积与外积

向量（这里暂时指的是二维或者三维空间中的向量）的强大之处，在于它定义了内积和外积（更多时候称为叉积、向量积等），它们都是两个向量之间的运算，其中，内积被定义为是对称的，而外积则被定义为反对称的，它们都满足分配律。

沿着书本的传统，我们用$\langle,\rangle$表示内积，用$\land$表示外积，对于外积，更多的时候是用$\times$，但为了不至于出现太多的符号，我们统一使用$\land$。我们将向量用基的形式写出来，比如
$$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{e}_{\mu}A^{\mu} \tag{1} $$
其中$\boldsymbol{e}_{\mu}$代表着一组基，而$A^{\mu}$则是向量的分量。我们来计算两个向量$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$的内积和外积，即
$$\begin{aligned}&\langle \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}\rangle=\langle \boldsymbol{e}_{\mu}A^{\mu}, \boldsymbol{e}_{\nu}B^{\nu}\rangle=\langle\boldsymbol{e}_{\mu},\boldsymbol{e}_{\nu}\rangle A^{\mu}A^{\nu}\\
&\boldsymbol{A}\land \boldsymbol{B}=(\boldsymbol{e}_{\mu}A^{\mu})\land (\boldsymbol{e}_{\nu}B^{\nu})=\boldsymbol{e}_{\mu}\land\boldsymbol{e}_{\nu} A^{\mu}B^{\nu}
\end{aligned} \tag{2} $$

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对于前面所述的外微分，包括后面还略微涉及到的微分形式的积分，都是纯粹代数定义的内容，本身不具有任何的几何意义。但是，我们可以将某些公式或者定义，与一些几何内容对应起来，使我们更深刻地理解它，并且更灵活运用它。但是，它仅仅是一种对应，而且取决于我们的诠释。比如，我们说外微分公式
$$\int_{\partial D} Pdx+Qdy = \int_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\land dy \tag{32} $$
对应于格林公式
$$\int_{\partial D} Pdx+Qdy = \int_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \tag{33} $$
。这是没问题的，但它们并不等价，它们仅仅是形式上刚好一样。因为格林公式是描述闭合曲线的积分跟面积分的联系，而外微分的公式是一种纯粹的代数运算。因为你完全可以将$dx\land dy$对应于$-dxdy$而不是$dxdy$，这样就得到另外一种几何的对应。

更深刻的问题是：为什么恰好有这个对应？也就是说，为什么经过一些调整和诠释后，就能够得到与积分公式的对应？首先要明确的是外积与普通的数的乘积，除了反对称性之外，是没有任何区别的，因此不少性质得以保留；其次，还应该要回到反对称本身来考虑，矩阵的行列式代表着矩阵所对应的向量组张成的$n$维立体的体积，然而行列式是反对称的，这就意味着反对称运算跟体积、积分等有着先天的联系。当然，更细致的认识，笔者也还没做到。

此外，我们说寻求微分形式的几何意义，通常只是针对不超过3维的空间来讨论的，更高维的几何图像我们很难想象出来，尤其是高维的曲面积分，一般只是类比，但类比是否成立，有时还需要进一步商榷。因此，这种情况下，倒不如干脆点，说微分形式描述的东西就是几何，而不再去寻找所谓的几何意义了。也就是说，反过来，将微分形式和外微分作为公理式的第一性原理来定义几何。

甚至，你可以只将外微分当作是一种记忆各种微分、积分公式的有效途径，比如现在我要大家默写三维空间中的斯托克斯公式，大家估计会乱，因为不一定记得是哪个减哪个。但是在外微分框架下，可以很快地将它推导一遍。好比式$(11)$，如果非要寻求几何解释，那就是开普勒第二定律：单位时间内扫过的面积相等；然而没有几何解释，你依旧可以把方程解下去。

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花了点时间，完成了一个微信的聊天机器人，并建立了微信群。

目前实现的功能如下：

1、搜索微信号spaces_ac_cn，添加为好友后，会自动给你发送加群邀请，你通过之后就可以加入到群聊中；
2、进群后自动发送欢迎信息；
3、记录群的聊天记录，定时分享给大家，以后大家就不担心有价值的群信息丢失了；
4、如果哪天群满了，则另开新群，一个群的信息，会自动同步到另外一个群，这样不至于冷落了某一个群；
5、如果你向微信号spaces_ac_cn发送消息，则自动在知乎搜索答案并返回，这还是一个简单的知乎搜索机器人。

还有一些管理员用到的功能，就不详细列出了。

欢迎大家加入！有问题请及时反馈，代码可能会有问题，因此希望大家多多测试。

好吧，我也做了一回标题党...其实本文的分词系统是一个三层的神经网络模型，因此只是“浅度学习”，写深度学习是显得更有吸引力。NNCWS的意思是Neutral Network based Chinese Segment System，基于神经网络的中文分词系统，Python写的，目前完全公开，读者可以试用。

闲话多说

这个程序有什么特色？几乎没有！本文就是用神经网络结合字向量实现了一个ngrams形式（程序中使用了7-grams）的分词系统，没有像《【中文分词系列】 4. 基于双向LSTM的seq2seq字标注》那样使用了高端的模型，也没有像《【中文分词系列】 5. 基于语言模型的无监督分词》那样可以无监督训练，这里纯粹是一个有监督的简单模型，训练语料是2014年人民日报标注语料。

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前段时间参加了一个傻逼的网络比赛——基于视角的领域情感分析，主页在这里。比赛的任务是找出一段话的实体然后判断情感，比如“我喜欢本田，我不喜欢丰田”这句话中，要标出“本田”和“丰田”，并且站在本田的角度，情感是积极的，站在丰田的角度，情感就是消极的。也就是说，等价于将实体识别和情感分析结合起来了。

吐槽

看起来很高端，哪里傻逼了？比赛任务本身还不错，值得研究，然而官方却很傻逼，主要体现为：1、比赛分初赛、复赛、决赛三个阶段，初赛一个多月时间，然后筛选部分进入复赛，复赛就简单换了一点数据，题目、数据的领域都没有变化，复赛也是一个月的时间，这傻逼复赛究竟有什么意义？2、大家可以看看选手们在群里讨论什么：

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